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文档简介

5线性映射及其矩阵的运算 线性映射与矩阵的加法运算线性映射与矩阵的数乘运算线性映射与矩阵的乘法运算乘法满足分配律 结合律 但不满足交换律 线性映射与矩阵的加法运算 矩阵的加法运算 线性映射与矩阵加法的基本性质 线性映射的数乘运算 基本性质 矩阵的数乘运算 我们把矩阵C称为矩阵A与数k的数乘 记为C kA 基本性质 例题5 1 解 1 原式 线性映射与矩阵的乘法运算 可以作出它们的乘积映射 矩阵的乘法运算 1 由线性映射与矩阵的对应关系得 矩阵的乘法运算 2 两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等 例题5 2 计算矩阵的乘积 解 AB的 1 1 元为 25 其它元可以类似地求得 例子5 3 例子5 4 解 经计算得 矩阵与列向量的乘积 设 计算 解 第i分量为 即 几点说明 1 1 线性方程组的表达式的简化 设线性方程组如下 引进记号 则线性方程组可以表示成 几点说明 2 2 线性映射的坐标表示 则有 事实上 由坐标的唯一性 几点说明 3 形式表示 为了叙述方便 通常把线性组合写成 矩阵乘积 的形式 比如 比较 1 与 2 得到 乘法结合律 由于映射的乘积满足结合律 线性映射的乘积也满足结合律 设 则有 根据矩阵与线性映射的对应关系 可以导出矩阵的乘法也满足结合律 命题5 2矩阵的乘法满足结合律 具体地说 设 则 关于交换律与消去律 1 因为映射的乘法不满足交换律 矩阵的乘法也不满足交换律 2 两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵 因此 矩阵的乘法不满足消去律 例如 设 线性映射矩阵的乘法分配律 则有 1 左分配律 2 右分配律 证明 只证明线性映射的右分配律 矩阵转置的运算 有 证明 只验证
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