工程力学10.ppt

第10章平面弯曲 时间 2次课 4学时 第10章平面弯曲 教学目标 弯曲变形是工程实际和生活中最常见的一种变形形式 构件弯曲强度和刚度的分析研究在材料力学中占有重要的位置 本章将通过讲述直梁平面弯曲的概念 内力图的绘制方法以及直梁弯曲时的强度和刚度计算理论 让学生熟练掌握梁的设计方法和选用原则 第10章平面弯曲 教学重点和难点 平面弯曲的概念和梁的简化与分类剪力图和弯矩图的绘制方法和步骤梁的截面应力的分布规律与截面应力的计算直梁的强度分析计算梁的弯曲变形形式与刚度计算梁截面形状的选用原则及提高梁强度和刚度的措施 第10章平面弯曲 10 1平面弯曲的概念10 2梁的计算简图及分类10 3梁的内力计算10 4弯矩 剪力和梁上分布载荷集度之间的关系10 5梁纯弯曲时横截面上的正应力10 6弯曲切应力简介10 7梁的强度计算10 8梁的弯曲变形10 9实训与练习 10 1平面弯曲的概念 在日常生活和工程实践中 我们可以举出很多弯曲变形的例子 房屋建筑中的梁 桥梁中的主梁 如图10 1 a 所示的火车轮轴 图10 2 a 所示的桥式起重机等 构件都可简化为一根直杆 在垂直与杆的外力作用下其轴线将由原来的直线变成曲线 如图10 1 b 10 2 b 中所示 这种形式的变形称为弯曲变形 工程实际中 常见直梁的横截面大多有一根纵向对称轴 如图10 3所示 通过梁的横截面纵向对称轴与梁轴线确定的平面称为梁的纵向对称平面 图10 4 如果梁上作用的所有外力如图10 4所示 包括外力偶 都作用在梁的纵向对称平面内 梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线 梁的这种弯曲变形形式称为平面弯曲 平面弯曲是最常见 最基本的弯曲变形 本章将主要讨论直梁的平面弯曲 由以上工程实例可以看出 直梁平面弯曲的受力特点是 外力作用于梁的纵向对称平面内 变形特点是 梁的轴线在纵向对称平面内弯成一条平面曲线 10 1平面弯曲的概念 图10 1火车轮轴 10 1平面弯曲的概念 图10 2桥式起重机 10 1平面弯曲的概念 图10 3梁的截面形状 10 1平面弯曲的概念 图10 4梁的平面弯曲 10 2梁的计算简图及分类 10 2 1梁受力模型的简化10 2 2梁上作用力的载荷的简化10 2 3梁的约束支座的简化10 2 4梁简化后的基本形式 10 2梁的计算简图及分类 工程实际中梁上的载荷和梁的支承情况一般都是比较复杂的 为了便于分析和计算 在保证足够精度的前提下对梁进行简化 10 2 1梁受力模型的简化 由上述平面弯曲的概念可知 载荷都作用在梁的纵向对称平面内 梁的轴线将弯成一条平面曲线 因此 无论梁的外形尺寸如何复杂 都可用梁的轴线来代替梁以使问题得以简化 如图10 1 b 和图10 2 b 分别用梁的轴线来代替梁 所以无论梁的外形尺寸如何复杂 其受力模型的形式都是一条直线 10 2 2梁上作用力的载荷的简化 作用于梁上的外力 包括载荷和支座的约束力 都可以简化为下列三种类型 1 集中力当力的作用范围远远小于梁的长度时 可将力简化为作用于一点的集中力 如火车车厢对轮轴的作用力及起重机吊重对大梁的作用等 都可以简化为集中力 如图10 1和图10 2所示 2 集中力偶通过微小梁段作用在梁的纵向对称平面内的力偶称为集中力偶 如图10 4中的Mo 3 分布载荷沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力称为分布载荷 如果载荷是均匀分布 又称为均布载荷 通常用q表示 其单位为N m 如图10 4中的q 10 2 3梁的约束支座的简化 根据支座对梁的约束特性 梁的约束支座按静力学中的支座约束模型约定 分别简化为固定铰支座 活动铰支座和固定端支座 10 2 4梁简化后的基本形式 根据梁的支座约束情况 工程中将梁分为以下三种基本形式 1 简支梁梁的两端分别用铰链支座约束 大多数情况为一端是固定铰支座约束 另一端是活动铰支座约束 这种约束形式的梁称为简支梁 如图10 2 b 所示 2 