湖南省师大附中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1设集合u=1，2，3，4，5，a=1，3，5，b=2，5，则a（ub）等于（）a2b2，3c3d1，32下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）a圆柱b圆锥c球d三棱锥3函数的零点所在的一个区间是（）ac4化简：（sin+cos）2=（）a1+sin2b1sinc1sin2d1+sin5向量=（1，2），=（2，1），则（）abc与的夹角为60d与的夹角为306等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）a15b30c31d647下列坐标对应的点中，落在不等式x+y10表示的平面区域内的是（）ac8在abc中，已知a=120，b=1，c=2，则a=（）a b c d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9比较大小：log25log23；（填“”或“”）10某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人11某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为12a1，则的最小值是三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13已知sin=，0，求cos和sin（+）的值14已知在等差数列an中，a1=1，a3=3（1）求an；（2）令bn=2an，判断数列bn是等差数列还是等比数列，并说明理由15如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中（1）求证：ac平面b1bdd1；（2）求三棱锥bacb1体积16已知圆c经过a（3，2）、b（1，6），且圆心在直线y=2x上（）求圆c的方程（）若直线l经过点p（1，3）与圆c相切，求直线l的方程17已知函数f（x）=log2（x+1）（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）mg（x2）+3在1，4上的最小值为2，求m的值一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=119甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）a72种b54种c36种d24种20已知集合m=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合m是“垂直对点集”给出下列四个集合：m=；m=（x，y）|y=sinx+1；m=（x，y）|y=log2x；m=（x，y）|y=ex2其中是“垂直对点集”的序号是（）abcd二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21若“x0，tanxm”是假命题，则实数m的最大值为22已知椭圆c： +=1，点m与c的焦点不重合，若m关于c的焦点的对称点分别为a、b，线段mn的中点在c上，则|an|+|bn|=三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根若x表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）（1）求x的分布列；（2）若y=2x+1，e（y）1，求实数的取值范围24已知函数f（x）=函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x0时，f（x）恒成立，求正整数k的最大值2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1设集合u=1，2，3，4，5，a=1，3，5，b=2，5，则a（ub）等于（）a2b2，3c3d1，3【分析】先求出集合b在全集中的补集，然后与集合a取交集【解答】解：因为集合u=1，2，3，4，5，b=2，5，所以cub=1，3，4，又a=1，3，5，所以a（cub）=1，3，51，3，4=1，3故选d【点评】本题考查了交集和补集运算，熟记概念，是基础题2下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）a圆柱b圆锥c球d三棱锥【分析】根据空间几何体三视图的概念，对选项中的几何体三视图进行判断即可【解答】解：球的正视图、侧视图和俯视图都是半径相等的圆面，都相同故选：c【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目3函数的零点所在的一个区间是（）ac【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可【解答】解：函数，可得：f（1）=50，f（0）=30，f（1）=0，f（2）=0，f（3）=0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内故选：d【点评】本题考查零点定理的应用，考查计算能力4化简：（sin+cos）2=（）a1+sin2b1sinc1sin2d1+sin【分析】把（sin+cos）2 展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果【解答】解：（sin+cos）2 =1+2sincos=1+sin2，故选：a【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题5向量=（1，2），=（2，1），则（）abc与的夹角为60d与的夹角为30【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系【解答】解：向量=（1，2），=（2，1），=12+（2）1=0，夹角的余弦为0，故选b【点评】本题主要考查运用两向量数量积求夹角，考查数量积的坐标表示，注意区别两向量共线与垂直的坐标表示6等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）a15b30c31d64【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8再由a4=1=a1+3d，可得 a1=，d=故 a12 =a1+11d=+=15，故选：a【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题7下列坐标对应的点中，落在不等式x+y10表示的平面区域内的是（）ac【分析】分别把a，b，c，d四个点的坐标代入不等式x+y10进行判断，即能够求出答案【解答】解：把（0，0）代入不等式x+y10，得10，成立，点a在不等式x+y10表示的平面区域内；把（2，4）代入不等式x+y10，得50，不成立，点b在不等式x+y10表示的平面区域内；把（1，4）代入不等式x+y10，得20，不成立，点c不在不等式x+y10表示的平面区域内；把（1，8）代入不等式x+y10，得80，不成立，点d不在不等式x+y10表示的平面区域内故选a【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答8在abc中，已知a=120，b=1，c=2，则a=（）a b c d【分析】由a的度数求出cosa的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值【解答】解：由b=1，c=2，a=120，根据余弦定理得：a2=b2+c22cbcosa=1+4+2=7，则c=故选c【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9比较大小：log25log23；（填“”或“”）【分析】利用对数函数的单调性，判断即可【解答】解：因为y=log2x，是单调增函数，所以log25log23故答案为：【点评】本题考查对数函数的单调性的应用，基本知识的考查10某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师100人【分析】根据教师的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查已知从其他教师中共抽取了10人，从高级教师和中级教师中抽取了2010=10人，设全校共有老师x人，则全校人数为，即x=100，故答案为：100【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础11某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为4【分析】算法的功能是求a，b，c的平均数，代入计算可得答案【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c的平均数，输出y=4故答案为：4【点评】本题考查了顺序结构的程序框图，判断算法的功能是关键12a1，则的最小值是3【分析】根据a1可将a1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