数据、模型与决策第八讲层次分析法.ppt

数据 模型与决策第八讲层次分析法主讲 邓旭东教授 教学内容 学习目标 掌握层次分析法的基本思路掌握层次分析法的基本原理掌握层次分析法的基本步骤掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向量的常用方法 幂法 方根法 和积法掌握判断矩阵的一致性检验步骤并能熟练运用能联系实际 建立系统递阶层次结构模型并构建两两比较判断矩阵 解决一些评估类的问题 一 概述 层次分析法 analytichierarchyProcess AHP 是著名运筹学家 美国匹兹堡大学教授T L Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法 是一种实用的多准则决策方法 其主要特征是 它合理地把定性与定量的决策结合起来 按照思维 心理的规律把决策过程层次化 数量化 层次分析法的基本思路是把复杂问题分解成若干因素 把这些因素按照支配关系分组形成有序的递阶层次结构 并权衡其各个方面的影响 然后综合人的判断 以决定诸因素相对重要性的先后次序 一 概述 在管理中 人们常常需要对一些情况作出决策 例如企业的决策者要决定购置哪种设备 上马什么产品 经理要从若干求职者中决定录用哪些人员 地区 部门官员要对人口 交通 经济 环境等领域的发展规划作出决策 在日常生活中也常会遇到 在多种类不同特征的商品中选购 报考学校选择志愿 毕业时选择工作岗位等 这一系列的问题 单纯靠构造一个数学模型来求解的方法往往行不通 而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定 而最终选择不理想 甚至不满意的决策方案 面对这样的问题 运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析 研究 美国运筹学家 T L Saaty等人在九十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法 称之为层次分析法 AHP法 二 层次分析法的基本原理 1 测度原理层次分析法的核心是决策模型中因素的测度化 对于复杂系统的决策模型来说 常常采用相对标度进行比较 统一对有形与无形的 可定量与不可定量的因素进行测度 2 递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可通过分解为它的组成部分或因素来解决 即目标 约束准则 子准则 方案等 每一个因素称为元素 按照属性的不同 把这些元素分组形成互不相交的层次 上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用 形成按层次自上而下的逐层支配关系 具有这种性质的层次称为递阶层次 二 层次分析法的基本原理 在建立递阶层次模型时 常常将问题划分为最高层 中间层和最低层 最高层通常只有一个元素 它是问题的预定目标 表示解决问题的目的 因此也是目标层 中间层是为实现总目标而采取的措施和方案 它可以由若干个层次组成 包括所考虑的准则 子准则 因此也称为准则层 最低层是为实现目标可供选择的各种决策方案 用于解决问题的各种途径和方法 也称为方案层 3 排序原理层次分析法的排序问题是指一组元素两两比较 计算元素相对重要性的测度问题 由于通过两两因素比较得到的判断矩阵不一定满足矩阵的一致性条件 我们希望找到一个数量标准来衡量矩阵不一致的程度 三 层次分析法的基本步骤 层次分析法是模仿人们对复杂决策问题的思维 判断过程进行构造的 其基本步骤如下 1 建立系统的递阶层次结构模型在深入分析所研究的问题后 将问题中所包含的因素划分为不同层次 如目标层 准则层和方案层等 并画出层次结构图表示层次的递阶结构和相邻两层因素的从属关系 2 构造两两比较判断矩阵判断矩阵元素的值表示人们对各因素关于目标的相对重要性的认识 在相邻的两个层次中 高层次为目标 低层次为因素 三 层次分析法的基本步骤 3 层次单排序及其一致性检验判断矩阵的特征向量经过归一化后即为各因素关于目标的相对重要性的排序权值 利用判断矩阵的最大特征根 可求CI和CR值 当CR 0 1时 认为层次单排序的结果有满意的一致性 否则 需要调整判断矩阵的各元素的取值 4 层次总排序及其一致性检验从目标层开始 逐层向下由各个元素的相对权重计算出它们相对于总目标的组合权重 即绝对权重或全局权重 总目标本身的绝对权重为1 其下面每一层元素的相对权重乘以其所针对的上一层准则的绝对权重 既得到该元素的绝对权重 博弈的分类 用AHP分析问题 首先要把问题条理化 层次化 构造层次分析的结构模型 这些层次大体上可分为3类 1 最高层 在这一层次中只有一个元素 一般是分析问题的预定目标或理想结果 因此又称目标层 2 中间层 这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节 