2018_2019学年八年级数学上册教材分析素材（新版）北师大版.docx

材分析与问题研讨一、教材总体思路分析（一）本学期学习的主要内容及课时安排 章节序号章节名称课时数第一章勾股定理41探索勾股定理22一定是直角三角形吗13勾股定理的应用1第二章实数111无理数22平方根23立方根14估算15用计算器开方16实数17二次根式及其运算3第三章位置与坐标51确定位置12平面直角坐标系33轴对称与坐标变化1第四章一次函数71函数12一次函数与正比例函数13一次函数的图象24一次函数的应用3第五章二元一次方程组8+11认识二元一次方程组12解二元一次方程组23应用二元一次方程组-鸡兔同笼14应用二元一次方程组-增收节支15应用二元一次方程组-里程碑上的数16二元一次方程与一次函数27*三元一次方程组1第六章数据的分析61平均数22中位数与众数13从统计图分析数据的集中趋势14数据的离散程度2第七章平行线的有关证明71为什么要证明12定义与命题23平行线的判定14平行线的性质15三角形内角和定理2综合与实践计算器运用与功能探索2综合与实践哪一款“套餐”更合适2综合与实践哪个城市夏天更热2（二）各章整体设计与内容的组织1.本册各章之间的关系本册前五章之间存在内在的逻辑关系。在古希腊时期先有了平面几何的重要定理-勾股定理，其后对于一些特殊量度的研究得出不可公度的量，形成了不可比的数（无理数）的概念、实数的概念。实数可以和数轴上的点形成一一对应，这个时候，数轴也变成了“实”的、连续的，因此，可以用以刻画连续变化的量。在“实”的数轴的基础上拓展出的平面直角坐标系，就可以将平面上的点一网打尽了。只有建立了平面直角坐标系，才可以从“形”的角度认识函数、一次函数。本套教科书特别注重揭示函数与方程的联系，力图从“形”的角度认识方程，因此，在一次函数的基础上才能认识二元一次方程的图像。2.为什么先研究勾股定理再研究实数利用勾股定理解决问题的过程中，一般都涉及到开方运算，而具体情境中多数是开不尽的，因此需要学习开方的一般表示。为此，多数教科书都是先研究实数（平方根、无理数、根式甚至根式运算），再研究勾股定理。可北师大版教材却反过来，先研究勾股定理再研究实数，原因何在？为此，我们需要分析两种做法各自的特点。先学习实数再学习勾股定理的好处是：先准备好了根式的有关知识，然后利用勾股定理解决问题时，数据可以更加真实，运算更为便捷。但也存在与生俱来的不足：违背了数学历史发展的规律；而难能揭示无理数研究的必要性；只能设计有关面积的问题背景，十分单调。作为平面几何有关度量的最基本定理，勾股定理有着悠久的历史，人类文明的早期基本都自主地得到了勾股定理；而历史上，古希腊人从几何图形研究中，发现一些量是不可公度的（这些量不能同时是某个基本度量单位的整数倍），也就是说这两个量的比不是整数，因而得出不可比的数（由于翻译的偏差，误译为无理数）；至于无理数的小数表示和小数定义（无限不循环小数），那是以后的事（古希腊当时还没有十进位值呢）。也就是说，历史上，是先在理性思考的基础上，发现不可比的数（无理数），接着才研究其小数表示和根式表示的。先学习无理数再学习勾股定理，不符合历史顺序。先学习无理数再学习勾股定理，也无法让学生感受无理数学习的必要性。先学习无理数再学习勾股定理时，教科书一般这样引出平方根的概念：提问“2的平方等于4，2叫做4的平方根，那么2的平方根等于多少呢？如何表示呢？”从而引出平方根的概念和表示，接着研究 的小数表示，引出无理数的概念。这样做，学生难免有这样的疑问“有平方等于2的数吗”“学习过的数的平方都不等于2，那这样的数就不存在呗，干嘛还得研究？”对无理数研究的必要性提出质疑。而先学习勾股定理再学习无理数，则避免了上述缺点，顺应了历史发展的顺序，也符合学生的认知顺序，后面无理数一章的题目背景更为丰富。教科书首先通过拼图活动得出面积为2的正方形，也就是说，发现一个数的平方等于2，切实感受到这个数的存在性；接着思考这个数是不是原来学习过的数，发现不是原来学习过的数，进而研究这类数的小数表示和定义，得出无理数的概念；接着，研究这样的数的表示，得出平方根、立方根的概念。这样的活动设计，与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时让学生体会到抽象的数学概念在现实生活中有其实际背景。也有老师，对这个活动中学生能否感受a不是分数存在疑问。教材组在编写这一课时时特意进行过教学实验，教材组两位老师到两所学校进行了教学实验，学生基本都能自主的获得这个结论。如学生说：“12=1，22=4，32=9，越来越大，所以a不可能是整数”， “结果都为分数，所以a不可能是分数”，“两个相同的分数，分子分母已经都约过分了，相乘后肯定不好再约分了，因此不可能是整数2”实际上，学生最后的说法就是严格的证明了。教学中只要给学生适当的空间，学生应该能够认识到这一点的。此外本课时后面还有一个阅读材料：无理数的发现，教师可提示有兴趣的同学课后阅读。当然，这样的教科书设计不可避免地带来了一些不便，如需要精心选择勾股定理一章例、习题中的数据。但也应认识到，如果学生能感受到数据需要选择，可能更能感受到一般表示的必要性，从而产生学习实数的内在需要。此外，在下一章实数内容学习中，可以回过来解决利用勾股定理的应用问题，加强了代数与几何的联系，使得两章成为一个整体。3.为什么先研究一次函数再研究二元一次方程组确定一般的一次函数表达式，需要确定其两个参数k和b，因而需要具备解二元一次方程组的有关技能。