外伸梁约束形式与简支梁相同 但梁的一端或两端伸出支座之外的梁称为外伸梁 如图10 1 b 所示 3 悬臂梁梁的一端为固定端约束 另一端为自由端约束的梁称为悬臂梁 如图10 5 a 所示的车刀 其刀架限制了车刀的随意移动和转动 故可简化为固定端 车刀则简化为悬臂梁 如图10 5 b 所示 10 2 4梁简化后的基本形式 图10 5梁的固定端约束 10 3梁的内力计算 10 3 1剪力和弯矩10 3 2剪力图和弯矩图 10 3梁的内力计算 与前面三种基本变形求内力的方法相同 当作用在梁上的外载荷已知时 用截面法可求出梁截面上的内力 但梁弯曲时截面上有两个内力因素 剪力和弯矩 10 3 1剪力和弯矩 1 用截面法求梁的内力现以图10 6 a 所示的悬臂梁为例 分析和讲述梁弯曲时截面上内力的求法 先由静力学的平衡方程求出固定端的约束力FB F 约束力偶矩MB Fl 如图10 6 b 所示 为了求出梁横截面m m上的内力 在m m处将梁截开 现取左段梁为研究对象 如图10 6 c 所示 因为整个梁在外力作用下是平衡的 所以作为整个梁一部分的左段粱也应该是平衡的 即不能移动也不能转动 要使左段梁处于平衡 那么在m m横截面上必有一个作用线与外力F平行的内力FQ和一个在梁的纵向对称平面内的内力偶M 可见梁弯曲时 梁横截面上有两个内力因素 其中FQ称为剪力 内力偶M称为弯矩 截面上的剪力和弯矩代替了梁的右段对左段部分的移动和转动所起的约束作用 10 3 1剪力和弯矩 图10 6梁的剪力和弯矩 10 3 1剪力和弯矩 2 剪力和弯矩的正负号规定为了使取左段梁或右段梁求同一截面上的剪力和弯矩数值相等符号一致 我们对剪力和弯矩的正负号规定如下 在所切横截面的内侧截取一微段 凡使该微段有作顺时针方向转动趋势的剪力为正 反之为负 如图10 7 a 所示 凡使该微段产生上凹弯曲变形的弯矩为正 反之为负 如图10 7 b 所示 10 3 1剪力和弯矩 图10 7梁的内力方向 10 3 1剪力和弯矩 3 由外力和外力偶直接计算截面上剪力弯矩除用上述所用的截面法求剪力和弯矩外 还可直接根据外力与外力矩的代数和来计算截面法上的剪力和弯矩 此时 对外力与外力矩的正 负号的确定规则如下 计算剪力时取左段梁为研究对象时 向上的外力取正号 向下的外力取负号 取右段梁为研究对象时 向下的外力取正号 向上的外力取负号 计算弯矩时取左段梁为研究对象时 对截面形心产生顺时针转动效应的外力矩 包括力偶矩 取正号 反之取负号 取右段梁为研究对象时 对截面形心产生逆时针转动效应的外力矩 包括力偶矩 取正号 反之取负号 10 3 1剪力和弯矩 例10 1一简支梁受集中力F 1000N 集中力偶M 4KN和均布载荷q 10KN m的作用 如图10 8所示 试求1 1和2 2截面上剪力和弯矩 10 3 1剪力和弯矩 图10 8简支梁 10 3 2剪力图和弯矩图 10 3 2剪力图和弯矩图 例10 2台钻手柄AB用螺纹固定在转盘上 如图10 9 a 所示 其长度为l 自由端作用F力 试建立手柄AB的剪力 弯矩方程 并画出其剪力图和弯矩图 10 3 2剪力图和弯矩图 图10 9悬壁梁 10 3 2剪力图和弯矩图 例10 3图10 10 a 所示的简支梁AB上 作用有均布载荷q 试画出该梁的剪力 弯矩图 10 3 2剪力图和弯矩图 图10 10简支梁 10 3 2剪力图和弯矩图 例10 4图10 11 a 所示的简支梁AB 在C点处作用集中力F 试画出此梁的剪力 弯矩图 10 3 2剪力图和弯矩图 图10 11简支梁 10 3 2剪力图和弯矩图 例10 5图10 12 a 所示的简支梁AB 在C点处作用集中力偶Mo 试画出此梁的剪力 弯矩图 10 3 2剪力图和弯矩图 图10 12简支梁 10 4弯矩 剪力和梁上分布载荷集度之间的关系 10 4弯矩 剪力和梁上分布载荷集度之间的关系 10 4 1弯矩 剪力和载荷集度间的关系10 4 2利用弯矩 剪力和载荷集度之间的关系画剪力图和弯矩图 10 4 1弯矩 剪力和载荷集度间的关系 设简支梁AB上作用有任意载荷 