特殊的高次方程的解法.doc

特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程.教学过程设计一、 情景引入 1复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) ； (3) ； (4) =3； (5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？二、学习新课 1概念辨析（1） 一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为 注 =0（a0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2例题分析解下列简单的高次方程：（1）（2）（3）（4）分析 解一元n次（n2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n次方根.如果在实数范围内这个数的n次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 （学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n为偶数时，如果ab0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2 教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入 1复习请同学们解下列一元二次方程：(1) (2) （解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2思考：若令,则方程变形为（1），（2）如何求解上述方程？3观察：提问：以下哪些方程与，具有共同的特点？（1） （2）（3）（4） （5）这类方程有什么共同的特点？二、学习新课 1概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：（3）学生归纳：如何求解双二次方程？ 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。换元法是一种重要的数学方法，它不仅可以用在解方程中，在其他许多领域都有着广泛的应用。换元法解一元高次方程的一般步骤：(1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式(2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值(3) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值，即原方程的解2例题分析 例4：解下列方程： （1） （2） 例5：解方程 分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把看作一个整体直接求解. 3问题拓展不解方程，判断下列方程的根的个数：； ； .分析：令0,y1y20,y1+y20 原方程有四个实数根.0,y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有两个实数根.0 原方程没有实数根.：（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2x）=2;（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; （2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由 四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1解双二次方程的一般过程是什么？（1）换元；（2）解一元二次方程；（3） 回代.2如何判断双二次方程的根的个数？五、作业布置解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3） x4-（a2+b2）x2a2b2=0;（4）（x2+8x12）26（x28x12）9=0. 特殊的高次方程的解法3教学目标知识与技能：根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程.过程与方法：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学过程设计一、 情景引入 1复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：x2-4x+3； x4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12.（2）提问：解二项方程的基本方法是什么？（开方）解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的.2观察：（1）若令x2-4x+3； x4-4；x3-2x2-15x； x4-6x2+5；（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？二、学习新课因式分解法因式分解法是解一元高次方程首选的方法。这种解法的理论根据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即： 。因式分解法解一元高次方程的一般步骤：(1) 将方程右边化为零(2) 将方程左边分解为几个一次因式乘积(3) 令每个因式分别为零，得到几个一元一次方程或一元二次方程(4) 解这几个一元一次方程或一元二次方程，它们的解就是原方程的解1例题分析例6 解下列方程 （1）5x3=4x2； （2）2x3+x2-6x=0.说明 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程 （1）x3-5x2+x-5=0； （2）x3-6=x-6x2.2问题拓展（1）解方程 x3-2x2-4x8=0解 原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0所以 x1x22，x3=-2（2）归纳： 当ad=bc0时，形如ax3bx2cxd=0的方程可这样解决：令，则a=bk,c=dk,于是方程ax3+bx2+cx+d=0可化为 bkx3+bx2+dkx+d即 (kx+1)(bx2+d)=0三、巩固练习1直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是_.2解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x2）=0，（2）（x-3）（x2）（x2-x2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x1)(x4)(x+7)=19解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x25x4)=19设则(y-9)(y+9)=19，即y2-8119说明 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.分层作业：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1 （4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67 高次方程及解法4 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。一、 1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。例1 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)= x3+3x2-6x-8 观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1）， （x3+3x2-6x-8） (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, 原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式anxnan-1xn-1+a1x+a0可分解出因式px-q,即方程anxnan-1xn-1+a1x+a0=0有有理数根（、Q 是互质整数），那么，一定是首项系数an 的约数，Q一定是常数项 a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。例1 解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、6 第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用长除法将原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）(x-2) (x+3)= x2+x+1第四步：解一元二次方程x2+x+1=0x= x1= x2= x3=2 x4= -3第二种类型，首项系数不为1 。对首项系数不为的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而不是，因为此时原方程的因式是（x），其余的解法步骤同首项系数为的解法步骤相同。例解方程x3-x2x -6解：将原方程化为 （x3-x2x -） 此时，“常数项”为-2，它的约数为 1， ，根据“1判根法”排除1，这时，代人原方程验算的只能是=，或= - f()=3=30=0所以原方程中有因式（3 x-2）。（3x3-x2x -6）(3x -2)= x2+3解方程式x2+3=0 x=，x1=，x2=-原方程的解为x1=，x2= ，x3=三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d2、性质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；（2）如果a是方程的根，则也是方程的根；（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。3、倒数方程求解方法：如果a x4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x0,所以，方程两边同除以x2得：a(x2+)+b(x+)+e=0,令x+=y, x2+=y2-2,即原方程变为：ay2+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+=y，解得x的值。例1 解方程2 x4+3x3-16x2+3x+2=0解： x2 0 方程两边同除以 x2 得：2x2+3x-16+=0,即2（x2+）+3（x+）-16=0, 2（x+）-2+3（x+）-16=0, 令x+=y, 代入方程整理得：2y2+3y-20=0, 解之得：y1= -4, y2= 即x+= -4, x2+1= -4x, x2+4x+1=0, x=-2,x1= -2+, x2= -2 -又 x+= 2x2+2=5x, 2x2-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 x3=, x4=2经检验知x1= -2+, x2= -2-，x3=, x4=2都是原方程的根。例2 解方程6x5 - 4 x4 -3x3+3x2 -4x -6=0 解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：6x4+10x3+7x2+10x+6=0，方程两边同除以x2并整理得：6+10, 令y=得 方程x+无实数解：得：x经检验知：是原方程的实数根。四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：第一种是标准式，如：ax4+bx2+c=0 ,此时设y=x2 原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，从而求出x之值。第二种形式双二次方程的推广形式。如：（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0 ,此时设y=(ax2+bx+c),也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y从而求出原方程的根x之值。第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a）(x+c); (x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax2+bx+c）或成比例的多项式m(ax2+bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入ax2+bx+c=y求x之值。第四种形式是（x-a）4+(x-b) 4=c的形式，此时，将“-a”换成“+b”或将“-b”换成“+a”，利用y=x+,消去x的三次项和一次项，变成双二次方程+的形式求解。例1 解方程x4+3x2-10=0解：本例属于双二次方程标准式ax4+bx2+c=0的形式，直接设y=x2,则原方程化为：y2+3y-10=0 (y+5)(y+2)=0 y= -5或者y=2 (舍去)，x2=2,x1=，例2 解方程（x2-3x+2）2=9x-3x2-2解：本例属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第二种类型（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(x2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0设y=x2-3x+2,则原方程转化为y2 +3y -4=0 ，或者 y=1 x2-3x+2=-4 ,x2