因此，多数教科书中，先学习二元一次方程组再学习一次函数。我们教科书又反过来了，为什么？关注几何直观！二、各章具体内容解析（一）第一章：勾股定理设计思路教科书设计了3节内容：第1节，探索勾股定理（2课时）；第2节，“一定是直角三角形吗”（1课时），探索勾股定理的逆定理；第3节，“勾股定理的应用（1课时），巩固勾股定理及其逆定理。在每节的编写中，仍然遵循本套教科书的编写风格，按照“问题情境-建立模型-解释、拓展与应用”的模式展开，首先通过具体问题情境，引入研究的必要性，接着设计探究活动获得有关结论，然后运用探究得到的结论解决具体问题。教学与评价建议（1）注重使学生经历探索勾股定理等活动过程教科书安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动，教师应鼓励学生充分从事这些活动，通过观察、实验、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。（2）注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用勾股定理和逆定理在现实世界中有着广泛的应用，教师应充分利用教科书中的素材，让学生体会这种应用，如利用勾股定理求出一些表面距离的最小值，进行各种距离的测量，利用结绳的方法作出直角等。教师还可以创设其他现实情境或者鼓励学生自己寻找有关问题，进一步展现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。（3）尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值勾股定理的发现、验证及应用的过程中蕴含着丰富的文化价值，很多古文明都独立地发现了勾股定理，中国也是最早认识勾股定理的国家之一，古希腊在勾股定理的运用中，发现了无理数，进而导致了数学史上第一次关于数学基础的危机。关于勾股定理的历史材料十分丰富，教学中教师应鼓励学生阅读教科书中的相关材料，还可以再展现一些历史资料，以拓宽学生的视野。有条件的话，还可以引导学生自己从有关书籍、网络上收集资料，了解更多的历史资料，体会勾股定理的文化价值。（4）注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透在勾股定理的探索与验证活动中，蕴含着丰富的数学思想，如数形结合的思想，化归思想等。教学中，教师应注意渗透并揭示这些数学思想方法。如数形结合，教师应鼓励学生由代数表示联想到有关几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系。（5）关注对探究勾股定理等活动过程的评价教科书设计了大量的探究活动，这些活动对于发展学生的空间观念和推理能力很有帮助，因此，对这些活动过程的考察成为学习评价的主要方面。对于这些活动的评价，可以关注多个方面：如活动中学生是否积极参与，是否能和同伴进行有效的合作交流，能否积极的思考，能否提出解决问题的策略，否开展积极的联想(如由数联想到形，由形联想到数)，能否有条理地表述活动过程和所获得的结论等。如果有条件，还可以让学生课外搜集有关勾股定理的资料，并进行课堂展示、交流、评析，通过这些活动来考察学生的各方面能力的发展状况。（二）第2章：实数设计思路首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念；然后，通过具体问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算。由于在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此教科书安排了一节内容：估算，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验计算结果的合理性等。接着，教科书用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。最后，介绍了特殊的实数运算-二次根式的运算，引领学生对简单的二次根式进行化简。教学与评价建议（1）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的。如无理数的引入，要让学生亲身经历活动，感受引入的必要性，初步认识无理数是无限不循环小数这一意义。在教学时，教师要鼓励学生动手、动脑、动口，与同伴进行合作，并充分地开展交流。再如平方根的概念，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符。对此，在平方根的引入时，教师可多提一些具体的问题，如9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9。还有其他的数，它的平方也是9吗？等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念。接着让学生去讨论：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，特别是负数的情况，然后再通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念。（2）鼓励学生的自主探索和合作交流本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题，教学中应当让学生进行充分的探索和交流。