高考数学二轮复习 考前专题五 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体讲学案 理.doc

第1讲空间几何体1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体例1(1)(2017届南昌模拟)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是，(1,0,1)，绘制该四面体三视图时，按照如下图所示的方向画正(主)视图，则得到侧(左)视图可以为()答案b解析将四面体放在正方体中，得到如图四面体，得到如图的侧(左)视图，故选b.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，abc45，abad1，dcbc，则这块菜地的面积为_答案2解析如图，在直观图中，过点a作aebc，垂足为点e，则在rtabe中，ab1，abe45，be.而四边形aecd为矩形，ad1，ecad1，bcbeec1.由此可还原原图形如图所示在原图形中，ad1，ab2，bc1，且adbc，abbc，这块菜地的面积为s(adbc)ab22.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑跟踪演练1(1)(2017河北省武邑中学模拟)已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图，则该锥体的俯视图不可能是()答案d解析a项，该锥体是底面边长为2，高为的正四棱锥b项，该锥体为底面半径为1，高为的圆锥c项，该锥体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥d项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等”，所以不可能是该锥体的俯视图，故d项不符合题意故选d.(2)(2017衡阳联考)如图所示，三棱锥vabc的底面是以b为直角顶点的等腰直角三角形，侧面vac与底面abc垂直，若以垂直于平面vac的方向作为正(主)视图的方向，垂直于平面abc的方向为俯视图的方向，已知其正(主)视图的面积为2，则其侧(左)视图的面积是()a.b.c2d3答案b解析设三棱锥的高为h，abbca，则ac2a，s正(主)视图2ah2h，s侧(左)视图ah.故选b.热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例2(1)(2017江西省赣中南五校联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()a12 b18c24 d30答案c解析还原几何体，该几何体是由三棱柱abcabc截去一个三棱锥dabc所得，如图所示ac3，ab4，aa5，cab90，所以几何体的体积是v34534324，故选c.(2)(2017全国)如图，纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()a90 b63 c42 d36答案b解析方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得如图所示，将圆柱补全，并将圆柱从点a处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积v32432663.故选b.方法二(估值法)由题意知，v圆柱v几何体v圆柱，又v圆柱321090，45v几何体90.观察选项可知只有63符合故选b.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪演练2(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a3 b4 c5 d6答案c解析从题目所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知，该几何体是底面分别是矩形与梯形且等高的两个棱柱的组合体，v25，故选c.(2)(2017届河南省豫北重点中学联考)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为128，则该几何体的表面积为()a1884 b208c104d45279答案b解析还原几何体如图所示，几何体的体积是va22a2aaa128，解得a2，而几何体的表面积是s2a22aaaa2，将a2代入，所以s208，故选b.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图例3(1)(2017湛江模拟)底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为()a.b.c.d.答案b解析设四棱锥为pabcd，底面abcd是边长为1的正方形，papbpcpd1，设外接球的半径为r，过p作po1底面abcd，垂足o1为正方形abcd的对角线ac，bd的交点，设球心为o，连接ao，由于aopor, ao1po1，oo1r，在rtaoo1中，22r2，解得r，v球r33，故选b.(2)(2017届咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为_答案解析由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示aeabsin60，aoae，do，三棱锥的体积vdabcsabcdo，设内切球的半径为r，则vdabcr，r，v内切球r3.思维升华三棱锥pabc可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点p可作为长方体上底面的一个顶点，点a，b，c可作为下底面的三个顶点(2)pabc为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练3(1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示(单位： cm)，则该“阳马”的外接球的体积为()a100cm3b. cm3c400cm3d. cm3答案b解析由三视图可知，在长、宽、高分别为6,2，6的长方体中，该几何体为如图所示的pabcd，设该几何体外接球的半径为r，由题意可知，226262，解得r5，该“阳马”的外接球的体积为vr3(cm3)故选b.(2)(2017届石家庄质检)四棱锥pabcd的底面abcd是边长为6的正方形，且papbpcpd，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()a6 b5 c.d.答案d解析由题意知，四棱锥pabcd是正四棱锥，球的球心o在四棱锥的高ph上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中pe，pf是斜高，g为球面与侧面的切点设phh，易知rtpgortphf，所以，即，解得h，故选d.真题体验1(2017北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_答案2解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知sd为该四棱锥的最长棱由三视图可知，正方体的棱长为2，故sd2.2(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体棱长为a，则6a218，a.设球的半径为r，则由题意知2r3，r.故球的体积vr33.3(2017全国)已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sc是球o的直径若平面sca平面scb，saac，sbbc，三棱锥sabc的体积为9，则球o的表面积为_答案36解析如图，连接oa，ob.由saac，sbbc，sc为球o的直径知，oasc，obsc.由平面sca平面scb，平面sca平面scbsc，oasc知，oa平面scb.