基于自适应冗余字典的图像去噪方法的研究.doc

重庆大学本科学生毕业设计（论文）基于自适应冗余字典的图像去噪方法研究学 生：卢方学 号：20084919指导教师：李正周 教授专 业：电子信息工程重庆大学通信工程学院二O一二年六月Graduation Design(Thesis) of Chongqing UniversityImage Denoising Over Adaptive Learned DictionariesUndergraduate: Lu FangSupervisor: Prof. Li Zhengzhou Major: Electronic Information EngineeringCollege of Communication Engineering Chongqing UniversityJune 2012摘 要图像在生成、传输和存储过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理（如分割、压缩和图像理解等）将产生不利影响。因此在图像处理中，图像去噪是一个永恒的主题，为了抑制噪声，改善图像质量，以便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪处理。近年来，图像的稀疏表示成为图像表示研究的热点。新的稀疏表示理论为图像去噪提供了一个全新的思路，其基本理论原理是：原始图像在适当的过完备字典下存在稀疏表示，通过设计出合适的字典，可以求出在该字典下图像的稀疏表示以达到去噪的目的。其机理是基于冗余字典的图像稀疏分解能把图像中的有用信息有效的表示出来，而噪声不能被字典中的原子表示出来，通过对图像进行稀疏表示，从而达到去除噪声的目的。稀疏理论的核心之一是字典的构造，目前的字典构造方法各有优势，寻找合适的字典是稀疏理论去噪的关键。目前字典的选择有两种：一种是有固定参数的结构化字典；另一种是利用采样图像数据通过适当模型和方法学习或训练的自适应的字典。由于自适应字典算法在图像去噪中的优越性，本文通过介绍基于示例学习的超完备字典训练算法，并以此展开研究探索，最后深入研究了基于KSVD算法的图像去噪方法，并通过matlab仿真，验证了此方法的有效性。关键词：图像去噪，稀疏表示，KSVD字典ABSTRACT Image always reduce the quality in the process of generation, transmission and storage, because of the noise affect, which, of course, will have bad effects on the subsequent processing. In order to suppress image noise and improve the quality, and farther more, facilitate the higher levels of processing, we should do the image denoising. Recent years, the image sparse representation has been the popular method in the study of image representation, which has put forward a new idea in the image denoising. Its basic principle is that the original image has the sparse representation under the proper over-complete dictionary. To filter out the noise, we should find out the sparse representation of the image through the design of the dictionary. Its mechanism is that on one hand the