如大正方形的边长a是什么数，教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受无理数引入的必要性，并体会无限不循环的过程；再如二次根式的相关运算规律，在教学过程中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程，鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证，并用自己的语言清楚地表达。（3）注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系7年级时，学生已经学习过有理数的有关概念和运算，本章将学习实数的有关概念及运算，在这些概念、运算律、运算法则的教学中，应加强类比教学，通过新旧知识的类比、对比，认识新旧知识的区别和联系，促进知识系统的建构与完善。如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比于有理数建立起来的，运算律和运算法则也是通过类比得出的。此外，本章立方根的学习也可以类比平方根的学习。（4）准确把握有关运算的定位与要求本章有很多运算，对于计算的评价，首先要严格按照课程标准的要求，定位准确。如，课程标准对于二次根式的运算没有提出一般的有理化分母的要求，教学中注意准确把握课程标准的要求。此外，不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法；能否依据算理正确地进行计算；能否确认结果的合理性等等；对于较复杂的实数运算，关注学生是否会使用计算器进行运算。（三）第3章：位置与坐标设计思路与课时安排 “图形与坐标”是“图形与几何”的三个重要组成部分之一，它是发展学生的空间观念的重要载体。作为第一、二学段“图形与位置”的发展，本章是第三学段“图形与坐标”的主体内容，将引领学生感觉确定物体位置的多样性、抽象出平面直角坐标系，进而形成利用平面直角坐标系确定图形的位置，并将从坐标的角度描述学习过的图形变化（如轴对称），进一步认识轴对称。同时，平面直角坐标系将是表示有关变量之间的关系的重要工具，因此本章是本册下一章“一次函数”学习的重要基础。本章首先结合学生的生活实际，选择了丰富多彩、形式多样的确定位置的现实背景，力图使学生感受平面上确定位置的共同特征：不管用什么方法确定位置，都需要二个数量；然后，通过实际背景，认识确定位置的一个常用方法，引入平面直角坐标系，建立直角坐标系中的点与坐标之间的一一对应关系，学习根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标，同时能主动建立坐标系刻画图形上各点的位置；最后，在同一个直角坐标系里，探索图形的变化（轴对称）与坐标的变化之间的关系，从而揭示坐标的变化与图形轴对称变化之间的关系。教学与评价建议(1)结合实际创造性地选用现实题材进行教学教学中要立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创造性地选用现实生活中有关题材，丰富教学内容。生活中，确定位置的方法是多样的，即有点定位、区域定位、极坐标定位、直角坐标系的定位等，教材从学生熟悉的情境出发，选取了“电影院中找座位”、“航海中找目标”、“地图上确定城市”等素材，但教学尚需要教师一定程度的再创造。教学中教师既可以利用教材上已有的题材，也可以根据本地的生活实际和学生的认知实际，选取更为贴近学生的教学素材（如确定学校的位置、校园中旗杆的位置、学生在班级的位置等），鼓励学生用自己的方式来确定位置。(2)恰当把握教学重点与要求 教学中应充分经历确定物体位置的活动过程，在过程中体会到：不管用什么方法来确定一个物体在平面上的位置，都需要两个数据。要引导学生理解坐标变化与轴对称之间的联系，形成对图形变换的整体认识，进一步发展学生的数形结合意识、空间观念、建立几何直观。(3)要恰当运用丰富的教学手段本章的教学需要大量的坐标纸、地图等材料，事前的准备是必需的。同时，建议有条件的地区使用计算机进行动态演示，以保证教学的效果。（四）第4章：一次函数设计思路本套教科书对于函数的处理是循序渐进螺旋上升的。具体地，在七年级上册设计了“字母表示数”一章，旨在让学生体会字母表示数的必要性，从而引入代数式及其简单运算，同时，该章还有一个重要目标，就是能结合具体情境列出相应的代数式，实质上这里已经渗透了初步函数思想，因为这里所列代数式实际上就是函数对应值的数学表达式，只是没将函数值对应的量用字母表示出来而已。此外，该章设计了很多情境，通过列表、数值转换机等多种形式让学生体会变量之间的对应关系。在七年级下册设计了“变量之间的关系”一章，通过大量贴近学生生活的丰富实例，让学生体会变量之间相依关系的普遍性，感受学习变量间关系的必要性，并通过列表、解析式、图象几种方式呈现变量之间的关系，从多方面感知变量间关系，揭示其本质，同时也暗示函数的三种表示方式。正是有了七年级的铺垫，本章继续通过变量间关系的考察,让学生初步体会函数的概念,明确变量之间的这种关系就是函数关系，并进一步研究其中较为简单、应用广泛的一种函数一次函数。我们希望通过解剖一次函数这一“麻雀”，使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。