湖南省岳阳市2015届高考数学信息卷 理.doc

岳阳市2015届高考信息卷（理数）时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 已知全集，集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ C ）UA B. C. D. 2. 若复数满足，则( B )A. B. C. D. 3. 用辗转相除法求294和84的最大公约数，则所求 最大公约数为 ( B )A. 21 B. 42 C.84 D.1684. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ A ）（第4题图） A B C D5. 已知等比数列的各项均为正数，对，则（ B ）A B C D6. 在中，若，则有（ D ） A B C D7. 设命题，则命题p为假命题的一个充分不必要条件是（ B ）A. a1B. a1C. a1D. a2 8. 已知定义在的函数满足：；（），.则（ C ）A函数的图像关于直线对称 B函数的图像关关于点对称C函数在区间内单调递增 D函数的最小正周期为19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左，右两支于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ C ）A B C D10. 设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（ A ）A. B. C.2 D.4 二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）（一）选做题（1113题，考生只能从中选做二题，三题都做记前两题的得分）11. 如图，已知是的一条弦，是的直径，点为延长线上一点，且为的一条切线，若，则的长是 .12. 已知在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，点在曲线上，以Ox为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，则，两点距离的最大值为 .13. 不等式的解集是 . （二）必做题（1416题）14. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 180 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）15. 已知下面的数列通项和递推关系：数列有递推关系；数列有递推关系；数列有递推关系；数列有递推关系；试猜测：数列的类似的递推关系 .16. 设实数中的最大数为，最小数为.已知且三数能构成三角形的三边长，记，求：（1）若，则的最小值为 1 ；（2）的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）在中，角的对边分别为， 向量满足.（）求的值；（）若成等差数列，且公差大于0，求的值.【解析】（），根据正弦定理得， 5分（）成等差数列，由正弦定理以及（）得 设， 22，得 又，故 代入式得，因此 12分18（本小题满分12分）有A，B，C三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别（）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不相同的三个球”， 求P（S）和P（T）；（）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为，求的分布列与数学期望E【解析】（），4分（）的可能值为考虑的情形，首先盒中必须取一个红球放入盒，相应概率为，此时盒中有2红2非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为故考虑的情形，首先盒中必须取一个非红球放入盒，相应概率为，此时盒中有1红3非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为故的分布列为012P的数学期望 12分19（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，点在上，（）证明：平面平面；（）若二面角的大小为，求异面直线与所成角的大小（第19题图） 【解析】（）， ，平面，又，平面，平面， ，又，平面，又平面平面平面. 6分（）如图，以为原点，所在射线分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz，设， ，（）.，平面，平面的一个法向量为. ，.设， . 设平面的一个法向量为，令，得. 二面角的大小为，解得.在中，. ，异面直线与所成角为，异面直线与所成角的大小为 12分20. (本小题满分13分)某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中记第个月的利润率为，例如（）求；及第个月的当月利润率；（）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率【解析】（）依题意得， 3分当时，当时，则，而也符合上式，故当时，当时，第个月的当月利润率为8分（）当时，是减函数，此时的最大值为当时，当且仅当，即时，有最大值为，当时，有最大值为， 即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为 13分21. (本小题满分13分)设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆（）求的值；（）证明：圆与轴必有公共点；（）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由【解析】（）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得. 2分（）由（）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为 ，由得方程，由直线与抛物线相切，得，且，从而，即， 由，解得， 的中点的坐标为，圆心到轴距离， ， 圆与轴总有公共点. (或 法二：由， ，以线段为直径的方程为:令得 ，所圆与轴总有公共点）. 8分（）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为， 由（）知， .由得，即或 平面上存在定点，使得圆恒过点. 13分证法二：由（）知，的中点的坐标为，圆的方程为 ， 整理得 ，上式对任意均成立，当且仅当，解得 ， 平面上存在定点，使得圆恒过点. 13分22. (本小题满分13分)已知函数.（）求函数的单调区间；（）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；（）设函数，. 过点作函数图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.【解析】（）由于，.当，即时，；当，即时，.的单调递增区间为，单调递减区间为.4分（）令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()在上为增函数，.对分类讨论：当时，恒成立，在上为增函数，即恒成立；当时，在上有实根，在上为增函数，当时，不符合题意；当时，恒成立，在上为减函数，则，不符合题意. 综合可得，所求的实数