useful information of the image would be effectively expressed because of the sparse decomposition algorithm based on the redundant dictionary, on the other the noise wouldnt be expressed through the dictionary atoms. We do the image denoising according to the image sparse representation. One of the most important details of the sparse theory is the construction of the dictionary. Recently there are various of ways to construct dictionary, each has its advantage. Find the proper dictionary is the key to the image denoising based on parse theory. Nearest there are two methods to choose the dictionary, one is to choose the fixed analytical dictionary, the other is adaptive dictionary, which make use of the sampling image data through the studying of method or the training of the model. Because of the superiority of the adaptive dictionary algorithm in the image denoising, in this paper, we discuss the over-complete dictionary training algorithm. Later, in view of the above, we start the study and at last put forward the best image denoising algorithm based on the over-complete sparse representation. And we prove the effectiveness through the matlab.Key words： image denoising, sparse representation, KSVD dictionary目 录摘 要IABSTRACTII1 绪论11.1引言11.2数字图像的类型及存储11.2.1数字图像的类型11.2.2数字图像的存储21.3数字图像的噪声特性31.4 图像质量的评价41.4.1主观评价法41.4.2客观评价法41.5 本文研究的意义61.6 本文的组织安排62 图像去噪方法综述72.1滤波器去噪法72.2小波去噪法82.3小结93 图像的稀疏表示理论103.1稀疏表示理论概述103.2稀疏表示理论基础103.3稀疏分解算法123.3.1匹配追踪算法（MP算法）123.3.2正交匹配追踪算法（OMP算法）133.4小结144 基于自适应字典的图像去噪方法研究164.1图像稀疏模型164.2稀疏模型的求解174.3字典的学习184.3.1基于干净例子图像的字典学习184.3.2基于噪声图像的字典学习194.4实验结果204.5小结235 结论与展望245.1 结果分析245.2总结及展望24参 考 文 献261 绪论1.1引言图像是各种图形和影像的总称，是客观世界的某种状态或能量以一定的方式在二维平面上的投影所转化成的一种可视形式，是人类社会活动中常用的信息载体之一。人类进入21世纪信息化时代以来，信息载体的形式也发展的多种多样，包括文字、图像、语音、视频等多媒体形式，而图像在人们平时接触到的外界信息中最多。