高考数学一轮总复习 专题2.8 函数与方程练习（含解析）文.doc

专题2.8 函数与方程【真题回放】1.【2017山东文9】设,若,则 （ ）a. 2 b. 4 c. 6 d. 8【答案】c【考点解读】本题考查了分段函数，方程思想及分类思想等，为基础题。求解时首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围2【2017课标3文12】已知函数有唯一零点，则a=（ ）a b c d1【答案】c【解析】因为f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）=1+（x1）2+ =0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2=有唯一解，等价于函数y=1（x1）2的图象与的图象只有一个交点当a=0时，f（x）=x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数y=1（x1）2的图象的最高点为a（1，1），的图象的最高点为b（1，2a），由于2a01，此时函数y=1（x1）2的图象与的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y=1（x1）2的图象的最高点为a（1，1），的图象的最低点为b（1，2a），由题可知点a与点b重合时满足条件，即2a=1，即，符合条件； 综上所述，, 故选：c【考点解读】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性，运算求解能力，数形结合能力，考查转化与化归思想，分类讨论的思想等，属于难题。解题可通过等价转化为函数y=1（x1）2的图象与的图象只有一个交点求a的值分a=0、a0、a0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论3.【2017高考江苏文14】设f(x)是定义在r 且周期为1的函数，在区间上，其中集合d=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .【答案】8解法二；在区间0，1）上，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合d的解读）考点分析考点了解a掌握b灵活运用c函数的零点b二分法a函数与方程是运用函数思想解决方程问题，体现了函数的统领作用。这部分内容要求学生掌握零点的概念（三种等价表达），零点判定定理及二分法，进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法。高考对该部分考查主要为，求函数的零点所在区间，判断零点的个数，已知零点求参数的取值范围等。解决问题中要注意数形结合思想的运用。融会贯通题型一确定函数零点所在的区间典例1. （1）(2017山东潍坊市高一期末) 函数的零点是（ ）a3 b c4 d【答案】a【解析】函数的零点等价与方程的根，即故选a.（2）(2016福州模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内d(，a)和(c，)内【答案】a（3）(2017嘉兴模拟)设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nn，则x0所在的区间是_【答案】(1,2)【解析】设f(x)x3x2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与yx2的图象，如图所示因为f(1)1110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)解题技巧与方法总结确定函数零点所在区间的方法1解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上2利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点3数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【变式训练】（1）（2017银川一中期末）函数的零点所在的大致区间是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b（2）（2017兰州一中期末）在同一坐标系中，曲线与抛物线的交点横坐标所在区间为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】曲线与抛物线的交点,即为曲线与抛物线的交点令, ，;则在区间上存在零点，故选b.（3）（2017广东高三七校联考）若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）a b c d【答案】c【解析】单调递增, ,故选c.知识链接：知识点1函数的零点1函数零点的定义；对于函数yf(x)(xd)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点2三个等价关系；方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的判定(零点存在性定理)；如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根题型二确定函数零点的个数典例2. （1） (2016济南模拟)已知函数f(x)cos xlogx，则f(x)在其定义域上零点的个数为()a1 b3 c5 d7【答案】c (2)（2017武汉模拟）已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln x的零点个数为_【答案】3【解析】sgn(ln x)故函数f(x)sgn(ln x)ln x的零点有3个，分别为；e, 1， .解题技巧与方法总结判断函数零点个数的方法1解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(2)f(3)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210必会结论(1)若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号必知联系(1)研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究g(x)f(x)g(x)的零点(2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题(3)f(a)f(b)0是f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件题型三函数零点的应用典例3.