它可由若干个层次组成 包括所需要考虑的准则 子准则 因此又称为准则层 3 最底层 表示为实现目标可供选择的各种措施 决策 方案等 因此又称为措施层或方案层 层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素 1 建立层次分析的结构模型 决策目标 准则1 方案1 准则m1 准则2 子准则1 方案2 子准则2 方案mr 子准则m2 方案层 准则层 目标层 第九章层次分析 1 建立层次分析的结构模型 博弈的分类 注 层次之间的支配关系不一定是完全的 即可以有元素 非底层元素 并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素 这种自上而下的支配关系所形成的层次结构 我们称之为递阶层次结构 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关 一般可不受限制 为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难 每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个 若多于9个时 可将该层次再划分为若干子层 例1 某顾客选购电冰箱时 对市场上正在出售的四种电冰箱考虑6项准则作为评价依据 得到如下层次分析模型 1 建立层次分析的结构模型 目标层 准则层 方案层 第九章层次分析 1 建立层次分析的结构模型 例2 选择科研课题 某研究单位现有3个科研课题 限于人力物力 只能承担其中一个课题 如何选择 考虑下列因素 成果的贡献大小 对人材培养的作用 课题可行性 在成果贡献方面考察 应用价值及科学意义 理论价值 对某科技领域的推动作用 在课题可行性方面考虑 难易程度 难易程度与自身的科技力量的一致性 研究周期 预计需要花费的时间 财政支持 所需经费 设备及经费来源 有关单位支持情况等 1 建立层次分析的结构模型 目标层 第九章层次分析 方案层 准则层 1 建立层次分析的结构模型 例3 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件 为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡 此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价 即成本 通常我们用费效比 效益 代价 作为选择方案的标准 为此构造以下两个层次分析的结构模型 1 建立层次分析的结构模型 准则层 过河的效益A 经济效益B1 社会效益B2 环境效益B3 桥梁D1 隧道D2 渡船D3 收入 c2 岸间商业 c3 节省时间 c1 当地商业 c4 建筑就业 c5 安全可靠 c6 交往沟通 c7 自豪感 c8 舒适 c9 进出方便 c10 美化 c11 第九章层次分析 方案层 目标层 1 建立层次分析的结构模型 第九章层次分析 目标层 准则层 方案层 1 建立层次分析的结构模型 上 下层之间关系被确定之后 需确定与上层某元素Z 目标A或某个准则Z 相联系的下层元素 x1 x2 xn 各在上层元素Z之中所占的比重 方法 每次取2个元素 如xi xj 以aij表示xi和xj对Z的影响之比 这里得到的A aij n n称为两两比较的判断矩阵 Saaty建议用1 9及其倒数做为标度来确定aij的值 1 9比例标度的含义 xi比xj强 重要 的程度xi xj相等稍强强很强绝对强aij1234567891 9标度的理由 两两比较的心理习惯 显然 判断矩阵A的元素有如下特征 1 aij 02 aji 1 aij3 aii 1我们称判断矩阵A为正互反矩阵 2 构造判断矩阵 例如在例2中 准则层B对目标层作因素两两比较 并可建立下面判断矩阵 B1 B2为3B1 B3为1认为成果贡献比另二项稍重要 另二项差不多相同重要 判断矩阵B1B2B3B1131A B21 311 3B3131 2 构造判断矩阵 1 单一准则下元素排序 求判断矩阵A的最大特征值 max及标准化 归一化 的特征向量W W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权重 有wi 0 i 在构造判断矩阵时 各层元素间两两比较时 aij应有某种传递性质 即若甲比乙重要 乙比丙重要 合理地应有甲比丙更重要 在数值上表示为aij ajk aik即若xi与xj相比aij 3 xj与xk相比ajk 2 那么有传递性的判断应xj与xk相比 ajk 6 2 判断矩阵的一致性概念 判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质 定理 设n阶方阵A为正矩阵 max为A的最大模特征值 u u1 u2 un T为 max的相应特征向量 max 0 ui 0 i 1 