江苏高考数学复习平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算教师用书.docx

第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算最新考纲内容要求ABC平面向量的概念平面向量的加法、减法及数乘运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫作a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a与a方向相同；当|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线；a0(为实数)，则必为零；a，b为非零向量，ab的充要条件是|a|b|且ab.其中假命题的序号为_不正确|a|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；不正确因为，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；不正确两向量不能比较大小；不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线；不正确当1，a0时，a0；不正确对于非零向量a，b，ab的充要条件是|a|b|且a，b同向规律方法1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量变式训练1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的是_(填序号)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题平面向量的线性运算(1)(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则_.(2)(2016广东广州模拟)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，则_. 【导学号：62172156】(1)(2)3(1)如图，()2.(2)如图，过D作DEAB，mn，所以n，m1，所以3.规律方法向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练2(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则，则_.(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_(1)4(2)2(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得2，2，所以4.(2)因为D是BC的中点，则2.由0，得.又，所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22，所以2.共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线. 【导学号：62172157】解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.规律方法共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练3(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则下列说法正确的是_(填序号)A，B，C三点共线；A，B，D三点共线；A，C，D三点共线；B，C，D三点共线(2)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(1)(2)(1)2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选.(2)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得思想与方法1向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误3在向量共线的条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个课时分层训练(二十九)A组基础达标(建议用时：30分钟)1在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则_.(用a，b表示)abba.2已知a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是_. 【导学号：62172158】A，B，D因为3a6b3(a2b)3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线3在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则等于_2，即2()，.4设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是_(填序号)ab；ab；a2b；ab且|a|b|.aa与b共线且同向ab且0.中a和b可能反向中0.5已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_. 【导学号：62172159】平行四边形由得，所以，所以四边形ABCD为平行四边形6在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用e1，e2表示)e1e2在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以()()(5e13e2)7已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于_600，O是ABC的重心，又O为ABC的外心，ABC为等边三角形，A60.8已知平面内一点P及ABC，若，则有关点P与ABC的位置关系判断正确的是_(填序号) 【导学号：62172160】点P在线段AB上；点P在线段BC上；点P在线段AC上；点P在ABC外部，20.即A，P，C三点共线9设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.2由|可知.ABC为直角三角形又M为BC的中点，|42.10在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.2，.，()，().又xy，x，y.11如图291，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则_(用a，b表示)图291abC，D为半圆弧的三等分点，连结CD，OD，易知ADODAO30，且四边形ACDO为平行四边形ab.12如图292，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则_.图292因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因为点M为AH的中点，所以()，又，所以，所以.B组能力提升(建议用时：15分钟)1设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_4因为D为AB的中点，则()，又20，所以，所以O为CD的中点又因为D为AB的中点，所以SAOCSADCSABC，则4.2(2017南京模拟)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_设y，yy()y(1y).3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.3如图293，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_图2933连结OG，设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，