高考数学二轮复习 考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质讲学案 理.doc

第1讲三角函数的图象与性质1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性2考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角基本关系式：sin2cos21，tan .3诱导公式：在，kz的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例1(1)(2017江西省百校联盟联考)已知角的终边经过点(，)，若，则m的值为()a27 b.c9 d.答案b解析由正切函数的定义，可得tan ，即m，即m，所以m633，故选b.(2)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_答案1解析sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2.又2sin cos cos2，原式1.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练1(1)(2017届临沂期中)若点在角的终边上，则sin 的值为()abc.d.答案a解析sin cos ，故选a.(2)如图，以ox为始边作角 (00)的最小正周期是t，将其图象向左平移t后，得到的图象如图所示，则函数ysin x(0)的单调递增区间是()a.(kz)b.(kz)c.(kz)d.(kz)答案a解析方法一由已知图象知，ysin x(0)的最小正周期是2，所以，解得，所以ysin x.由2kx2k得到单调递增区间是(kz)方法二因为t，所以将ysin x (0)的图象向左平移t后，所对应的解析式为ysin .由图象知，所以，所以ysinx.由2kx2k得到单调递增区间是(kz)思维升华(1)已知函数yasin(x)(a0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求a；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向跟踪演练2(1)(2017温州模拟)要得到函数ysin的图象，只需将函数ycos 3x的图象()a向右平移个单位长度b向左平移个单位长度c向右平移个单位长度d向左平移个单位长度答案a解析因为ycos 3xsinsin 3，且ysinsin 3，所以应将ycos 3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数ysin的图象故选a.(2)(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)函数f(x)asin(x)b的部分图象如图，则sf(1)f(2 017)等于()a0 b.c.d.答案c解析由题设中提供的图象信息可知解得a，b1，t4，所以f(x)sin1，又f(0)sin1sin 11sin 0，可得k，所以f(x)sin1，由于周期t4，2 01750441，且f(1)f(2)f(3)f(4)4，所以sf(1)f(2 016)f(2 017)2 016f(2 017)2 016f(1)2 016，故选c.热点三三角函数的性质1三角函数的单调区间：ysin x的单调递增区间是(kz)，单调递减区间是(kz)；ycos x的单调递增区间是2k，2k(kz)，单调递减区间是2k，2k(kz)；ytan x的单调递增区间是(kz)2yasin(x)，当k(kz)时为奇函数；当k(kz)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kz)求得yacos(x)，当k(kz)时为奇函数；当k(kz)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kz)求得yatan(x)，当k(kz)时为奇函数例3(2017届山东潍坊市联考)设函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.(1)求的值；(2)若函数yf(x)(00，t2，.(2)由(1)可知f(x)sin，f(x)sin.yf(x)是奇函数，则sin0，又00)的最小正周期是.(1)求函数f(x)在区间(0，)上的单调递增区间；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x11sin 2xcos 2x12sin1，最小正周期是，所以1，从而f(x)2sin1.令2k2x2k，解得kxk(kz)，所以函数f(x)在(0，)上的单调递增区间为和.(2)当x时，2sin，所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，1.真题体验1(2017山东改编)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为_答案解析ysin 2xcos 2x2sin，t.2(2017全国改编)已知曲线c1：ycos x，c2：ysin，则下面结论正确的是_(填序号)把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2；把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2；把c1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2；把c1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2.