可【解答】解：a1，a10=a1+12+1=3当a=2时取到等号，故答案为3【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13已知sin=，0，求cos和sin（+）的值【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求得sin（+）的值【解答】解：因为：sin=，0，所以：cos=，（3）所以：sin（+）=sin=（6分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题14已知在等差数列an中，a1=1，a3=3（1）求an；（2）令bn=2an，判断数列bn是等差数列还是等比数列，并说明理由【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式及其定义即可判断出结论【解答】解：（1）设数列an的公差是d，则，故an=1+2（n1）=2n3（2）由（1）可得，是一常数，故数列bn是等比数列【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中（1）求证：ac平面b1bdd1；（2）求三棱锥bacb1体积【分析】（1）要证ac平面b1bdd1，只需证明ac垂直平面b1bd1d上的两条相交直线dd1，bd；即可（2）求三棱锥bacb1体积转化为b1abc的体积，直接求解即可【解答】（1）证明：dd1面abcdacdd1（2分）又bdac，（3分）且dd1，bd是平面b1bd1d上的两条相交直线（5分）ac平面b1bdd1（6分）解：（2）=（12分）（其他解法酌情给分）【点评】本题是基础题，考查几何体的体积等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力16已知圆c经过a（3，2）、b（1，6），且圆心在直线y=2x上（）求圆c的方程（）若直线l经过点p（1，3）与圆c相切，求直线l的方程【分析】（）根据已知设出圆的标准方程，将点a，b的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆c的方程（）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程【解答】解：（）圆心在直线y=2x上，故可设圆心c（a，2a），半径为r则圆c的标准方程为（xa）2+（y2a）2=r2圆c经过a（3，2）、b（1，6），解得a=2，r=圆c的标准方程为（x2）2+（y4）2=5（）由（）知，圆c的圆心为c（2，4），半径r=直线l经过点p（1，3），若直线斜率不存在，则直线l：x=1圆心c（2，4）到直线l的距离为d=3r=，故直线与圆相交，不符合题意若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y3=k（x+1），即kxy+k+3=0圆心c（2，4）到直线l的距离为d=直线与圆相切，d=r，即=（3k1）2=5+5k2，解得k=2或k=直线l的方程为2xy+5=0或x+2y5=0【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题17已知函数f（x）=log2（x+1）（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）mg（x2）+3在1，4上的最小值为2，求m的值【分析】（1）根据函数图象平移关系进行求解即可（2）利用换元法，转化为一元二次函数，利用一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可【解答】解：（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位，得到y=log2（x1+1）=log2x即g（x）=log2x（x0）；（2分）（2），令t=log2x（t0，2）得y=t22mt+3=（tm）2+3m2（4分）若m0，则y=t22mt+3在t0，2上递增，当t=0时，ymin=32，无解；（6分）若0m2，则当t=m时，解得m=1，1（舍去），m=1（8分）若m2，则y=t22mt+3在t0，2上递减，当t=2时，ymin=74m=2，解得，不符合条件，舍去；综上可得m=1（10分）【点评】本题主要考查函数图象的变化，以及函数最值的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， =，抛物线y2=4x的准线方程为x=，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双曲线的方程为故选：d【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题19甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）a72种b54种c36种d24种【分析】根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，再排甲、乙、丙三人，分甲乙两人相邻、不相邻两种情况讨论，可得甲、乙、丙的排法，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，排好后，丁、戊的两边和中间共有3个空位再排甲、乙、丙三人，若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三个空位中的两个空位中，有2a32=12种方法；若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有a33=6种方法，根据分步、分类计数原理，不同的排法数目有2（12+6）=36种，故选：c【点评】本题考查排列、组合的运用，解题时注意甲乙两人可以相邻，还可以不相邻，需要分情况讨论，属于中档题20已知集合m=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合m是“垂直对点集”给出下列四个集合：m=；m=（x，y）|y=sinx+1；m=（x，y）|y=log2x；m=（x，y）|y=ex2其中是“垂直对点集”的序号是（）abcd【分析】对于利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于、通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90，所以在同一支上，任意（x1，y1）m，不存在（x2，y2）m，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）m，不存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”对于m=（x，y）|y=sinx+1，对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），满足“垂直对点集”的定义，所以m是“垂直对点集”；正确对于m=（x，y）|y=log2x，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”对于m=（x，y）|y=ex2，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取m（0，1），则n（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确所以正确故选d【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）m，存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21若“x0，tanxm”是假命题，则实数m的最大值为【分析】把“x0，tanxm”为假命题，转化为“x0，tanxm”是真命题，由此求出实数m的最大值【解答】解：“x0，tanxm”为假命题，可得“x0，tanxm”是真命题；又x0，时，0tanx，m，即实数m的最大值为故答案为：【点评】本题考查函数最值的应用问题，也考查了全称命题与特称命题的应用问题，是基础题目22已知椭圆c： +=1，点m与c的焦点不重合，若m关于c的焦点的对称点分别为a、b，线段mn的中点在c上，则|an|+|bn|=12【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|an|+|bn|的值【解答】解：如图：mn的中点为q，易得，q在椭圆c上，|qf1|+|qf2|=2a=6，|an|+|bn|=12故答案为：12【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根若x表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）（1）求x的分布列；（2）若y=2x+1，e（y）1，求实数的取值范围【分析】（1）x可能的取值为2，3，4，5，6求出对应的概率，即可得x的分布列；（2）根据期望的公式进行求解即可【解答】解：（1）x可能的取值为2，3，4，5，6则；（5