本章教科书设计中，进一步体现了“问题情境建立数学模型解释拓展与应用”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时遵循由特殊到一般、由简单到复杂的研究思路，在研究一般的一次函数前，先研究正比例函数，并阐明了特殊的正比例函数与一般的一次函数之间的联系与区别。不仅如此，与以往不同的是，突出了对一次函数y=kx+b中k与b意义的认识，并让学生经历由一次函数表达式到图象，又由图象到表达式的过程，体会数形结合的思想方法。在具体内容的呈现上，教科书力求为学生提供生动有趣的问题情境，提供观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中加深学生对数学知识的理解，发展学生的数学思维；在新知的导入上，既注重了与学生生活实际的联系，又注意了新旧知识的联系，在新旧知识的比较与联系中，促进了学生新的认知结构的建立与完善。如在“函数”的设计中，注意了与七年级下册“变量之间的关系”一章的联系；在“一次函数”的设计中，加强了一次函数与一次方程的联系等。与此同时，教科书有两个方面的变化也应当引起教师的注意：一是在“函数”与“一次函数的应用”中，结合实际问题情境，增加了自变量取值范围的内容，使得学生对函数有了更全面的认识，这也是课标的新增要求；二是结合“一次函数的应用”中的实际问题，强化了对一次函数模型中一次项系数的实际意义的认识，这样，既增进了对数学的理解，也增进了解决实际问题的能力。此外，教科书注重了学生形象思维能力的培养。形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养学生形象思维的一个重要渠道。但在传统教学中，较为强调函数的代数表达式这一“数”的特征，而相对弱化了其图象这一“形”的特征，学生的识图、用图的能力较弱，数形结合的意识较为薄弱。为此，教科书第5节“一次函数的应用”，设计了大量活动，让学生通过图象获取信息（识图），并解决有关问题，培养学生的数形结合能力，发展形象思维能力。教学与评价建议（1）加强一次函数新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构教材中，注意了函数与变量之间的关系的联系、一次函数与一次方程的联系、“数”与“形”的联系，教学中要注意加以体会与实施。（2）充分挖掘结合学生生活实际的素材，加强数学与现实的联系，让学生体会数学的广泛应用一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是。如有关计时的漏刻、沙漏、日晷、钟表等，计重的天平、弹簧秤、杆秤以及测量气压、血压、温度等的有关仪器，它们都是应用一次函数的很好实例。教材中设计的例习题多数具有现实生活背景，力求让学生体会数学的广泛应用。但在教学中，教师仍应结合本地本校学生的生活实际和认知状况，选择更为贴近学生生活实际和认知水平的教学素材，促进新的认知结构的建构和数学应用能力的发展。此外，在具体问题情境的选择上，除了关注问题情境的现实性，也应努力渗透一定的教育性。如第2节的“手机话费问题”、第5节的“公司销售收入和销售成本问题”以及其他一些例、习题都具有较为浓厚的经济色彩，也是希望渗透一定的“经济意识”，而第5节“水库蓄水问题”配图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，旨在培养学生良好的环保意识。（3）关注学生对基本知识技能的掌握情况和应用一次函数解决问题的意识的提高状况。教学中，可要求学生举例以阐述自己对基本知识的理解和对基本技能的掌握情况，并根据学生所举的实例分析学生认知状况和应用一次函数解决问题的意识和能力水平。，如可以要求学生自主寻找有关一次函数的现实背景，并在实际背景中揭示相应的一次函数的系数k,b的具体含义。（五）第5章：二元一次方程组设计思路在总体设计思路上，本章与前面的一元一次方程类似，强调建模思想，关注知识的形成与应用过程。为此，教科书设计继续遵循“问题情境建立模型解释、拓展与应用”的模式，首先通过具体问题情境，建立有关方程并归纳出的二元一次方程和二元一次方程组的有关概念，然后探索其各种解法，并在现实情境中加以应用，切实提高学生的应用意识和能力。具体地，第1节通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，让学生观察归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念，并从中体会方程的模型思想；第2节，顺理成章地给出现实问题的解答，进而通过具体方程总结出二元一次方程组的两种基本方法代入消元法、加减消元法；第35节再次通过几个问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练。这样，一方面在列方程的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程解决现实问题的意识和能力，另一方面，将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能；第6节，通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组，并利用二元一次方程组确定一次函数的表达式；最后，作为选学内容，介绍三元一次方程组的基本解法。