作用于dx微段梁上的载荷集度可以认为是均布的 图10 13 a 中所示 建立图示坐标系 坐标原点在A 并规定分布载荷向上为正 取dx微段梁为研究对象 图10 13 b 设微段梁左侧截面上的剪力和弯矩分别为FQ和M 右侧截面上的剪力和弯矩应为 FQ dFQ 和 M dM 在这些力的作用下 dx微段梁应处于平衡状态 10 4 1弯矩 剪力和载荷集度间的关系 图10 13弯矩 剪力和载荷集度间的关系 10 4 2利用弯矩 剪力和载荷集度之间的关系画剪力图和弯矩图 掌握了弯矩 剪力和载荷集度间的关系 有助于正确 简捷地绘制剪力图和弯矩图 同时也可检查已绘制好的剪力图和弯矩图 判断其正误 由式 10 1 和集中力 集中力偶作用处内力图的变化规律 可以将剪力图 弯矩图和梁上载荷三者之间的一些常见的规律小结如表10 1所示 利用表10 1指出的规律以及通过求出梁上某些特殊截面的内力值 可以不必再列出剪力方程和弯矩方程而直接绘制剪力图和弯矩图 下面举例说明 例10 6利用M FQ q之间的关系 画出图10 14 a 所示外伸梁的剪力图和弯矩图 10 4 2利用弯矩 剪力和载荷集度之间的关系画剪力图和弯矩图 表10 1FQ M图特征表 10 4 2利用弯矩 剪力和载荷集度之间的关系画剪力图和弯矩图 例10 6利用M FQ q之间的关系 画出图10 14 a 所示外伸梁的剪力图和弯矩图 10 4 2利用弯矩 剪力和载荷集度之间的关系画剪力图和弯矩图 图10 14外伸梁 10 5梁纯弯曲时横截面上的正应力 10 5 1纯弯曲的概念10 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力计算10 5 3常用截面的轴惯性矩的计算 10 5梁纯弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面上的内力之后 还需进一步研究梁横截面上的应力与内力之间的定量关系 从而建立梁的强度设计条件 并进行强度计算 10 5 1纯弯曲的概念 火车轮轴的力学模型如图10 15 a 所示的外伸梁 该梁的剪力图与弯矩图如图10 15 b c 所示 在AC BD段内各横截面上既有弯矩M又有剪力FQ 梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪切变形 这种变形称为剪切弯曲 也称为横力弯曲 在CD段内的各横截面上只有弯矩M而无剪力FQ 梁的这种弯曲称为纯弯曲 梁的弯曲强度主要决定于横截面上的弯矩 剪力居次要地位 所以本节将讨论梁在纯弯曲 截面上没有剪力时 横截面上的正应力 10 5 1纯弯曲的概念 图10 15受集中力作用的简支梁 10 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力计算 l 实验观察与平面假设如图10 16 a 所示 现取一矩形截面等直梁 弯曲前在其表面画两条横向线m一m和n一n 再画两条纵向线a a和b b 然后在其两端作用外力偶M 梁将发生纯弯曲变形 观察其变形 可以看到如下现象 1 横向线m一m和n一n仍为直线且与纵向线正交 仅相对转动了一个微小角度 2 纵向线a一a和b一b弯成了曲线 且a一a线缩短 而b b线伸长 如图10 16 b 根据以上结果可以认为 原为平面的横截面变形后仍保持为平面 并垂直于变形后的轴线 只是绕横截面内某一轴线旋转了一角度 这种现象称为弯曲变形的平面假设 根据平面假设 同时设想梁由无数条纵向纤维组成 则可以看到各纵向纤维处于单向受拉或受压状态 由此可以推断 梁发生纯弯曲时 横截面上只有正应力 10 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力计算 图10 16梁的平面弯曲 10 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力计算 2 纯弯曲时梁横截面上正应力的分布规律从图10 16 b 中可以看出 梁纯弯曲时 