因此，人们为了从图像中提取更多得信息，就需要对图像进行必要的处理。图像处理是运用光学、电子光学、数字处理方法，对图像进行复原、校正、增强、统计分析、分类和识别等的加工技术过程。传统的图像处理方法有利用光学或模拟电路对图像进行处理，如望远镜、显微镜、照相机、电视、录像机等，这些方法也叫模拟图像处理。而数字图像处理实际上是利用计算机对图像信息进行加工处理，以改善图像质量、压缩图像数据或从图像数据中获取更多信息。随着微机、超大规模集成电路、数字信号处理（DSP）等技术以及新的理论、处理方法的不断发展，数字图像处理已经成为一门独立的新学科，并有着广泛的应用，正在空间、时间和功能上大幅度地扩展人类视觉。与传统图象处理方法相比，数字图像处理的优点是可靠性高、处理精度高、灵活性强、便于集成化、不需复杂的阻抗匹配及抗噪声干扰能力强等。图像信号的数字化处理也存在一些缺点，比如处理速度较慢、信号量化过程中可能引入噪声、系统相对比较复杂、量化时损失的信息无法恢复等。图像处理的内容一般包括预处理、图像去噪、图像恢复、图像增强、图像配准、图像分割、采样、量化、图像分类和图像压缩等12。其主要目的包括改善视觉效果、提高图像传输和存储效率、进行图像测量、理解与识别等等。1.2数字图像的类型及存储1.2.1数字图像的类型 在计算机中，按照颜色和灰度的多少可以将图像分为二值图像、灰度图像、索引图像和真彩色RGB图像四种基本类型3。目前，大多数图像处理软件都支持这四种类型的图像。二值图像：一幅二值图像的二维矩阵仅由0、1两个值构成，“0”代表黑色，“1”代白色。由于每一像素（矩阵中每一元素）取值仅有0、1两种可能，所以计算机中二值图像的数据类型通常为1个二进制位。二值图像通常用于文字、线条图的扫描识别（OCR）和掩膜图像的存储。 灰度图像：同理于二值图像，若我们将黑色的灰度值定义为0，白色的灰度值定义为255，并将由白到黑之间的明暗度均匀地划分为256个等级不同的灰度表。这样,用这个灰度表表示的任何一幅图像，它的每个像素的灰度值都是由介于0到255之间的某一个数值所标定的。由于256=28，描述一个像素点需要用8位数据，对于一幅普通的单色图像来说，256等级的灰度变化足以描述它的各个细节,实际上人眼也很难分辨256等级以上的灰度变化。所以,采用256等级的灰度表是比较理想的一种方式。RGB图像：对于彩色图像而言，任何彩色图像都可以分解成红、绿、蓝三个单色图像，也就是说任何一种其他的颜色均可以由这三种颜色混合而成。譬如，黄色就是由红色和绿色混合而成的，减少或增加红色或绿色的灰度，就能得到不同色调的黄色。所以，在彩色图像中，需用三个字节的数据来记录，即每个单色图像中的像素都分别由一个字节记录，所以,表示一幅具有红、绿、蓝三色各256种灰度的彩色图像，每一个像素都需要占用三个字节，这种图像也称为RGB图像。在数字图像处理中，彩色图像的处理通常由对其三个单色图像分别进行处理来实现的。1.2.2数字图像的存储数字化图像数据有两种存储方式：位图存储(Bitmap)和矢量存储(Vector)Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.。 我们平常是以图像分辨率（即象素点）和颜色数来描述数字图象的。例如一张分辨率为640480，16位色的数字图片，就由216=65536种颜色的307200(=640480)个素点组成。位图图像：位图方式是将图像的每一个象素点转换为一个数据，当图像是单色（只有黑白二色）时，8个象素点的数据就占据一个字节（一个字节就是8个二进制数，1个二进制数存放象素点）；16色（区别于前面的“16位色”）的图像每两个象素点用一个字节存储；256色图像每一个象素点用一个字节存储。这样就能够精确地描述各种不同颜色模式的图像图面。位图图像弥补了矢量式图像的缺陷，它能够制作出色彩和色调变化丰富的图像，可以逼真地表现自然界的景象，同时也可以很容易地在不同软件之间交换文件，这就是位图图像的优点；而其缺点则是它无法制作真正的3D图像，并且图像缩放和旋转时会产生失真的现象，同时文件较大，对内存和硬盘空间容量的需求也较高。