设球o的半径为r，则oaobr，sc2r，三棱锥sabc的体积vscoboa，即9，r3，s球表4r236.4(2017江苏)如图，在圆柱o1o2内有一个球o，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱o1o2的体积为v1，球o的体积为v2，则的值是_答案解析设球o的半径为r，球o与圆柱o1o2的上、下底面及母线均相切，圆柱o1o2的高为2r，底面半径为r.押题预测1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()a16 b88c228 d448押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积答案d解析由三视图知，该几何体是底面边长为2的正方形，高pd2的四棱锥pabcd，因为pd平面abcd，且四边形abcd是正方形，易得bcpc，bapa，又pc2，所以spcdspad222，spabspbc222.所以几何体的表面积为448.2在正三棱锥sabc中，点m是sc的中点，且amsb，底面边长ab2，则正三棱锥sabc的外接球的表面积为()a6 b12c32 d36押题依据灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点答案b解析因为三棱锥sabc为正三棱锥，所以sbac，又amsb，acama，所以sb平面sac，所以sbsa，sbsc，同理sasc，即sa，sb，sc三线两两垂直，且ab2，所以sasbsc2，所以(2r)232212，所以球的表面积s4r212，故选b.3已知半径为1的球o中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注答案解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为s2r24r42(当且仅当r21r2，即r时取等号)所以当r时，.a组专题通关1如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧(左)视图为()答案b解析由所截几何体可知，fc1被平面ad1e遮挡，可得b选项图2某三棱锥的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为()a2b2c2d.答案b解析由三视图，将几何体还原在边长为2的正方体内，如图所示根据图可知，三棱锥中最长的棱长是正方体的体对角线对应的棱，棱长为2.故选b.3(2017全国)某多面体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()a10 b12c14 d16答案b解析观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这两个梯形的面积之和为2(24)212.故选b.4(2017届四川省泸州市四诊)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是abc，如图(2)所示，其中oaob2，oc，则该几何体的表面积为()a3612b248c2412d368答案c解析由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为2的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,2，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥pabc，且spabspbc4612, sabc424，pac是腰长为，底面边长为4的等腰三角形，spac8.综上可知，该几何体的表面积为212482412.故选c.5(2017深圳调研)已知棱长为2的正方体abcda1b1c1d1，球o与该正方体的各个面相切，则平面acb1截此球所得的截面的面积为()a.b.c.d.答案d解析因为球与各面相切，所以直径为2，且ac，ab1，cb1的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为的正三角形的外接圆，由正弦定理知，r，所以截面的面积s，故选d.6(2017江西省赣中南五校联考)已知三棱柱abcabc的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，ab2，ac1，bac60，则此球的表面积是()a2 b4c8 d10答案c解析根据余弦定理可知，bc，则acb90，点e，f分别是斜边ab，ab的中点，点o为ef的中点，点o为三棱柱外接球的球心，设三棱柱的高为h，v1h，解得h2，r2oa222，代入可得r2112，所以此球的表面积为s4r28，故选c.7(2017届石家庄模拟)三棱锥sabc中，侧棱sa底面abc, ab5, bc8, b60，sa2，则该三棱锥的外接球的表面积为()a. b.c. d.答案b解析由题意知，侧棱sa底面abc, ab5，bc8，b60，则根据余弦定理可得ac7, abc的外接圆圆心2r，r，三棱锥的外接球的球心到平面abc的距离dsa，则外接球的半径r，则该三棱锥的外接球的表面积为s4r2.8如图所示，图中阴影部分绕ab旋转一周所形成的几何体的体积为_答案解析由题知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为v(2252)4，半球的体积v23，则所求体积为.9体积为的正四棱锥sabcd的底面中心为o，so与侧面所成角的正切值为，那么过sabcd的各顶点的球的表面积为_答案16解析如图，取ab的中点为f，连接sf，过点o作ogsf，则osg为so与侧面所成的角，且tanosg.设ab2a，则soa，所以4a2a，得a.延长so交外接球于e，则ebsb，由ob2sooe，得42(2r2)，所以r2，s42216.10(2017届马鞍山模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析如图所示，三视图还原为几何体是棱长为2的正方体中的组合体abcdef，将其分割为四棱锥bcdef和三棱锥eabd，其中，vbcdef22, veabd2，所以该几何体的体积v2 .11.如图，已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，点e为线段a1b1的中点，点f，g分别是线段a1d与bc1上的动点，当三棱锥efgc的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正(主)视图的面积是_答案2解析由题意知，e点在底面的射影e为ab的中点，f点在底面的射影f在ad上，g点在底面的射影g在bc上，三棱锥efgc的俯视图的面积是以ec为底边，f，g到ec的距离和为高的三角形的面积，又ec为定值，所以当f点与d点重合，g点与b点重合时面积最大，此时正(主)视图的面积为222.12已知三棱锥pabc的三条侧棱两两垂直，且ab，bc，ac2，则此三棱锥外接球的表面积是_答案8解析如图pa, pb, pc两两垂直，设pch，则pb，pa，pa2pb2ab2，4h27h25，解得h，在三棱锥pabc中，pa, pb, pc两两垂直，且pa1, pb2，pc，以pa, pb, pc为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥pabc的外接球，由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为r，外接球的表面积为s4r2428.b组能力提高13四棱锥pabcd的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为()a.b.c.d.答案c解析根据三视图还原几何体为一个四棱锥pabcd，平面pad平面abcd，由于pad为等腰三角形，papd3，ad4，四边形abcd为矩形，cd2，过pad的外心f作平面pad的垂线，过矩形abcd的中心h作平面abcd的垂线，两条垂线交于一点o，o为四棱锥外接球的球心，在三角形pad中，c