代数课程设计-有限维线性空间的分解.doc

河南科技大学课 程 设 计 说 明 书课程名称 代数课程设计 题 目 有限维线性空间的分解 学 院 数学与统计学院 班 级 学生姓名 指导教师 冯爱芬 日 期 2016年6月26日 课程设计任务书（指导教师填写）课程设计名称 代数课程设计 学生姓名 专业班级 应数131班 设计题目 有限维线性空间的分解 一、 课程设计目的 代数课程设计运用所学高等代数、近世代数知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学代数学的知识，掌握运用所学代数学知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。二、 设计内容、技术条件和要求运用线性方程组解决一定的实际问题。 由此对线性空间与线性变换的定义、性质形成深刻的认识，从而利用线性空间与线性变换解决一些解析几何、计算数学等方面的问题。掌握线性空间、线性变换的定义与性质，具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。三、 时间进度安排第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。第五天, 提交实习成果及文档。 四、 主要参考文献1北京大学数学系前代数小组高等代数第四版北京：高等教育出版社，20132丘维声高等代数第一版北京：清华大学出版社，20103陈志杰. 高等代数与解析几何第二版北京：高等教育出版社，20084聂灵沼、丁石孙代数学引论第二版北京：高等教育出版社，2000指导教师签字： 年 月 日有限维线性空间的分解摘要 总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明.关键词 线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；线性变换1引言与预备知识线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念.子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌握了方法，便能得心应手.定义1.1 设与是有限维线性空间的两个子空间，如果与的和中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.定义1.2 设是数域上的维线性空间，,为的一组基.在该基下的矩阵为，则有设是的特征值，令 则是的子空间，且称其为的属于特征值 的特征子空间.定义1.3 设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积则可分解成不变子空间的直和，其中 称为属于的根子空间.定理1.1设是有限维线性空间的两个子空间,那么下列命题等价(1);(2)零向量的分解式是惟一的；(3);(4).定理1.2 复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有标准形，并且这个标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性变换唯一决定的.线性变换的标准形的求法具体如下：(1)首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子.(2)每一个初等因子对应一个若而当块. (3)就是的标准形.2有限维线性空间的分解2.1按子空间的直和分解在判定两个子空间的和是直和是应熟练应用直和的等价条件，其中最常用的是与.如果要证明线性空间可以分解成子空间的直和时，先任取,证明，,则有;再任取,证，则有.于是.例2.1.1已知的两个子空间，证明 .证明 对任意的，有 ,其中,.容易验证,所以,即有.对任意的,则,所以,故.2.2按生成子空间分解定义2.2.1 设是线性空间中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合所成的集合是非空的.而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间.这个子空间叫做由生成的子空间，记为.例2.2.1证明：数域上任意一个维线性空间可以表示成个1维子空间的直和.证明 在线性空间中取一个基，则由于因此 是直和，于是.2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解如果可以写成两个非平凡子空间与的直和：,那么任选的一个基和的一个基凑成的一个基.当与都在线性变换之下不变时，关于这样选取的矩阵是，其中是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵，是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵.由此可知，矩阵分解为准对角形与维线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.上述的讨论说明对于维线性空间的一个线性变换，如果能将分解成若干个子空间的直和，则可以适当的选取的一个基，使在这个基下的矩阵有比较简单的形状（准对角形）.特别的如果能将分解成若干个一维子空间的直和，则可以适当的选取的一个基，使在这个基下的矩阵是对角形.这个命题的逆命题也是成立的.即可以对角化的充分必要条件是可以分解成若干个一维子空间的直和.例2.3设是数域上的维线性空间的线性变换，使得求的特征子空间.解 取的一个基，则，同样有，于是在基下的矩阵为的特征多项式为,特征值为.矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量是.所以线性变换的属于特征值的线性无关的特征向量是，的属于特征值的特征子空间是，同理可求属于特征值的特征子空间是.2.4按线性变换的标准形分解定理2.4.1设是维线性空间的一个线性变换，是的互不相同的特征值，那么存在的一个基，使得关于这个基的矩阵有如下形状， 这里，而都是属于的若尔当块，.由于线性变换的一个基是线性空间的一个基，它使得在这个基下的矩阵为形矩阵. 当我们已经求出的标准形之后，为了求出的一个基.只要把原来的基到基的过渡矩阵求出即可.由于J=，所以是矩阵方程的解并且为可逆矩阵. 如果，则上述方程是含有个未知量的由个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出.选取可逆矩阵（因为线性变换的标准形存在，所以满足上述方程的可逆矩阵一定存在）便可作为过渡矩阵P.定理2.4.2设是复数域上维线性空间上的线性变换，是的一个基，则，其中，例2.4.1设是复数域上线性空间的线性变换，是线性空间的一个基，在这组基下的矩阵为=求线性空间的一个直和分解.解 由预备知识中的定理1.2可知 的标准形为，故的一个基为：,.由上述推论，令,则 .总结有限维线性空间分解主要有按子空间直和分解、按生成子空间分解、按特征子空间分解（即按可对角化的线性变换分解）、和按线性变换的Jordan标准分解几种方法，正文部分已经加以说明，利用了线性空间的定义与简单性质，线性子空间的定义及其性质，还有直和、维数、特征值与特征向量和若当标准型的定义与性质，并通过具体的例子加以说明。通过这次课程设计，今后可以用以上几种方法对有