位图方式就是将图像的每一像素点转换为一个数据。如果用1位数据来记录，那么它只能代表2种颜色（21=2）；如果以8位来记录，便可以表现出256种颜色或色调(28=256)，因此使用的位元素越多所能表现的色彩也越多。通常我们使用的颜色有16色、256色、增强16位和真彩色24位。一般所说的真彩色是指24位(224)的位图存储模式适合于内容复杂的图像和真实照片。但随着分辨率以及颜色数的提高，图像所占用的磁盘空间也就相当大；另外由于在放大图像的过程中，其图像势必要变得模糊而失真，放大后的图像像素点实际上变成了像素“方格”。 用数码相机和扫描仪获取的图像都属于位图。矢量图像：矢量图像存储的是图像信息的轮廓部分，而不是图像的每一个象素点。例如，一个圆形图案只要存储圆心的坐标位置和半径长度，以及圆的边线和半径长度，以及圆的边线和内部的颜色即可。该存储方式的缺点是经常耗费大量的时间做一些复杂的分析演算工作，图像的显示速度较慢；但图像缩放不会失真；图像的存储空间也要小得多。所以，矢量图比较适合存储各种图表和工程。1.3数字图像的噪声特性图像在生成和传输过程中，往往受到内部或外部设备的随机信号的干扰，妨碍人们对图像中信息的真实接收，这些妨碍的因素称为图像噪声。而减少图像中噪声的过程称为图像去噪。图像噪声的分类是多种多样的，其特性也千差万别，但由于噪声在理论上可以认为是不可预测的，可以用概率统计方法来认识的随机误差，因此可以将图像噪声看成是多维的随机过程，按其概率密度的模型不同可分为高斯噪声、锐利噪声、伽马噪声、指数分布噪声、均匀分布噪声、椒盐噪声（也称脉冲噪声）等Error! Reference source not found.。这些噪声的分类模型由于引入了数学上的概率模型而有助于我们用数学手段去除噪声。本文我们主要讨论高斯噪声，高斯随机变量的概率密度为： (1-1)其中，z表示灰度值，表示z的平均值或期望值，表示z的标准差。标准差的平方称为z的方差。另外，我们可以根据噪声对图像原信号的影响，将噪声模型分为加性噪声模型和乘性噪声模型两类。设为受噪声影响后的输出图像信号，为干净图像，为噪声，则加性噪声模型可表示为： (1-2)此时输出信号是噪声和实际信号的叠加，但噪声和原始信号无关，从统计学上讲，他们是独立的。而乘性噪声影响的图像信号可以表示为： (1-3)输出是两部分的叠加，第二项为噪声项，受的影响，越大，噪声项越大。我们一般认为噪声和原信号是独立的，所以本文主要考虑加性噪声模型。按噪声的频谱分类，可以把均匀分布的噪声称为白噪声；把频谱与频率成反比的噪声称为1/f噪声；把频谱与频率平方成正比的称为三角噪声等。或者由于噪声产生的原因而把其分为外部和内部噪声等。了解噪声的类型可以使我们更好理解噪声产生发展的规律，从而促使我们开发出有效的手段来抑制他们。1.4 图像质量的评价 如何评价一个经去噪处理所还原图像的质量，对于我们判断去噪方法的优劣有很着重要的意义。现有的评价方法一般分为主观和客观两种。1.4.1主观评价法主观评价通常又分为下面两种：一种是作为图像观察者的主观评价，这是对图像直接用肉眼进行观察，然后分别对其所观察的图像的质量做出或好或坏的评价。这是一种定性的方法，没有定量的标准，而且容易受到观察者主观因素的影响，评价结果有一定的不确定性。另外一种主观评价方法是随着模糊数学的发展而产生的，即可以用模糊综合评判方法来尽量减少主观因素的影响，实现对图像质量近似定量的评价，但是它仍然留有主观不确定性的影响，其定量计算公式中的参数取值往往来源于专家的经验，而专家的经验也往往包含或多或少的主观性。1.4.2客观评价法在介绍客观评价法之前，我们先对数字图像的采集做一简单介绍。一般的图像，如一幅画，一张照片，都是能由某个二维连续函数来描述的。其中，是图像平面上任意一个二维坐标点，指出该点颜色的深浅。为了便于用计算机来处理图像，图像必须在空间上和在颜色深浅的幅度上都进行数字化。空间坐标的数字化被称为采样。而颜色深浅幅度的数字化称为灰度级量化。采用等距采样的方式，将连续图像采样形成一个方形点阵，它可用下式表示： (1-4)图像质量的客观评价根据其着眼点不同有多种不同的评价方法，这里介绍一种经常使用的所谓逼真度测量方法。