答案解析因为ysincoscos，所以曲线c1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.3(2017天津改编)设函数f(x)2sin(x)，xr，其中0，|0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象()a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案a解析由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期t，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可故选a.2如图，函数f(x)asin(x)与坐标轴的三个交点p，q，r满足p(2,0)，pqr，m为qr的中点，pm2，则a的值为()a. b. c8 d16押题依据由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求a，考查了数形结合思想答案b解析由题意设q(a,0)，r(0，a)(a0)则m，由两点间距离公式，得pm2，解得a18，a24(舍去)，由此得826，即t12，故，由p(2,0)得，代入f(x)asin(x)，得f(x)asin，从而f(0)asin8，得a.3已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)，求角x的大小；(2)当x时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值押题依据三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解(1)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2xcos，f(x)cos，可得cos.由题意可得x(0，)，可得2x，可得2x或，x或.(2)x，2x，cos，f(x)cos，1f(x)的最小值为，此时2x，即x.a组专题通关1已知tan 3，则的值为()ab3c.d3答案a解析.2(2017届山东省济宁市模拟)要得到函数ysin的图象，只需将函数ycos 2x的图象()a向左平移个单位长度b向左平移个单位长度c向右平移个单位长度d向右平移个单位长度答案c解析由题意得cos 2xsinsin，因此只需要将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数ysin的图象，故选c.3(2017届大庆市教学质量检测)已知f(x)sin xcos x (xr)，函数yf(x)的图象关于直线x0对称，则的值可以是()a.b.c.d.答案b解析已知fsin xcos x2sin，yf2sin关于直线x0对称，所以f2sin2，所以k，kz，k，kz，当k0时，故选b.4(2017届沈阳市郊联体期末)如图是函数yasin(x)图象的一部分为了得到这个函数的图象，只要将ysin x(xr)的图象上所有的点()a向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变b向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变c向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变d向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案a解析观察图象知，a1，t2，2，即ysin(2x)；将点代入得sin0，结合|，得，所以ysin.故选a.5(2017全国)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()af(x)的一个周期为2 byf(x)的图象关于直线x对称cf(x)的一个零点为xdf(x)在单调递减答案d解析a项，因为f(x)cos的周期为2k(kz)，所以f(x)的一个周期为2，a项正确；b项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kz)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，b项正确；c项，f(x)cos.令xk(kz)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，c项正确；d项，因为f(x)cos的递减区间为 (kz)，递增区间为 (kz)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，d项错误故选d.6(2017届安徽省合肥市模拟)已知sin 222cos 2，则sin2sin 2_.答案1或解析由sin 222cos 2，得sin 22(1cos 2)0，即2sin cos 4cos20，所以cos 0或tan 2.当cos 0时，sin2sin 21cos22sin cos 1；当tan 2时，sin2sin 2，故答案为1或.7(2017浙江省温州中学模拟)函数f(x)2cos2xcos1，则函数的最小正周期为_，在0，内的一条对称轴方程是_答案x或x中的一条解析因为f(x)1cos 2xcos 2xsin 2x1sin 2xcos 2xsin，所以最小正周期t；解sin1，得2xk，也即x(kz)是对称轴方程，由于x0，所以x或x.8(2017全国)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcos x21.x，cos x0,1，当cos x时，f(x)取得最大值，最大值为1.9(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)若函数f(x)cos 2xasin x在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是_答案(1，)解析因为f(x)12sin2xasin x，令sin xt，因为x，故t，则函数f(t)2t2at1是开口向下，对称轴为t的抛物线，由于f(1)a1，f(a1)，结合图象可知，a1.10(2017河北省衡水中学二调)已知向量m(sin x,1)，n(cos x，cos2x1)，设函数f(x)mnb.(1)若函数f(x)的图象关于直线x对称，且当0,3时，求函数f(x)的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围解m(sin x,1)，n(cos x，cos2x1)，f(x)mnbsin xcos xcos2x1bsin 2xcos 2xbsinb.(1)函数f(x)的图象关于直线x对称，2k(kz)，解得3k1(kz)，0,3，1，f(x)sin(2x)b，由2k2x2k，解得kxk(kz)，函数f(x)的单调增区间为(kz)(2)由(1)知f(x)sinb，x，2x，当2x，即x时，函数f(x)单调递增；当2x，即x时，函数f(x)单调递减又f(0)f，当f0f或f0时，函数f(x)有且只有一个零点即sin b0，函数f(x)2asin2