高考数学 黄金考点精析精训 考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性) 理.doc

考点5 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【考点剖析】一最新考试说明：1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性3利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值二命题方向预测：1利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点2函数的奇偶性是高考考查的热点3函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点4题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题三课本结论总结：1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等 2若奇函数定义域中有0，则必有即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件 对于偶函数而言有：3确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等4若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和5既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）6复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）7函数与函数的图像关于直线（轴）对称8函数与函数的图像关于直线（轴）对称9函数与函数的图像关于坐标原点中心对称10函数与函数的图像关于直线对称四、名师二级结论：一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性 两个应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(x)f(x) f(x)f(x)01，f(x)0五、课本经典习题：(1)新课标人教a版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式 (2)新课标人教a版必修一第44页复习参考题a组第八题设，求证：（1）；（2）【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展 (3)新课标人教a版必修一第83页复习参考题b组第3题对于函数（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使为奇函数？【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展 (4)新课标人教a版必修一第83页复习参考题b组第4题设，求证：（1）；（2）；（3）【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展六考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1【2018届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，则函数的零点个数为（ ）a. 4 b. 6 c. 8 d. 10【答案】d【解析】求函数的零点个数只需考查方程的实根个数，当时， ， 在上递减，在上递增， ，值域为.当时， 当时，函数的值域为，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为， 在上有个实根，又函数为偶函数， 在上有10个实根，函数的零点个数为10个，选d. (2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 .【答案】8【解析】由于 ，则需考虑 的情况在此范围内， 且 时，设 ，且 互质若 ，则由 ，可设 ，且 互质因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，只需考虑与每个周期 的部分的交点，(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3【2017河北定州中学】函数是定义在上的奇函数，当时，,则方程在上的所有实根之和为（ ）a0 b2 c4 d6【答案】c【考点分类】热点一 函数的单调性1【2016高考北京文数】下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由在上单调递减可知d符合题意，故选d.2.【2017北京，理5】已知函数，则（a）是奇函数，且在r上是增函数 （b）是偶函数，且在r上是增函数（c）是奇函数，且在r上是减函数 （d）是偶函数，且在r上是减函数【答案】a3下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（a） （b） （c）（d）【答案】【解析】选项：由，得，所以错误；选项：由，得，所以错误；选项：函数是定义在上减函数，所以错误；选项：由，得；又函数是定义在上增函数，所以正确故选【方法规律】1对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间3函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1) f(x2)x1x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行【易错点睛】误区1求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错【例1】求y的单调区间【错解】令tx24x12，则tx24x12在(，2上递减，在2，)上递增，又y是增函数，所以y的单调区间是(，2与2，)，其中在(，2上递减，在2，)上递增【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域x|x2或x6【正解】由x24x120，得x2或x6，令tx24x12，则t(x2)216在(，2上是减函数，在2，)上是增函数又y是增函数，所以y的单调区间是(，2与6，)，其中在(，2上递减，在6，)上递增【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识误区2 忽视隐含条件致误【例2】已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()【错解】误选b项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在r上为减函数，还需使得f(x)(3a1)x4a在x1上的最小值不小于f(x)logax在x1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误【正解】据题意使原函数在定义域r上为减函数，只需满足：故选c【点评】一般地，若函数f(x)在区间a，b)上为增函数，在区间b，c上为增函数，则不一定说明函数f(x)在a，c为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在a，c上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在a，c上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在a，c上为增函数，即只需f(x)在a，b)上的最大值不大于f(x)在b，c上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论图（1）图（2）需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数在(，0)上是减函数，在(0，)上也是减函数，但不能说在(，0)(0，)上是减函数，因为当x11，x21时，有f(x1)1f(x2)1不满足减函数的定义(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“”将它们连接起来，例如：函数yx33x的单调增区间有两个：(，1)和(1，)不能写成(，1)(1，)热点二 函数的奇偶性1【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是abcd【答案】d【解析】【考点】函数的奇偶性、单调性2.