注意，一个合理的测量方法应和主观评价结果一致，而且要求简单易行。设为一定义在矩形区域的连续图像，其含噪图像为，他们之间的逼真度可用归一化互相关函数来表示： (1-5)对于数字离散图像，设为原始图像，为其含噪图像，逼真度可定义为归一化的均方误差值：(1-6)其中运算符表示在计算逼真度前，为使测量值与主观评价的结果一致而进行的某种预处理算子，如幂处理、对数处理等，常用的为，均为常数。 另外一种常用的峰值均方误差定义为： (1-7)式中，为的最大值。实际应用中常用简单形式，此时，对于8比特精度的图像，为图像大小。峰值均方误差也被表示成等效的峰值信噪比： (1-8)无论是主观评价还是客观评价都有各自的优缺点。主观评价标准只是一个定性的描述方法，并不能做定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。而以峰值信噪比为代表的客观评价能够对图像质量给出定量的描述。缺点是不能总是真实的反映人眼的真实感觉。所以在实际衡量图像的去噪状况时，总是把主观与客观的标准合起来使用。1.5 本文研究的意义超完备图像稀疏表示是近年来又一新的研究方向和热点。生理研究表明：哺乳动物视觉皮层神经元感受也具有方向性、局部化和带通性特征Error! Reference source not found.-Error! Reference source not found.，且视觉系统仅需少数的神经元即可捕获自然场景中的关键信息，能够对自然场景形成稀疏表示。这说明使用超完备稀疏表示是神经信息群体分布式表达的一种有效策略。稀疏表示的基本思想是由Mallat最早提出的，他采用超完备Gabor字典对图像进行稀疏表示，并提出了匹配追踪（MP）算法。随后，Neff等人提出了基于Gabor字典和匹配追踪算法的视频编码算法。由于超完备稀疏表示理论还不够成熟，算法所涉及的计算十分繁重，因此给实际研究和应用带来一定的困难。国内尹忠科等研究利用字典自身的结构减少计算开销，取得不错的效果。近年来,随着超完备稀疏表示理论的进一步研究和完善，可以相信,超完备图像稀疏表示理论的研究将会是继小波与多尺度几何分析方法之后另一研究高潮。基于自适应冗余字典的图像稀疏表示理论用来图像去噪是本文主要研究内容。1.6 本文的组织安排第一章为绪论，主要对图像及图像去噪问题做简单的介绍，包括图像的基本概念，图像处理问题，图像的噪声特性以及图像质量的评价。第二章对传统图像去噪方法做简略的说明，包括滤波器法，小波法图像去噪，为下文的稀疏理论做准备。第三章介绍稀疏理论的概述，稀疏理论的基础准备，稀疏分解算法的基本原理，包括MP算法和OMP算法的详细步骤。更好的服务下面的基于自适应冗余字典的稀疏去噪理论。第四章是重点，首先介绍图像的稀疏模型和稀疏模型的求解。其次介绍基于干净例子图像模型和基于带噪声图像模型的自适应过完备字典的学习和稀疏理论，并做系列仿真研究。第五章是对全文的总结和对未来优化算法的设想和展望。2 图像去噪方法综述2.1滤波器去噪法对数字图像的处理通常有两种情况，即空间域处理和变换域处理。所谓空间域处理就是在原始图像上直接进行计算，对图像灰度值处理，由此产生的去噪方法包括均值滤波、自适应维纳滤波、中值滤波和形态学滤波器等。变换域处理的思想是首先对图像进行某种变换，再将其从空间域转换到变换域，随后再对变换域中的变换系数进行处理，最后再进行反变换将图像从变换域转化为空间域，由此产生的图像去噪方法如小波去噪Error! Reference source not found.。均值滤波器非常适用于去除通过扫描得到的图像中的颗粒噪声。领域平均法有力地抑制了噪声，同时也由于平均而引起了模糊现象，模糊程度与领域半径成正比。几何均值滤波器所达到的平滑度可以与算术均值滤波器相比，但在滤波过程中会丢失更少的图像细节。谐波均值滤波器对“盐”噪声效果更好，但是不适用于“胡椒”噪声。它善于处理像高斯噪声那样的其他噪声。逆谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声，但它有个缺点，就是必须要知道噪声是暗噪声还是亮噪声，以便于选择合适的滤波器阶数符号，如果阶数的符号选择错了可能会引起灾难性的后果。