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长方体模型在立体几何教学中的应用长方体是特殊的六面体，是立体几何中的基本几何体,其结构对称,各元素之间具有相等、平行、垂直等关系,内涵丰富,是研究线面关系、线线关系、特殊几何体的一个重要载体,在处理某些立体几何问题时,若能根据题意,合理恰当地构造出长方体模型,则可化繁为简、化难为易,巧妙地将题目解出, 常能收到事半功倍的效果，下面举例说明。一、构筑模型求有关体积表面积问题 例1、若三棱锥ABCD的三条侧棱两两垂直， AC=AD=1，AB=2，则三棱锥ABCD的外接球体积为_解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长长方体的对角线长为外接球半径，三棱锥ABCD的外接球体积。例2 在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意解得长方体的对角线长为二、利用模型判断证明位置关系例3.（2013广东文）设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是1若,则2若,则 3若,则4若,则【点拨】构造长方体模型，选择其中恰当的线与面，可得答案是2例4(2012无锡高三质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，G分别是AA1，D1C，AD的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)设是过MN的任一平面，求证：平面B1BG.证明(1)取CD的中点E，连接NE，AE，NEMA且NEMA，所以MAEN为平行四边形所以MNAE.MN平面ABCD.(2)在正方形ABCD中，易证BAGADE，所以DAEAGBABGAGB90.所以AEBG.B1BAE.AE平面B1BG.又MNAE，所以MN平面B1BG.平面B1BG.三、构造长方体模型解“有关线面、面面平行与垂直问题”例5、三个两两互相垂直的平面，它们的交点为，点到这三个平面的距离之比为点为，且，求点到这三个平面的距离。解析：由三个两两互相垂直的平面容易联想到长方体模型，如图所示，构造长方体,使。则，即，解得故点到这三个平面的距离分别为。例6、（2014年福建卷）如图所示，三棱锥中，平面，（1）求证：平面；（2）若，为中点，求三棱锥的体积解析：（1）平面，平面，又，平面，平面，平面（2）由平面，得，.，是的中点，由(1)知，平面，三棱锥的高，因此三棱锥的体积为说明：上面的解法是高考命题组给出的标准答案，但我们仔细观察所给立体图形的特征，我们会发现它是长方体的一个部分（如图）所求证的结论（1）就是证明长方体的一条棱和不经过该棱一个面垂直。这是显而易见的。而（2）的立体图形更特殊，就是一个正方体的“角”，其面积为正方体的，由此快速得到所求体积为通过上述几个例题可见，构造长方体这模型解题
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