6.3 线性变换.ppt

1 一 线性变换的定义及性质 二 线性变换的像集与核 三 线性变换的运算 四 线性变换的矩阵 6 3线性变换 五 正交变换 六 小结与思考题 2 一 线性变换的定义及性质 定义6 8设V是一个线性空间 如果有一个对应关系T 使得对于V中任一向量 都有V的一个确定向量 与之对应 则称此对应关系T为V的一个变换 称 为 在变换T下的像 记作 T 称为在变换T下的原像 1 线性变换的定义 定义6 9设V是数域F上的一个线性空间 T是V上的一个变换 若T满足 3 例1在线性空间V上 定义变换O与E 则称T是V上的一个线性变换 显然 变换O与E都是V上的线性变换 分别称为V上的零变换与恒等变换 例2在线性空间V上 对 k为F上的一个数 定义变换T 这个变换也是V上的一个线性变换 称为V上由数k决定的数乘变换 4 在数乘变换下 当k 0 1时分别称为V上的零变换与恒等变换 其中X是n维列向量 证明 TA是Rn的一个线性变换 例3对给定的n阶实方阵A 在n维实向量空间Rn上 定义变换TA 证因为 5 所以TA是Rn的一个线性变换 例4在线性空间 a b 上 定义变换J为 由积分的性质有 6 所以J是 a b 上的线性变换 2 线性变换的性质 设T是线性空间V上的一个线性变换 则 7 证 4 因为线性相关 所以存在不全为 零的数 使得 用T作用于上式两边 得 8 因为不全为零 所以 注性质 4 的逆命题不一定成立 即 也可能线性无关 换句话说 线性空间的线性变换可能将线性无关的向量组变为线性相关的向量组 9 定义6 10 定理6 4T是线性空间V上的一个线性变换 则T V 与都是V的线性子空间 二 线性变换的像集与核 设T是V上的一个线性变换 T的全体像 组成的集合称为T的像集或值域 记为T V 所有被T变为零向量的向量组成的集合称为T的核 用表示 即 10 所以 T V 是V上的非空子集 证 1 T V 是V的线性子空间 从而 即T V 对V的加法与数乘封闭 所以T V 是V的线性子空间 因为 T T V 且 11 2 Ker T 是V的线性子空间 从而 因为T 所以 即Ker T 是V的非空子集 于是 故是V的线性子空间 12 例5求线性变换TA 的像集与核 解将矩阵A按列分块 得 13 即T的像集为A的列向量组的线性组合 的生成子空间 即T的核就是齐次线性方程组AX 的解空间 定义6 11n维线性空间V的线性变换T的像集T V 的维数称为线性变换T的秩 线性变换T的的维数称为T的零度 定理6 5T的秩与T的零度之间有下述关系 T的秩 T的零度 n 14 例6在R3上定义线性变换 求 1 T的像集的一组基T及秩 解 2 T的核的一组基T及零度 由例5知T的像集即为A的列向量组生成的空间 设A的列向量组为 则向量组 的一个极大无关组就是T的像集的一组基 15 于是T的像集的一组基 的维数是2 则T的秩是2 T的零度是3 2 1 T的核是齐次方程组AX 的解空间 所以方程组 AX 的一个基础解系就是T的核的一组基 16 三 线性变换的运算 定义6 12设T1 T2是数域P上的线性空间V上的两个线性变换 定义 1 T1 T2的和T1 T2为 2 T1 T2的积T1T2为 3 T1的数乘kT1为 17 注线性变换T1 T2的乘积T1T2一般不满足交换律 例如在C a b 上定义线性变换D与J 满足 即DJ E 即JD E 18 定义6 13设T是线性空间V上的一个线性变换 如果有V上的线性变换S存在 使 TS ST E 容易证明 线性变换的和 乘积 数乘 可逆变换的逆变换仍然是线性变换 则称变换T为可逆变换 称S为T的逆变换 T的逆变换记作T 1 19 证由定义6 12知 例7在R3中 定义线性变换T1 T2为 20 21 四 线性变换的矩阵 定义6 14设 是线性空间V的一组基 T是V上的一个线性变换 若有n阶矩阵A 使 则称矩阵A为线性变换T在基下的矩阵 注 1 线性变换T在基下的矩阵A的第i列是基的像在基下的坐标 2 在已知基的条件下 由坐标的唯一性确定了线性变换T的矩阵A是唯一的 22 反之 当给定矩阵A 则被唯一确定 从而线性变换T唯一确定 于是 在一组基下线性变换T与n阶矩阵A一一对应 已知在基下的坐标为 求T 的坐标 23 比较 与 式 并由坐标的唯一性知 24 故上式即为在基下的坐标的计算公式 例8在R3中定义线性变换T为 T x y z x y 0 求 1 T在基 2 T在基 下的矩阵 下的矩阵 解因为 25 所以T在基 下的矩阵为 所以T在基 26 下的矩阵为 由此可见 同一线性变换在不同基下的矩阵是不同的 例9在R3中定义线性变换T为 求 1 T在基 下的矩阵 解因为 27 所以T在基 下的矩阵为 28 例10已知3维线性空间V上的线性变换T在基 下的矩阵为 解因为向量 在基下的坐标为 1 2 3 T 所以T 在基下的坐标为 29 定理6 6设T1 T2是线性空间V上的两个线性变换 是V的一组基 A1 A2分别为线性变换 T1 T2在基标的矩阵 则 1 T1 T2的和T1 T2对应于矩阵的和A1 A2 2 T1 T2的乘积T1T2对应于矩阵的乘积A1A2 3 T1的的数乘kT1对应于矩阵的的数乘kA1 4 可逆线性变换与可逆矩阵对应 且逆变换对应于逆矩阵 30 解 1 因为 其余情况类似可证 故T1 T2对应于矩阵的和A1 A2 31 例11T为R3上的线性变换 向量组 是R3的一组基 且 求 在基 下的矩阵 解设 的过渡矩阵 即 32 33 所以 T在基下的矩阵为 34 五 正交变换 定义6 15设T是欧氏空间V上的一个线性变换 如果 则称T为V上的正交变换 即正交变换保持V上的的内积不变 定理6 7如果T为欧氏空间V上的正交变换 则以下命题等价 1 T是正交变换 35 2 T保持欧氏空间中向量的长度不变 即对 是V的标准正交基的充要条件 是它的像 是V的标准正交基 4 在任一标准正交基下的矩阵都为正交矩阵 证必要性 因为 是V的标准正交基 36 又因为T是V的正交变换 于是 所以 是V的标准正交基 充分性 因为 是V的