自适应维纳滤波器能根据图像的局部方差来调整滤波器的输出,局部方差越大,滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像与原始图像的均方误差最小。该方法的滤波效果比均值滤波器效果要好，对保留图像的边缘和其他高频部分很有用，不过计算量较大。维纳滤波器对具有白噪声的图像滤波效果最佳。中值滤波器是一种常用的非线性平滑滤波器13，其基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个领域中各点值的中值代换，其主要功能是让周围象素灰度值的差比较大的像素改取与周围的像素值接近的值，从而可以消除孤立的噪声点，所以中值滤波对于滤除图像的椒盐噪声非常有效。中值滤波器可以做到既去除噪声又能保护图像的边缘，从而获得较满意的复原效果，而且，在实际运算过程中不需要图像的统计特性，这也带来不少方便，但对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节较多的图像不宜采用中值滤波的方法。形态学噪声滤波器是将开启和闭合结合起来可用来滤除噪声，首先对有噪声图像进行开启操作，可选择结构要素矩阵比噪声的尺寸大，因而开启的结果是将背景上的噪声去除。最后是对前一步得到的图像进行闭合操作，将图像上的噪声去掉。根据此方法的特点可以知道，此方法适用的图像类型是图像中的对象尺寸都比较大，且没有细小的细节，对这种类型的图像除噪的效果会比较好。2.2小波去噪法小波变换就是将图像分解为不同尺度上的低频系数和高频系数，噪声一般主要集中在高频系数中，当通过对高频系数进行阈值处理，就可达到降低噪声的目的。用小波分析进行的图像去噪主要有3个步骤:(1)对图像信号进行小波分解。(2)对经过多尺度分解后的小波系数进行阈值量化处理。(3)小波逆变换重构信号。小波变换是一种去相关变换，经小波变换后，信号能量主要集中于少数幅值较大的小波系数上，而噪声能量则均匀分布于大部分幅值较小的小波系数上,即比较大的小波系数一般以实际信号为主，而比较小的小波系数则很大程度上是噪声。因此，在小波系数中，低频分量中含有大量的有用信息，应该予以保留，同时在高频分量中，一些绝对值较大的重要的小波系数并不是噪声，而是边缘信息，也应予以保留。因此可以通过设定合适的阈值，将绝对值小于阈值的小波系数置零，而保留绝对值大于闭值的小波系数。小波变换去噪，在基于变换域的图像去噪中应用十分广泛。小波去噪方法的成功主要得益于小波具有的如下特点：低熵性。小波系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵降低，熵越低，信息的规律性越强。多分辨率。由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻画信号非平稳特征，如边缘，尖峰，断点等。去相关性。小波变换可以对信号进行去相关性，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。选基灵活性。小波变换可以灵活选择变换基，可以根据信号的特点和降噪要求，选用多带小波，小波包等。在不同场合，可以选择不同的小波基函数。目前，基于小波变换的图像去噪方法大致可以分为三大类：模极大值法、相关法和闭值法。在众多的小波去噪的方法中，运用最广泛的就是小波阈值去噪法。小波阈值去噪法最早是由Donoho和johnstone提出的。模极大值去噪法。模极大值去噪法最早是由Mallat提出的。由于信号和噪声在小波变换中有着不同的传播特性，即随着尺度的增大，信号所对应的模极大值将增大或保持不变，而噪声所对应的模极大值将减小。因此，连续做若干次小波变换之后，噪声对应的模极大值己经基本去除或者幅值很小，其余极值点主要由信号控制。模极大值去噪法就是利用上述信号和噪声在不同尺度上的模极大值的不同传播特性，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的模极大值，然后利用剩余的小波变换模极大值重构出原始信号。相关系数法。