教学与评价建议（1）注重学生的活动，鼓励学生的自主探索与合作交流学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，因而，学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。在教学中, 教师应放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组，解决简单的实际问题，并可引导学生思考列方程组时如何寻求等量关系。（2）注重设置丰富的问题情境，让学生经历模型化的过程列出二元一次方程组解决简单的实际问题，是第三学段代数教学中的一个重要内容，是数学联系实际的一个重要方面。通过这个内容的学习，可以使学生接触诸多现实问题，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。因而，方程教学首先应关注方程的建模过程。教科书第一课时的目的就是想通过对多种实际问题的分析，让学生感受方程是刻画现实世界的有效模型，教学中应让学生从具体实例出发，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。当然，教师应根据学生的生活实际和认知实际，创设更为丰富、贴近学生生活的现实情境，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。此外，在解方程与应用中也应更多地关注学生的建模过程，关注学生能否顺利地列出正确的二元一次方程组。如可向学生提出像“题目中的已知量、未知量是什么”“各个量之间的关系是什么”的问题，提高学生解决实际问题的一般性策略。当然，对于较为复杂的问题，教师还可以给予进一步的指导或进行适当的分解，如“里程碑上的数”一节中，对于里程碑上数的表示和其中一个等量关系：“12:0013:00间汽车行驶的路程=13:0014:00间汽车行驶的路程”的获得，学生可能有些困难，为此教材通过填空的方式将问题进行了分解，教学中，教师可以组织学生进行适当的讨论，但不管怎样，指导的前提是学生存在了认知障碍。（3）注意化归思想的渗透代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法，其本质是“消元”。“消元”体现了数学学习和研究中“化未知为已知”的化归思想，而且它在未来学习多元方程组、多元函数的条件最值等知识时具有广泛的应用。因此在教学中，教师应引导学生分析出解二元一次方程组的本质是消元，即把“二元”转化为“一元”，并鼓励学生用自己的语言概括解方程组的主要步骤。在讲完二元一次方程组的两种解法后，应引导学生作一小结比较这两种方法的差别与联系，体会“消元”的本质，而不要过于强调“代入”和“加减”这两种具体技巧，更不要根据方程的特征对这两种方法进行分类选用。（4）关注学生列方程解决实际问题的意识的提高状况。教学中，可要求学生自主地观察生活实际，并据此编制有关应用问题，并从学生所编制的应用问题中评判其应用意识的水平。（六）第6章：数据的分析设计思路在七年级学生已经经历过一些数据收集的过程，并对数据进行了初步的整理，能用适当的图表将处理结果表示出来。但是在现实生活中，人们不仅要收集数据，更要对收集到的数据进行加工处理和分析，进而作出评判。应该说，一个完整的统计过程包括收集数据、整理数据、分析数据、作出决策这样几个过程。因此若要提高学生分析数据、解决实际问题的能力，必须授予学生一定的评判工具。因此，本章介绍刻画数据集中趋势和离散程度的几个指标。在学生已有的经验和认知中，他们多是单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平。考虑到这一想象的存在，本章首先利用一个学生熟悉的现实生活背景导入算术平均数的概念，而后又提出了加权平均数的概念，通过问题的设计，让学生了解权的差异对平均数的影响。在此基础上，通过一个有争议的话题，引起学生对“平均水平”的认知冲突，从而引入中位数、众数的概念，帮助学生建立平均数、众数、中位数都是数据代表的观念，达到多角度地认识“平均水平”的目的。另一方面在现实生活中我们获得的数据信息常常以统计图表的形式呈现，于是教材讨论了如何从统计图表中获得数据的代表的问题。对于这类问题的解决，教材以不同的统计图为载体，举例说明了如何从统计图中计算或利用图形的特点较为准确的估计数据的平均数、中位数、众数。接下来教材通过具体问题，让学生感受有时仅依靠“平均水平”仍难以准确刻画数据，还需要关注数据的“波动水平”，为此教科书上引入了关注数据离散程度（波动水平）的三个量极差、方差和标准差。同时通过学生的探索，让其获得用计算器处理数据的基本技能。在具体教学素材的选取上，本章进一步体现了实践性和可操作性的原则，保证素材的真实性、科学性和教学实施的可操作性。在素材呈现上，注意呈现方式的多样化和知识间的前后联系。又由于信息的来源渠道和呈现方式日趋多样化，因此教科书有意识地以条形统计图、折线统计图、扇形统计图等多种呈现方式呈现数据。这样既加强了知识间的联系，巩固了学生对各种图表信息的识别与获取能力，同时也增强了学生对生活中所见到的统计图表（如报纸杂志、电视等媒体的一些图表）进行数据处理和评判的主动意识。此外，值得说明的是，义务教育数学课程标准（2011）中仅有方差的概念，对标准差没有作出要求。但我们认为，标准差和实际数据具有同样的量纲，在数学上便于表示，在实际问题的解决中更具现实意义，而且在多数计算器中也仅有标准差，而没有方差。为此，在教科书中增加了标准差这一概念。