2 n max是单特征根 因此u除差一常数因子外是唯一的 A的任何其它特征值 有 max 3 层次单排序及其一致性检验 定义 若正互反矩阵A满足aij ajk aiki j k 1 2 n则称A为一致阵 一致阵的重要性质 设A是一致阵 1 A的转置亦是一致阵 aij 1 aji aij 1 i j 1 2 n 由定义aij ajk aik则显然2 A的每一行均为任意指定的另一行的正数倍 从而A的秩为1 即只有一个非零特征值 其余n 1个为0特征值 考虑第 行元素ai1 ai2 ain对于第k行元素ak1 ak2 aknj 1 2 n aij aik akj即第 行各元素分别为第k行各元素的aik倍 3 A的最大特征根 max n 其余特征根皆为零 4 设u u1 u2 un T是A对应 max的特征向量 则aij ui uji j 1 2 n容易验证 对于n及向量u u1 u2 un T若aij ui uj ij则Au nu i 又由定理1及性质2 可知 max n u满足4 3 层次单排序及其一致性检验 5 若A为判断矩阵 那么A对应于 max n的标准化 归一化 特征向量u u1 u2 un T就是一组排序权向量 归一化 由性质4 即知 进一步地有如下定理定理2 n阶正互反矩阵A aij n n是一致阵的充分必要条件为 max nProof 必要性 即是上面性质3 已证 充分性 设A的最大特征值为 max 相应特征向量u u1 un TAu maxu分量形式 对i 1 2 n由定理1知ui 0 于是 max 注意aij 1 max 1 aijuj ui 3 层次单排序及其一致性检验 求和 把i 1 n的各式相加 n max n aijuj ui注意aji 1 aij整理上式得 n max n aijuj ui 1 aijuj ui 式末端 n2 n n n 1 注意 当x 0时x 1 x 2当且仅当x 1时等号成立 于是 aij uj ui 1 aij uj ui 2 式右端 2 2 n 1 n 2 2 1 n n 1 左端当且仅当aij uj ui 1时等号成立 3 层次单排序及其一致性检验 aij uj ui 即aijajk ui uj uj uk uj uk ajk故A是一致阵 由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性 我们得到的判断矩阵常常不具有传递性和一致性 但应该要求这些判断大体是一致的 当判断矩阵过于偏离一致性时 它的可靠性值得怀疑 为此需对判断矩阵进行一致性检验 一致性检验步骤 计算一致性指标C I max n n 1 ConsisTeneyIndex 查找相应的平均随机一致性指标R I RandomIndex 1 15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标 矩阵阶数12345678R I 000 520 891 121 261 361 41矩阵阶数9101112131415R I 1 461 491 521 541 561 581 59 3 层次单排序及其一致性检验 计算 R I max n n 1 max为m次判断矩阵 max的平均值 max产生方法 取定阶数n 随机构造正互反矩阵 ij n n ij在1 2 9 1 2 1 3 1 9这17个数中随机抽取 只需取n n 1 2个 对角元为1 其余按正互反性得到 取充分大的子样计算所有 的最大特征值 然后求平均即为 max 计算一致性比率C R consistencyratio C R C I R I 当C R 0 1时认为判断矩阵的一致性是可接受的 当C R 0 1时应修正判断矩阵 例如对前面矩阵131A 1 311 3131 3 层次单排序及其一致性检验 计算出 max 3归一化向量u 3 7 1 7 3 7 TC I max 3 3 1 0 C R 0是一致阵 例 125A 1 2171 51 71计算出 max 3 1189 u 0 5415 0 3816 0 0761 TC I 3 1189 3 3 1 0 05945查表得R I 0 52C R 0 05945 0 52 0 1143 0 1 应修正判断矩阵 3 层次单排序及其一致性检验 层次总排序过程 计算同一层次所有因素对于最高层 总目标 相对重要性的排序权值 从最高层到底层逐层进行 设已算出第k 1层上nk 1个元素相对于总目标的排序为w k 1 w1 k 1 w2 k 1 wn k 1 T第k层nk个元素对于第k 1层上第j个元素为准则的单排序向量uj k u1j k u2j k unj k Tj 1 2 nk 1其中不受第j个元素支配的元素权重取零 于是可得到nk nk 1阶矩阵u11 k u12 k u1n k U k u21 k u22 k u2n k un1 k un2 k unn k 4 层次总排序及其一致性检验 第k层上各元素对总目标的总排