信号或图像边缘在各尺度相应位置上的小波系数之间往往具有很强的相关性，而噪声对应的小波系数则具有弱相关或不相关的特点，相关法就是根据此原理来去除噪声的。例如，Xu等人提出了一种SSNF方法，该方法就是利用了信号和噪声在小波域内的不同相关特性，通过计算和比较相邻尺度间小波系数的相关性大小，来判别小波系数的类型，从而进行取舍的。小波阈去噪法。在众多的小波去噪的方法中,运用最广泛的就是小波阈值法。小波阂值去噪法最早是由Donoho和Johnstone提出的，它主要基于以下事实：小波变换是一种去相关变换，经小波变换后，信号能量主要集中于少数幅值较大的小波系数上，而噪声能量则均匀分布于大部分小波系数上，即比较大的小波系数一般以实际信号为主，而比较小的小波系数则很大程度上是噪声。因此，在小波系数中，低频分量中含有大量的有用信息，应该予以保留同时在高频分量中，一些绝对值较大的重要的小波系数并不是噪声，而是边缘信息，也应予以保留。因此可以通过设定合适的闭值，将绝对值小于阑值的小波系数置零，而保留绝对值大于闭值的小波系数。 当然小波去噪的缺点也显而易见，高频分量中也含有有用的部分，他们有时将和噪声一起，由于阈值的处理而使系数归零。这样做的现实后果就是去噪后的图像细节会显模糊，从而影响图像质量。2.3小结 本节首先介绍了传统的滤波器图像去噪法，分别对均值滤波，自适应维纳滤波，中值滤波和形态学滤波器的原理和特点做简要的概述。随后又对现在比较流行的小波去噪理论做一简短的研究。3 图像的稀疏表示理论3.1稀疏表示理论概述随着科技的发展，特别是随着现代传感器技术的发展，诸多领域均面临着日益膨胀的大量数据，例如地震数据、地球物理数据、音频数据、天文数据、工业控制数据、基因数据等等Error! Reference source not found.。如何对这些庞大的数据实现灵活和自适应的表达逐渐成为人们关注的问题之一。图像信息的“有效”表示是图像去噪等处理任务的基础。“有效”表示是指能够用较少的系数捕获感兴趣目标重要信息的能力，即稀疏表示能力。所谓的稀疏表示就是用一种包含原信号原子的冗余字典，通过稀疏线性组合的原子来恢复表示出这些原信号。信号的分解变换方法一般有傅里叶变换、短时傅里叶变换、离散余弦变换、小波变换等，这些变换通常是根据信号本身的特点，将其分解在一组完备的正交基上,达到在这些变换域上表达信号的目的，这就是所谓的信号表示，这样的信号表示的共同特征是，表示形式唯一。但是,如果某种信号的特征与基函数不完全匹配，则所获得的分解结果就不一定是信号的稀疏表示了。而图像的稀疏表示的目的是追求一种算法，这种算法是通过遵照给定的一种字典来分析信号：设计这种字典来分析模型的方法是选择一种预编辑的线性变换，或者选择一套适应字典的“训练信号”2。这样研究冗余字典的算法就是稀疏表示的核心内容，也是本课题主要的研究方向和要解决的问题。利用超完备字典的冗余性可以有效地捕捉图像的各种结构特征，从而实现图像的有效表示。当前稀疏表示的理论研究主要集中在稀疏分解算法和字典构造算法两方面。本课题主要研究基于超完备稀疏表示的去噪方法，该方法利用图像在超完备字典上的自适应稀疏分解，实现图像去噪，实验结果证实了本文所提方法的有效性。 3.2稀疏表示理论基础 设数字图像，其大小为，字典为个维单位长度向量，的集合，即 (3-1)其中的每个元素称为字典原子。再给定字典时，我们可以将图像分解为该字典中各原子的线性组合形式： (3-2)也可以采用逼近形式分解为： (3-3) 其中，为图像在字典下的分解系数，是经过项逼近后的残差项。如果字典中原子能够张成维欧式空间，即，则称是完备的字典。当原子个数时，字典是冗余的，如果同时还能张成维欧式空间，则称此时的字典是过完备的，在这种字典基础上的分解系数是不唯一的，我们可以根据需要选择最合适的表示系数。一般来说，可以从众多的分解系数中选取最稀疏的系数，可采用范数进行度量，可以建立如下的图像过完备稀疏表示模型： (3-4)式中是的范数，表示非零元素个数。 如果将字典中所有原子按列向量依次排列,则构成一个的矩阵，仍记为，也称为字典。此时，原稀疏表示模型可改写为如下的矩阵形式： (3-5)上式中，如果系数只有少量的非零元素，则表示是稀疏的。