实变函数试题库(6)及参考答案.doc

实变函数试题库及参考答案（6） 本科一、填空题1设，称是 ，如果，2设是外测度为零的集合，且，则 3.设是定义在可测集上的实函数,若对任意实数,都有是可测集上的 .4.设是()的内点,则. 5 设为可测集上的非负可测函数，则在上的积分值 6若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的 7设，则 8设是上的单调增收敛于的非负简单函数列，则 2、 单选题1设，则（ ） 2. 设的康托集，则( )（A）为可数集 （B）为开集（C） （D）3. 设的有理数集，则（ ）（A） （B）为闭集（C） （D）为不可测集3、 多项选择题1设，则（ ） 几乎处处收敛于 一致收敛于 有子列，使于 可能几乎处处收敛于2设是可测集，则（ ） 是可测集 的子集是可测集 的可数子集是可测集3 设是上的单调函数，则（）（A）是上的有界变差函数 （B）是上的绝对连续函数（C）在上几乎处处收敛 （D）在上几乎处处可导4设在可测集上可积，则（ ），都是上的非负可积函数和有一个在上的非负可积 在上可积 在上不一定可积四、判断题1. 称在上几乎处处相等是指使的全体的测度大于（ ）2. 设为可测集上的非负可测函数，则 （ ） 3. 设为可测集上的可测函数，则一定存在. （ ） 4. 设为零测集，为上的实函数，则不一定是上的可测函数 （ ）五、定义题1. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.2. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？3. 简述中开集的结构.六、计算题1. 设，其中为康托集，求.2. 求，求.7、 证明题1. 证明集合等式 ：.2. 设，则为可测集且.3. 设，为的一列可测子集， ，如果，则.4. 证明集合等式 ：.5. 设，且，则为可测集.6. 证明：上的单调函数必为可测函数.7. 设为可测集上的可测函数，则的充要条件.实变函数试题库及参考答案（6） 本科1、 填空题1.可测集 2.= 3.可测函数 4. 5.一定存在 6.差 7. 8.二、单选题1.A 2.C 3.C三、多选题1.CD 2.AD 3.ACD 4.AC四、判断题 五、定义题1.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.2.答：不一定 如3.答：中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并六、解答题1.解：因为为康托集，故，所以所以2.解：易知：令，则所以又因为在上可积，所以由控制收敛定理，得 7、 证明题1.证明 2.证明 因为为可数集，记为，取显然 ，所以，让，得.，由于所以.又，所以.故故为可测集，且3.证明 因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，对任何，当时有，由于，故对上述的，存在，当时，且有，于是，即4.证明5.证明 ，由于所以.又，所以.故所以为可测集6.证明 ，不妨假设，因为是上的单调函数，不妨设为单调增函数，故是上的单调增函数，即，则，有1） 当时，2） 当时，3） 当时，必有，使或.由的单调增知，或.在所有情况下，都可测.即是上的可测函数.由由的任意性可