锐角三角函数ppt课件

28 1锐角三角函数 1 如图 在Rt ABC中 C 90 角 A B 90 边 AC2 BC2 AB2 勾股定理 在直角三角形中 边与角之间有什么关系呢 2 问题1为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30 为使出水口的高度为35m 那么需要准备多长的水管 这个问题可以归结为 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB的长 思考 你能将实际问题归结为数学问题吗 情境探究 3 根据 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 即 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB的长 可得AB 2BC 70m 即需要准备70m长的水管 4 在上面的问题中 如果使出水口的高度为50m 那么需要准备多长的水管 结论 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 A B C 50m 30m B C 5 即在直角三角形中 当一个锐角等于45 时 不管这个直角三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比都等于 如图 任意画一个Rt ABC 使 C 90 A 45 计算 A的对边与斜边的比 你能得出什么结论 A B C 6 综上可知 在一个Rt ABC中 C 90 一般地 当 A取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 结论 问题 当 A 30 时 A的对边与斜边的比都等于 是一个固定值 当 A 45 时 A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值 7 探究 A B C A B C 任意画Rt ABC和Rt A B C 使得 C C 90 A A 那么与有什么关系 你能解释一下吗 由于 C C 90 A A 所以Rt ABC Rt A B C 8 这就是说 在直角三角形中 当锐角A的度数一定时 不管三角形的大小如何 A的对边与斜边的比都是一个固定值 探究 9 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 A的正弦 sine 记作sinA 即 例如 当 A 30 时 我们有 当 A 45 时 我们有 c a b 对边 斜边 正弦 10 注意 sinA是一个完整的符号 它表示 A的正弦 记号里习惯省去角的符号 sinA没有单位 它表示一个比值 即直角三角形中 A的对边与斜边的比 sinA不表示 sin 乘以 A 11 例1如图 在Rt ABC中 C 90 求sinA和sinB的值 A B C 3 4 例题示范 1 2 试着完成图 2 12 练习 2 在平面直角平面坐标系中 已知点A 3 0 和B 0 4 则sin OAB等于 3 在Rt ABC中 C 90 AD是BC边上的中线 AC 2 BC 4 则sin DAC 4 在Rt ABC中 C 90 则sin A 1 如图 求sinA和sinB的值 13 小试牛刀 5 在Rt ABC中 C 90 a 1 c 4 则sinA的 A B 7 如图 在Rt ABC中 C 90 AB 10 sinB BC的长是 6 若sin 65 A 则 A 20 8 14 O 8 如图2 P是平面直角坐标系上的一点 且点P的坐标为 3 4 则sin P 3 4 A 15 9 如图 在 ABC中 AB CB 5 sinA 求 ABC的面积 16 10 在Rt ABC中 锐角A的对边和斜边同时扩大100倍 sinA的值 A 扩大100倍B 缩小C 不变D 不能确定 C 练一练 17 1 正弦的定义 3 sinA是 A的函数 2 Sin30 sin45 回味无穷 sin60 4 sinA是线段之间的一个比值 sinA没有单位 0 sinA 1 18 28 1锐角三角函数 2 余弦正切 19 1 sinA是在直角三角形中定义的 A是锐角 2 sinA是一个比值 数值 3 sinA的大小只与 A的大小有关 而与直角三角形的边长无关 如图 在Rt ABC中 C 90 特殊角的正弦函数值 正弦 复习与探究 1 锐角正弦的定义 在中 A的正弦 2 当锐角A确定时 A的对边与斜边的比就随之确定 此时 其他边之间的比是否也随之确定 为什么 21 新知探索 1 你能将 其他边之比 用比例的式子表示出来吗 这样的比有多少 2 当锐角A确定时 A的邻边与斜边的比 A的对边与邻边的比也随之确定吗 为什么 交流并说出理由 方法一 从特殊到一般 仿照正弦的研究过程 方法二 根据相似三角形的性质来说明 22 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 cosine 记作cosA 即 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A的正切 tangent 记作tanA 即 23 注意 cosA tanA是一个完整的符号 它表示 A的余弦 正切 记号里习惯省去角的符号 cosA tanA没有单位 它表示一个比值 即直角三角形中 A的邻边与斜边的比 对边与邻边的比 cosA不表示 cos 乘以 A tanA不表示 tan 乘以 A 24 锐角A的正弦 余弦 正切都叫做 A的锐角三角函数 25 例1如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 求cosA和tanB的值 26 例2如图 在Rt ABC中 C 90 BC 2 AB 3 求 A B的正弦 余弦 正切值 延伸 由上面的计算 你能猜想 A B的正弦 余弦值有什么规律吗 结论 一个锐角的正弦等于它余角的余弦 或一个锐角的余弦等于它余角的正弦 sinA cos 90 A cosA sin 90 A tanA tan 90 A 1 27 练习 补充练习1 在等腰 ABC中 AB AC 5 BC 6 求sinB cosB tanB D 28 