但是求稀疏解需要有一个定量的唯一性，如果稀疏解满足，则该解为稀疏解且为唯一的，其中定义为字典中任意一组原子线性相关时所需要的最小数。在现实中对于一个含噪图像，并不要求完全精确的重构表示，因此，求一个近似的稀疏解即求一个逼近过程： (3-6)其中为一正常数，当其为零时为最优稀疏解。但是由于范数的非凸性，对于上式来说求唯一解是个NP难题。因此很多学者提出了有效的稀疏分解算法。3.3稀疏分解算法3.3.1匹配追踪算法（MP算法） 设表示一有效信号，字典是由个范数为1的向量形成的字典，为可数个原子的指标集（可数集），集合中元素个数为。该字典包含个线性无关的向量，这个向量构成长度为的信号空间的一组基。算法首先将信号投影到一个向量，并计算余项,得 (3-7) 也可写作： (3-8) 为了使上式第一项极大，第二项极小。我们可以找到使之在计算上最优化： (3-9) 其中看作为最佳因子。所谓追踪法就是对余项进行进一步的分解和迭代的过程。若设第个余项为，则类似于（3-7）-（3-9），我们有： (3-10) (3-11) (3-12) 最后我们把(3-11)(3-12)式均对m从0到求和，得 (3-13) (3-14) 可以证明，当趋于无穷时，按指数级收敛到0，然而为了使余项完全减小至0，需要无穷此迭代。在大多数信号处理应用中，由于迭代次数大大小于时，就可以得到充分精确的逼近，所以这种算法不具有优势。下面介绍的正交化匹配追踪法能大大减少迭代次数。 3.3.2正交匹配追踪算法（OMP算法） OMP算法是MP算法的改进。可以利用正交化过程将投影方向正交化来改进匹配追踪逼近。这样得到的正交追踪作有限次迭代即可收敛，这在非正交追踪情况下是做不到的。当然这些工作需要经过计算机的大量计算。 由匹配算法所挑选的向量并非先验地正交与前面已挑选出来的向量 。当减去在上的投影时，该算法便在 的方向上引入新的成分。这一问题通过将余项投影到从 所计算得到的一个正交族 上来避免。 先来初始化。正交匹配追踪选，使得 (3-15)正交算法将关于 正交化，得 (3-16)将余项投影到上，得： (3-17)将此方程对求和，得： (3-18) 其中是在 所生成的空间上的正交投影。正交算法保证也是的一组基。对任意，余项是正交于的部分。对于，由(3-16)得：(3-19)因为的维数为k，故存在使得，从而。将上式带入(3-18),令得： (3-20)作有限次迭代可以得到收敛性。它是在一个正交向量族上的分解，故 (3-21)为了将在原来的字典向量 上展开，必须将基做一些修改。三角形正交关系式(2-16)可以转化为用 将展开： (3-22)将这个表达式代入(2-20),得： (3-23)其中 (3-24)在迭代的前几次，追踪法常常挑选出近似正交的向量，因此正交化是不必要的。此时正交和非正交追踪几乎是相同的。随着迭代次数的增大并越来越靠近N，正交追踪的余项的范数将比非正交追踪减小的得更快。 所以OMP算法的收敛速度比MP算法更快，然而在计算残差信号在正交基上的正交投影时，每次迭代过程均需要计算一次最小二乘问题，随着迭代次数的不断增加，问题的复杂度也随着不断增加，最后导致整个算法的复杂度大于MP算法。为了降低其复杂度，我们可以在每次迭代中并不准确求解用于残差更新的最小二乘问题，而是仅利用最速下降法或共轭梯度法进行一步迭代，从而降低了算法的复杂度，但同时也降低了残差信号能量的衰减速度。3.4小结本节首先介绍了稀疏理论的最先提出，发展状况，及其比传统图像去噪方法的优势所在。并着重介绍了和稀疏表示有关的背景知识，特别是字典理论。最后，对本文今后涉及到的稀疏分解算法做了介绍，重点对MP和OMP算法及其改进做了比较详细的分析。为下文的自适应冗余字典理论的学习做铺垫。4 基于自适应字典的图像去噪方法研究4.1图像稀疏模型 首先考虑像素大小为的小块图像u，并将其排列成一列向量。为了构造稀疏模型，需要定义一个字典，其中，说明字典是冗余的。已有的理论模型指出，在字典D给定的情况下，每个图像小块x都可以建立基于D的稀疏表示，即模型： (4-1)的解是稀疏的。为了使上述模型更加有利计算，将采用误差约束项 代替。同时，也必须定义稀疏度L，满足，即要求用于表示各图像小块x的字典原子数目不超过L。简单起见，定义三元组用于