教学与评价建议（1）注重学生的活动，特别是小组合作的活动统计活动往往非一人力量所能完成，需要同学间合作，而对统计结果的评价也是因人而异的。通过充分研讨，广泛交流各自的观点，必能扩大学生的思维视角，深化学生对知识的理解。因此，教学中要加强活动的教学，特别是小组合作活动的组织与教学。在合作交流中，通过相互帮助，让所有学生会都得到发展，达到共同进步的目的。(2)教学素材选材要广泛，有关数据要真实、可靠，呈现方式宜多种多样随着社会的发展，信息的来源渠道和呈现方式日趋多样化。统计已经渗透到生活的方方面面，统计图表指标各种媒体中频频出现，因而能从多种渠道获取统计图信息已经成为对为了公民的一个基本素质要求。为此，教学中既可以组织学生开展一些调查或文献检索等活动，自己收集一些相关教学素材，也可以由教师提供一定的素材，让学生分析、评判；教学素材的呈现，既可以是未经加工的原始材料，也可以是经过加工处理的各种统计图表等。同时，统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支，必然要求教学素材本身的真实性，以培养学生求真的科学态度。教学中应充分挖掘结合学生生活实际的教学素材，将知识的学生方针解决问题的情境中，作为数据处理过程的一部分，使学生体会数学与现实的联系。(3)鼓励学生思维的多样性，避免评价的统一性对统计数据的评判，既与统计数据本身有关，也与评判主体（作出评判的人）有关。对应同一组数据，不同的人从不同的角度可以得到不同的评判结果。因此，在教学过程中应鼓励学生思维的多样性，避免评价的统一性，只要学生的回答有一定的道理，就应给予肯定和鼓励。(4)鼓励学生使用计算器处理复杂的数据，注重其他课程资源（如信息技术、媒体）的开发与利用真实的统计数据往往比较复杂，因而计算量较大。教学中，应关注学生对知识的理解，而不要将学生的精力耗费于繁杂的计算中。为此，应鼓励学生使用计算器，有条件的地区或学校可尝试用计算机等现代化手段进行数据的处理和教学。 (5)关注学生对知识技能的理解与应用知识技能的评价包括：能否从多个角度感受平均水平，在不同情境中用适当的数据表示一组数据的平均水平；能否掌握极差、方差和标准差的概念；能否从统计图表中获取信息并进行加工处理；能否对数据处理的结果作出自己的评价；能否运用计算器处理数据等。这些知识技能的评价，应当更多地关注其在实际问题情境中的理解，体会它们在实际生活中的广泛应用，而非死记其运算公式。因此教学中，应要求学生举例说明自己对问题的理解。此外，对应三个数据代表、三个刻画波动状况的量的比较与选择应用，本章仅要求学生体会它们在不同情境的应用即可，教学中注意体会其教学要求，进行恰当的定位，不要做不适当的拔高和加深。（七）第7章：平行线的证明设计思路本套教材选择了从“两阶段”（探索阶段与证明阶段）过渡到合二为一（边探索边证明）的处理方式对平行线和三角形的学习采取了分两个阶段学习的方式；对于平行四边形、特殊的平行四边形等，采取探索加证明的方式，也就是引导学生通过观察、测量、操作、实验等活动探究结论，同时对这些探究的结论进行严格的推理论证这样的处理方式，初始阶段，通过观察、测量、操作、实验等探索活动，发现有关结论；在这样的活动过程中，学生通过亲身探究活动，展开合情推理，合情推理能力和探究发现能力得到很好的发展，主体性也得到了充分的发挥；由于初始阶段，重心放在结论的探究上，几何学习的语言表述等难点得以分解，有利于降低几何入门教学的难度，激发学生的学习兴趣。本章是证明的起始阶段，学生先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但毕竟不是证明。本章首先要让学生明确认识到，这些探究的结论需要加以证明；然后明确证明需要一个话语体系，为此就有了所谓的定义、命题等；其次，证明需要确定一些出发点，为此，需要梳理有关结论，选择某些结论作为证明的出发点（实际上这就是构建局部的公理体系）；有了这些证明的出发点，下面自然就应依次证明一些先前探究得到的定理，在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，再次认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力。基于这样的考虑，就有了下面几节内容：第一节说明“要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理”，强调证明的必要性第二节指出定义、命题、基本事实、定理的含义，为后面的证明奠定基础，同时，介绍了欧几里得的原本第三节给出了判定平行线的基本事实和定理，考虑到学生的年龄特点，这里沿用了以往扩大公理体系的做法，把“同位角相等，两直线平行”作为基本事实第四节给出了平行线的性质的基本事实和定理第五节对三角形内角和定理、外角与内角的关系进行了证明本章是证明的起始阶段，因此，比较关注对证明意义的理解和对证明过程中格式规范的要求。因此，本章的证明题都要求画出相应的图形，写出具体的已知、证明，并且在证明过程中要求注明证明的依据。这样做的目的是，希望养成学生步步有据的习惯，形成严谨的科学态度。当然，在后面几个章节，学生逐步养成步步有据的习惯之后，也可以不再做这样的要求。本章多数结论是前面已经探究过的，当然也有部分新的结论。对于已经探究过的结论，学习的重心自然是这些结论的证明，但对于这些内容，教科书也不是直接呈现证明，往往是先引领学生回顾有关结论的发现过程，希望通过回顾发现过程，引发证明的思路。对于新的结论，教科书多是先引领学生通过活动发现结论，进而利用前面的定理进行证明。