（1）(2016北京模拟)已知x1，x2是函数f(x)|ln x|ex的两个零点，则x1x2所在区间是()a.b.c(1,2) d(2，e)【答案】b由图看出0ln x11，1ln x10,0ln x21，1ln x1ln x21，1ln x1x21，x1x2ln x2，ln x1x20，x1x21，x1x2的范围是.（2）（2017银川一中高考模拟）已知函数的周期为,当时, 如果，则函数的所有零点之和为（ ）a. b. c. d. 【答案】a（3）（2017衡水金卷）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题意在上单调递增，要满足题意“对任意的且，均存在唯一实数，使得，且”，则在上递减，且，即，函数图象如图所示，显然方程最多有两解，方程有4个不等实根，则与都有两解，因此，即，解得解题技巧与方法总结已知函数有零点求参数取值范围常用的方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【变式训练】（1）（2017兰州模拟）定义； ， ，若 有四个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）a. b. c. d. 【答案】d其中红色线为的图象，由图可知当时，直线和函数有4个不同的公共点，故方程有四个不同的实数解，故选d.（2）（2016天津河东区高三一模）已知函数f(x)|x23x|，xr.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_【答案】(0,1)(9，)【解析】 设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根，所以(3a)24a0，即a210a90，解得a1或a9，又由图象得a0，0a1或a9。 （3）（2017哈尔滨模拟）设定义域为的函数，则关于的方程，有个不同的实数解，则_【答案】1课本典例解析与变式例1.【必修1第八十八页例1】求函数的零点的个数.【解析】用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:x123456789f(x)41.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972 由上表和图可知，f(2)0,则f(2)f(3)0，f(3)0，f(5)0，所以在区间2,3，3,4，4,5内有零点变式3.（2016兰州模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由，得， .所以零点在区间.变式4.（2016山东高考）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】 即，解得【课本回眸反思】 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；3 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。练习检测1.（2017天水一中高一期末) 函数的零点所在的区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由故零点所在的区间为考点：零点判定定理2(2016济南模拟)若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()a0,2 b0，c0， d2，【答案】c【解析】2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)g(x)的零点为0和.考点：零点的概念3（2017哈尔滨模拟）函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()a1 b2 c3 d0【答案】a考点：零点判定定理及函数性质4(2017襄阳模拟)已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()a1,3 b3，1,1,3c2，1,3 d2，1,3【答案】d【解析】令x0，则x0，所以f(x)(x)23xx23x.因为f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)x23x.所以当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x20(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2，1,3 考点：函数的奇偶性及零点的概念5.（2017泰安模拟）已知函数若方程 有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d.【答案】考点：零点的概念及数形结合思想6.（2017衡水金卷）定义域为r的偶函数满足对任意的，有且当时， ，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c考点：函数的奇偶性与周期性，零点概念及数形结合的数学思想方法. 7.(2017盐城模拟)已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_【答案】(2,0)【解析】函数f(x)x2xa在(0,1)上递增由已知条件f(0)f(1)0，即a(a2)0，解得2a0.考点：零点概念 8.(2016佛山模拟)函数f(x)sin (cos x)在区间0,2上的零点个数是_【答案】5【解析】令f(x)0，得cos xk(kz)，所以cos xk，k0,1，1.若k0，则x或；若k1，则x0或2；若k1，则x.故零点个数为5. 考点：零点概念及三角函数的性质 9. (2017大连模拟)设定义在区间k，k上的函数是奇函数，且，若x表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k6的零点，则x0= _【答案】2【解析】定义在区间k，k上的函数是奇函数，f（x）=f（x），1m2x2=1x2，m=1，m=1时，f（x）=0，不满足m=1，定义域为（1，1），k，k1，1，0k1，函数g（x）=lnx+2x+k6在（0，+）上单调递增，g（2）=ln2+k20，g（3）=ln3+k0，x0（2，3），x0=2考点：函数奇偶性及零点概念10(2017昆山模拟)函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_【答案】考点：零点概念11.（2016南京市、盐城市高三二模）已知函数,当时,关于的方程的所有解的和为 【答案】10000【解析】，此时 两解的和为1；，此时两解的和为3；; ,此时两解的和为199；所以所有解的和为；考点：函数的零点及数列求和12（2017福州外国语学校月考）若函数在区间，内各有一个零点，则的取值范围是 【答案】【解析】函数在区间，内各有一个零点，考点：简单线性规划的应用；函数零点的存在定理13（2