【2017课标ii，文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 _ 【答案】123【2016年高考四川理数】已知函数是定义在r上的周期为2的奇函数，当0x1时，则= .【答案】-2【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，所以，即，所以.【方法规律】1判断函数奇偶性的方法(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f(x)f(x)0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f(x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数误区不明分段函数奇偶性概念致错【例1】判断的奇偶性【错解】当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)所以f(x)是奇函数【剖析】漏x0情况【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(x)f(x)成立，但当x0时，f(0)3f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数热点三 函数的周期性1【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为r.当x0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）（a）2 （b）1 （c）0 （d）2【答案】d【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选d.2.设是定义在r上的周期为2的函数，当时，则 【答案】1【解析】【方法规律】函数周期性的相关结论：设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)f(xa)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期(以上各式中分母均不为零)热点四 函数性质的综合应用1【2016年高考北京理数】已知，且，则（ ）a. b. c.d.【答案】c2.已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )（a） （b） （c） （d） 【答案】c【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，故选c.3.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【解析】，因此【方法规律】1解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小； （2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象2 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数特别地，有以下结论(其中a0)：若f(x)有对称轴xa，且是偶函数，则f(x)的周期为2a；若f(x)有对称轴xa，且是奇函数，则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a，0)，且是偶函数，则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a，0)，且是奇函数，则f(x)的周期为2a【易错点睛】误区1函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在r上，且对常数t0，恒有f(xt)f(x)，则在区间0，2t上，方程f(x)0根的个数至少有 ()a3个 b4个 c5个 d6个【错解】由f(x)是r上的奇函数，得f(0)0x10再由f(xt)f(x)得f(2t)f(t)f(0)0x2t，x32t即在区间0，2t上，方程f(x)0根的个数最小值为3个【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇即解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程和互动误区2忽视隐含条件的挖掘致误【例2】设f(x)是定义在r上且周期为2的函数，在区间1，1上，其中a，br若，则a3b的值为_【错解】因为f(x)的周期为2，所以，即又因为，所以【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(1)f(1)，从而无法求出a、b的值【正解】因为f(x)的周期为2，所以，即又因为，所以整理，得又因为f(1)f(1)，所以，即b2a 将代入，得a2，b4所以a3b23(4)10【热点预测】1【2018届安徽省滁州市高三9月联考】若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】,分三种情况讨论.当时， ，所以；当时， ，显然单调；当时， ，所以.综上： 或.故选b.2【2018届河北省鸡泽县第一中学高三上第一次月考】若对任意的xr，y均有意义，则函数yloga的大致图象是()a. b. c. d. 【答案】b【解析】由对数函数的定义知 且 ，函数 的定义域为 由题对任意 均有意义，则1-a|x|0，恒成立，可得 又 时， ， 单调递减， 单调递减，由复合函数的单调性知单调递增，为偶函数，其图象应关于 轴对称， 时， 单调递减，故选：b3【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）（a）0 （b） （c） （d）【答案】c【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选c.4已知，方程在0，1内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ）a2011 b1006 c2013 d1007【答案】c5若的图像是中心对称图形，则( )a4 b c2 d【答案】b【解析】，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称故选b6若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是( )a函数是奇函数 b函数是奇函数c函数是奇函数 d函数是奇函数【答案】c【解析】由题得，函数满足，则有，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项c是正确的，故选c7已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是 （ ） （a） （b） （ c） （ d）【答案】c【解析】由已知，得函数在r上单调递增，故满足，解得的取值范围是8.已知是定义域为实数集的偶函数，若，则如果，那么的取值范围为 （ ）（a）（b）（c） （d）【答案】b【解析】，则，定义在实数集上的偶函数在上是减函数， ， 即 或 解得或故选b9.已知实数，对于定义在上的函数，有下述命题：“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；“是的一个周期”的充要条件是“对任意的，都有”；