总之，教科书设计中，除了关注学生证明过程外，也关注证明思路的发现过程和结论的发现过程。需要说明的是：“两直线平行，同位角相等”并不是基本事实，因此要求给予证明。但，这个证明相对比较复杂，需要采用了反证法，因此，按照课程标准的要求，教科书将其作为选学内容。同样，反证法，虽然是课程标准中要求了解的内容，但本章学习中仅有这个选学内容涉及反证法，因此，建议本章不要单独讨论反证法，根据本套教科书的整体设计，反证法将在后面进行专门研究。公理化体系的证明重要依据之一是公理，由于知识的局限和认知程度的影响，本套教材没有使用欧氏几何体系中的公理，而是根据课程标准选择了九条基本事实做为公认的事实，不加以证明，直接做为证明的依据，称之为基本事实3.教学与评价建议1.关注对证明必要性的理解和证明意识的建立 要让学生知道数学需要证明，数学之外的其他事物，也应该追究其缘由、问个为什么；体会公理化方法在数学和人类文明中的作用证明的必要性，不仅要从几何的角度给予认识，还要从代数甚至其他学科、实际生活等角度加以认识。让学生认识到，说话办事要有根有据。对于猜测、实验、操作等得到的结论一定要给予证明。2.兼顾探索与证明，发展学生推理能力推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中，本章节开始将着重提高学生的演绎推理能力，但并不意味着不要关注合情推理。在解决问题的过程中，两种推理的功能不同，相辅相成；合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论教学中要关注这两种能力的发展。因此，在关注证明的同时，也应尽可能创设探究活动、实践操作活动，在活动中发展学生的探究能力。本章所涉及的许多结论都是学生所熟悉的，教学时不能只是简单地证明过去所发现的结论，致使学生产生厌烦情绪课堂上可以选择其中部分结论作为示范加以证明，其他结论可以让学生自己证明对于本章中新的知识，要引导学生先进行探索，从探索的过程中找到证明的思路和过程对学生中出现的多种思路和方法，应该予以充分肯定，并在全体同学中交流和展示，使其个性得以张扬和健康发展3.关注证明的依据和规范性由于本章的多数结论学生先前已经探究过，因此，在证明过程中难免出现一些循环论证的现象。教学中要注意引导学生区分哪些结论可以作为证明的依据，哪些结论不可以作为证明的依据。提醒学生，只要作为证明出发点的基本事实和前面已经证明过的结论才能作为证明的依据。当然，循环论证，也只是本章学习过程中的一个阶段性现象，在下面三角形证明学习完之后，所有前面已经得到的结论都可以作为证明的依据，到初三几何学习结束后，全套书中所有的黑体字的结论都可以作为证明的依据，这样的现象就可避免了。因此，学生出现了循环论证的情况，加以引导即可，也不用过于担心，更不要给学生过大的压力，避免因压力过大造成学生兴趣的流失。由于学生是第一次学习证明，老师要借助规范的板书进行示范，力求做到步步有据。但也正由于学生是第一次学习证明，学生的证明不规范的现象也难免，因此，教师要允许学生少有时滞，不要期盼一次到位4.准确定位教学要求，注意控制题目难度由于本章是证明的起始阶段，重点是理解证明的必要性、初步掌握综合法证明的步骤和格式，因此，教材中有关结论的证明过程都不复杂，选取的例题和习题都不难，教学中注意控制难度，不宜补充难度过高、推理步骤过多的题目三、问题解答1为什么将探索勾股定理作为教学目标之一确定教学目标，首先需要了解相关知识的地位和作用。为此，我们首先分析一下勾股定理的地位和作用。（1）勾股定理是数学学科的一个重要的基础性的定理我们知道，在整个欧式几何体系中，三角形是最为重要的几何概念，几何证明基本是以三角形全等为基础展开的，而三角形内角和定理和勾股定理分别是关于三角形的两个最为基本的定理，分别涉及三角和三边之间的度量关系，勾股定理的自然引申就是一般三角形的余弦定理。可以说平面图形的运算基本都离不开勾股定理，因此，勾股定理是平面几何的一个十分基本定理（实际上它和第5公设、三角形内角和定理等价）。此外，勾股定理，可以十分自然地推广到平面解析几何中的两点之间距离公式，对后续代数学习也有着十分重要的作用。（2）勾股定理在现实生活中具有广泛的应用正由于其基础性，反映了其广泛的应用性。现实生活中，设计到具体长度的计算，一般都是将这条线段放到某个三角形中进行计算，当然，最简单的是直角三角形，利用勾股定理进行计算。（3）勾股定理在数学发展历史上起过重要的作用正因为勾股定理的基础性和应用广泛性，在数学发展史上，东西方都很早就展开了对勾股定理的研究，产生了各种各样的勾股定理的证明方法，并由此导出了无理数的概念，引发了数学史上第一次数学危机。这些都可以引发学生对数学文化、数学历史的思考。（4）它的发现、证明中蕴涵着丰富的数学内涵，蕴含着丰富的数学探索过程，这些都可以成为发展学生数学活动经验的一个比较好的契机。正由于上述原因，确定了勾股定理一章学习目标为：经历勾股定理及其逆定理的探索与运用过程，感受勾股定理的文化价值和广泛应用，在探索过程中进一步发展学生的数学活动经验，同时感受各种探索方法之间的内在联系。2勾股定理的证明方法有哪些？勾股定理的探究与证明方法很多，有几百种之多。当然，最常见的是下面几类：第1种类型是“算两次”：都是用两种不同的方法得到同一个几何图形的面积。其中典型的图形见右边。朱方朱青入朱入时青方青出青出青入这些方法中，对图形进行不同的分解与组合，利用代数运算探索三边之间的等量关系，体现了以形助数、数形统一的思想，有助于发展学生的数形结合意识；同时运用的知识简单，学生简单易行，操作性强；算两次的想法，是建立方程、恒等式的基本方法，运用广泛。