补充练习 2 如图所示 在 ABC中 ACB 90 AC 12 AB 13 BCM BAC 求sin BAC和点B到直线MC的距离 3 如图所示 CD是Rt ABC的斜边AB上的高 求证 29 1 如图 在Rt ABC中 锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍 tanA的值 A 扩大100倍B 缩小100倍C 不变D 不能确定 C 2 下图中 ACB 90 CD AB 垂足为D 指出 A和 B的对边 邻边 BC AC BD AD 30 1 如图 已知在Rt ABC中 C 90 BC 1 AC 2 则tanA的值为 A 2B C D 解析 选B 根据正切的函数定义 角A的正切应是它的对边与邻边的比 所以B是正确 A是 B的正切 C和D都错 31 B A 2 在 ABC中 C 90 sinA 则tanB 3 如图 小颖利用有一个锐角是30 的三角板测量一棵树的高度 已知她与树之间的水平距离BE为5m AB为1 5m 即小颖的眼睛距地面的距离 那么这棵树高是 32 B 4 在Rt ABC中 C 90 sinA 则cosB的值等于 5 如图 为了测量河两岸A B两点的距离 在与AB垂直的方向点C处测得AC a ACB 那么AB等于 A a sin B a tan C a cos D 解析 选B 在Rt ABC中 tan 所以AB a tan 规律方法 1 sinA cosA是在直角三角形中定义的 A是锐角 注意数形结合 构造直角三角形 2 sinA cosA是一个完整的符号 表示 A的正弦 余弦 习惯省去 符号 3 sinA cosA的大小只与 A的大小有关 而与直角三角形的边长无关 在Rt ABC中 28 1锐角三角函数 3 37 A B C A的对边a A的邻边b 斜边c 38 请同学们拿出自己的学习工具 一副三角尺 思考并回答下列问题 1 这两块三角尺各有几个锐角 它们分别等于多少度 2 每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系 如果设每块三角尺较短的边长为1 请你说出未知边的长度 30 60 45 1 2 1 1 45 39 新知探索 30 角的三角函数值 sin30 cos30 tan30 40 cos45 tan45 sin45 新知探索 45 角的三角函数值 41 sin60 cos60 tan60 新知探索 60 角的三角函数值 42 30 45 60 角的正弦值 余弦值和正切值如下表 43 例1求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 44 求下列各式的值 45 例2 1 如图 在Rt ABC中 C 90 求 A的度数 46 2 如图 已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍 求a 当A B为锐角时 若A B 则sinA sinB cosA cosB tanA tanB 47 1 在Rt ABC中 C 90 求 A B的度数 B A C 48 2 求适合下列各式的锐角 49 A B C D 4 如图 ABC中 C 900 BD平分 ABC BC 12 BD 求 A的度数及AD的长 50 例 如图 在Rt ABC中 C 90 令 A 则sin a c cos b c tan a b 求 1 sin2 cos2 2 sin cos 解 1 sin2 cos2 1 2 sin cos tan 51 1 sin21 sin22 sin245 sin288 sin289 1 5 22 1 2 52 小结 我们学习了30 45 60 这几类特殊角的三角函数值 53 28 1锐角三角函数 4 54 引例升国旗时 小明站在操场上离国旗20m处行注目礼 当国旗升至顶端时 小明看国旗视线的仰角为42 如图所示 若小明双眼离地面1 60m 你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗 这里的tan42 是多少呢 55 前面我们学习了特殊角30 45 60 的三角函数值 一些非特殊角 如17 56 89 等 的三角函数值又怎么求呢 这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务 56 1 用科学计算器求一般锐角的三角函数值 1 我们要用到科学计算器中的键 sin cos tan 2 按键顺序 如果锐角恰是整数度数时 以 求sin18 为例 按键顺序如下 sin 18 sin18 0 309016994 sin18 0 309016994 0 31 57 1 用科学计算器求一般锐角的三角函数值 如果锐角的度数是度 分形式时 以 求tan30 36 为例 按键顺序如下 方法一 tan 30 36 tan30 36 0 591398351 tan30 36 0 591398351 0 59 方法二 先转化 30 36 30 6 后仿照sin18 的求法 如果锐角的度数是度 分 秒形式时 依照上面的方法一求解 58 3 完成引例中的求解 tan 20 42 1 6 19 60808089 AB 19 60808089 19 61m 即旗杆的高度是19 61m 59 练习 使用计算器求下列锐角的三角函数值 精确到0 01 1 sin20 cos70 sin35 cos55 sin15 32 cos74 28 2 tan3 8 tan80 25 43 3 sin15 cos61 tan76 60 SHIFT 2 0 9 17 30150783 4 sin 7 已知三角函数值求角度 要用到sin Cos tan的第二功能键 sin Cos tan 键例如 已知sin 0 2974 求锐角 按健顺序为 如果再按 度分秒健 就换算成度分秒 即 17o18 5 43 2 已知锐角的三角函数值 求锐角的度数 61 例根据下面的条件 求锐角 的大小 精确到1 1 sin 0 4511 2 cos 0 7857 3 tan 1 4036 按键盘顺序如下 26048 51 0 sin 1 1 5 4 SHIFT 即 26048 51 62 驶向胜利的彼岸 练习 1 已知下列锐角