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5.7正多边形与圆苏州中学园区校沈建【教学目的】让学生了解正多边形的概念以及正多边形和圆的关系，并且学会通过等分圆心角的方法画出正多边形。让学生体会变量在数学研究中得重要应用，并体验割圆术的数学思想方法。【教学难点】利用变量来构造正n边形的操作【教学步骤】一、 课前预习1、 （学生操作）在几何画板中绘制正三角形、正方形、正六边形。2、 （学生操作）通过几何画板的测量功能，完成操作记录表中的相关内容。3、 （学生操作）将完成后的文件通过“学生自主学习平台”上传，老师在课前收集同学的文件。二、 预习反馈及相关知识复习1、（学生操作）将所有同学的预习作业打包分发给各位同学，互相查看、交流、点评。2、（学生操作）请12位同学发言，验证作图的正确性。（此处同学的预习作业可能出现两种作图：i通过线段的摆放画出正多边形，ii通过几何关系构造正多边形。课上教会大家分辨这两种不同的方法，并指出方法ii构造的多边形可以随意改变其位置和大小且保持集合关系不变）三、学习分割圆的方法作正多边形1、（老师讲解）引出正多边形的定义。2、 复习多边形相关知识：三角形的内角和是 ，四边形的内角和是 ，n边形的内角和是 。3、（学生操作）通过几何画板的测量功能，记录正三角形、正方形、正六边形的相关数据，并现场交流。4、（学生操作）请同学们尝试在几何画板中构造一个正五边形。5、（学生操作）交流同学们的各种做法，讨论其正确性。6、（老师讲解）引出切割圆的方法做正多边形，老师操作展示，引出正多边形的相关概念。请同学们用这种方法再尝试构造两个正多边形，体会这种方法的优越性。7、（学生操作）通过“极域机房管理平台”、“投影机”、“课堂发言”等方法互相交流同学们的作品，并展开讨论。测量正多边形的相关数据，记录在“操作记录表”中。这里留意班级各位同学的掌握程度，并且请制作优秀的学生作为“小助手”为同学进行辅导。四、引入变量n，构造正n边形1、（老师讲解）提出“当边数较多时，作图步骤较多”的问题，引入“参数”的概念。老师展示利用参数n，用“迭代”的方法动态生成正n边形。2、（学生操作）请同学现场尝试，体会引入变量后的优势。这个环节中操作细节较多，应多留意同学的反应，提醒同学注意操作中得关键步骤。并同样请“小助手”发挥积极作用。从“具体的数字”到“变量”的使用是数学发展中得一次飞跃，课堂上应让同学充分体会到这种方法的优势。3、（学生操作）请同学互相展示、观摩自己的作品五、体会“割圆术”的方法来计算圆周率1、（学生操作）请同学利用自己做的正n变形，体会“当n足够大时，正多边形接近一个圆”的现象。2、（学生操作）引导同学重现割圆术的计算过程，利用几何画板的测量功能，现场测试不同的n计算出得圆周率。六、课后作业及相关阅读习题：1、OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若OAB的一个内角为70，则该正多边形的边数为 。2、若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 。3、把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转 ，就能和原来的位置重合；4、把一个正多边形绕着它的中心旋转40后能与原来的位置重合，这个正多边形的边数至少是 ，还可能是 ；阅读【参考资料】祖冲之，刘徽，割圆术请在维基百科/ 搜索祖冲之，阅读相关资料。【主要技术手段】整节课以学生操作为主，老师以引导为主，在关键时刻将知识提炼升华总结。让学生在操作中体会，在对比中思考，在讨论中获取知识。本课在教学过程中主要应用了以下技术手段：n 课堂对学生有一定几何画板的操作要求。沈老师从初一开始的教学中就注意多让学生亲自动手操作，体会知识生成的过程。所以学生在课堂中能自如的操作软件，并能活用软件中各种功能（如“测量”）来帮助数学的探究。n 一节课的内容较多，所以安排了课前的预习作业，学生能够在家中电脑上独立使用几何画板软件。并且能利用软件记录相关的实验数据，完成数学探究的过程。更进一步能在课后，对所学习的知识进行网上进一步的扩展。n 学生完成后用学习交互平台将作业递交给教师。教师对学生的预习作业进行批阅，发现存在的典型问题和优秀作业，为组织学生课上的交流做好准备。n 教师利用学校的网络教室开展本节课的教学。首先利用网络教室的机房管理软件，组织学生相互进行预习作业的交流与互评n 教师提出问题：“如何做一个正5边形？”从而发现一些学生原有的构造正多边形的方法具有局限性，形成认知冲突。然后教师在几何画板中演示通过等分圆心角的方法完成正五边形的作图。附：【操作记录表】正三角形正方形正六边形