第2种类型是“无字的证明”：适当地剪拼两个小的正方形，得到大的正方形。证明过程中，不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。代表性的有刘徽的“青朱出入图”。刘徽在九章算术注中重给出了青朱出入图，“勾自成为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也。合成弦方之幂”，刘徽原图已经失传，清代数学家李锐（1769-1817）对此做了复原，如图。类似的，有古印度、阿拉伯的做法：意大利著名画家达芬奇将左图中右边部分翻转后得到右图，显然两个图中中间的空白部分面积相同，也证明了勾股定理。这些证明方法十分巧妙，但关键是学生难能想到这样的方法，因此，可以作为课外拓展材料或者设计成课题研究活动，以激发学生的学习兴趣。第3种类型，借助欧几里德几何中其他结论进行证明，以欧几里德的证法最为典型。古希腊著名的几何学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在巨著几何原本给出了一个美妙的证明（方法4）：SBDLM=2SBDA=2SBCF=2SBAF=SBAHF,同理，SCELM=SCAQK。3.教科书为什么选择了这样的探究思路分析了上述三类方法的特点，我们认为，第一类方法比较适合8年级的学生。但如果直接呈现哪些图形，要求学生从两个角度计算面积，又感觉没有空间，另外学生会质疑，怎么想到这个图形的。因此，教科书中力图让学生自主地得到这个图形。具体做法如下：通过具体情境引出需要研究直角三角形三边之间的长度关系；考虑到学生的学力状况，直接告诉学生古人发现三边的平方之间存在一定的关系，到底是什么关系呢，需要学生的猜想；在没有任何帮助的情况，学生很可能是先画几个直角三角形，通过测量形成猜想，相信在班级的交流中学生能形成正确的猜想；如何验证猜想呢，也就是说需要构造三个边长的平方，计算三个边长的平方，自然就得到下图的图形（为了计算的方面衬以方格纸），设法通过分割计算斜边上正方形的面积。经过这样的过程应该说学生基本认可勾股定理。但教材不满足于此，第二课时提出疑问，测量的有误差，分割的较为特殊，对于一般的图形如何计算面积呢？由于有了第一课时的铺垫，希望学生形成下面的分割，进而通过不同的方式算出面积，验证勾股定理。4.勾股定理的探究教学还可以有哪些选择勾股定理探究中为了引出右图，有各种方式，下面提供两位老师的做法，供各位赏析。案例1：武汉市水果湖第一中学赵国英1分钟左右的视频，适时地配以文字：“茫茫太空，人们一直在寻找外星文明”“如何与外星人进行沟通”“我们一直在思索”“数学家认为，反映勾股定理的图是最好的选择”，在轻松愉快的音乐中，学生进行了一次太空之旅，从而引出对这个图形规律的研究。案例2：青岛市市南区吴学峰听故事，想问题：相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地面是由许多直角三角形组成的图案，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。那么，黑白相间的地砖上的正方形之间存在怎样的关系呢？让我们一起探索！评析：两个老师，从不同的角度出发，都顺利过渡到对于方格纸上三个正方形面积的研究，带领学生一起走进勾股世界。片段1，在轻松愉快的音乐中，在一场视觉“大餐”中，学生开始了一场太空之旅。音频、视频兼具的太空之旅，在学生的数学课堂上，可能还是比较“金贵”的，这无疑很好地调动了学生的学习热情。当然，这场太空之旅，是老师精心设计的思维之旅，视频中间断出现的文字，不断引领学生思考，最终导向对这个图形精妙之处的研究，“这个图形到底蕴涵着什么奥妙，能担当此重任”，学生在思考中不知不觉进入了勾股定理的探究。片段2，巧妙地借助历史故事，也同样将学生带进来勾股世界，而且，地砖上的规律相对简单，接着，推广到一般的直角三角形，这样既减轻了学生的探究困难，也反映了一定的方法论价值。很多问题的研究，不就是这样从特殊到一般的吗!显然，三种方式各有精妙，并无意比较优劣，呈现在这里，希望给老师一点启发。5实数一章设计有哪些特点？本章一些特点：加强了实数学习必要性的感受；重视在现实背景中对运算的意义理解和运算的应用；精确运算的要求有所降低，只要求简单的分母有理化；加强了估算；鼓励使用计算器进行有关繁难的计算和近似计算。这些调整的依据和七上有理数类似，主要是基于对这样几个问题的思考：为什么要运算，也就是运算的意义与作用是什么？现实生活中对运算的要求是什么，是否都是精确的，能否精确？不能精确，如何估计和近似计算？6为什么感受学习无理数的必要性？学生已经经历了数系的第一次扩张非负有理数知识的基础上引进负数，已经有了数系扩张的学习经验，感受到数系扩张源于实际生活的需要，因此，本章同样应引领学生经历数系扩张的过程，感受数系扩张的必要性。具体地，设计了一个拼图活动，思考这个边长满足什么条件，是整数吗？是分数吗？一些教师认为：删去剪拼活动，直接提问“单位正方形的对角线长或面积为2的正方形的边长数有理数吗”或者“满足a22的数a是有理数吗”，可以节约更多的时间，提高效率。但通过课堂教学的比较发现，这样的“改进”，弊大于利。弊端体现在下面几个方面：一是，学生解决问题的渠道明显减少。如直接思考面积为2的正方形的边长时，学生基本只能从对12=1，22=4的观察中感受到边