从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短 其间必有一层纤维既不伸长也不缩短 这一既不伸长也不缩短的纵向纤维层称为中性层 如图10 16 c 所示 中性层与横截面的交线称为中性轴 梁弯曲时 横截面绕中性轴转动了一个角度 由上述分析可知 矩形截面梁在纯弯曲时 横截面上正应力的分布有如下特点 中性轴上的线应变为零 所以其正应力亦为零 距中性轴距离相等的各点 其线应变相等 根据胡克定律 它们的正应力也必相等 在图10 16 b 所示的受力情况下 中性轴上部各点正应力为压应力 即负值 中性轴下部各点正应力为拉应力 即正值 弯曲变形时 横截面上中性轴上下部分正应力相反 横截面上的正应力沿y轴呈线性分布 即 Ky K为待定常数 如图10 17所示 最大正应力 绝对值 在离中性轴最远的上 下边缘处 10 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力计算 图10 17梁的截面正应力分布 10 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力计算 3 梁纯弯曲时横截面上的正应力计算 10 5 3常用截面的轴惯性矩的计算 10 5 3常用截面的轴惯性矩的计算 10 6弯曲切应力简介 10 6 1矩形截面梁10 6 2工字形截面梁10 6 3园形截面梁和园环形截面梁 10 6弯曲切应力简介 梁弯曲时 梁的内力除了有弯矩外还有剪力 因此 梁的横截面上还存在有切应力 一般情况下对于细长的梁切应力的影响可以忽略不计 而对于短梁或载荷靠近支座的梁 需要考虑切应力的存在 梁的横截面上的切应力与梁的截面的结构形式有关 所以我们简单介绍梁的几种常见截面上的切应力 10 6 1矩形截面梁 矩形截面梁横截面上切应力的分布并非是均匀的 为了找出矩形截面梁横截面上的切应力的分布规律 我们假设其切应力的分布特点为 1 梁横截面上各点切应力的方向与其剪力的方向一致 2 切应力的大小与距中性轴z的距离y的大小有关 与截面的宽度b无关 10 6 1矩形截面梁 10 6 1矩形截面梁 图10 23矩形截面梁横截面上切应力的分布 10 6 2工字形截面梁 10 6 2工字形截面梁 图10 24工字形截面梁横截面上切应力的分布 10 6 3园形截面梁和园环形截面梁 10 7梁的强度计算 10 7 1梁弯曲时的强度条件10 7 2粱弯曲时的强度计算 10 7梁的强度计算 为了保证梁工作的安全可靠 对于平面弯曲的梁需要进行强度计算 在进行梁的强度计算时首先应确定梁的危险截面和危险点 由于梁平面弯曲时主要的工作应力是正应力 所以在一般情况下对梁进行强度计算时只考虑正应力的影响 10 7 1梁弯曲时的强度条件 10 7 2粱弯曲时的强度计算 10 7 2粱弯曲时的强度计算 例10 7简支矩形截面木梁AB受力情况如图10 20所示 跨度l 5m 承受均布载荷集度q 3 6kN m 木材顺纹许用应力 10MPa 设梁横截面的高宽比h b 2 1 试选梁的截面尺寸 2 如果将该矩形截面梁由竖放改为平放 试校核梁的强度 10 7 2粱弯曲时的强度计算 图10 20均布载荷作用的简支梁 10 7 2粱弯曲时的强度计算 例10 8图10 21所示桥式起重机的大梁由32b工字钢制成 梁的跨度L 10m 梁的材料的许用应力为140MPa 电葫芦自重G 15kN 梁的自重不计 求该梁能够承担的起重量F 10 7 2粱弯曲时的强度计算 图10 21桥式起重机 10 8梁的弯曲变形 10 8 1梁的挠度和转角的概念10 8 2积分法计算梁的变形10 8 3叠加法计算梁的变形10 8 4梁的刚度计算10 8 5提高梁的强度的措施 10 8梁的弯曲变形 梁除满足弯曲强度条件外 还要满足刚度条件 才能正常安全工作 如齿轮轴变形过大 会使齿轮不能正常啮合 工作时产生振动和噪声 起重机横梁 如图10 25 a 的变形如过大 会使点葫芦移动困难 机械加工中刀杆或工件的变形会产生较大的制造误差 如图10 25 b 所示 因此 研究梁的弯曲变形是十分必要的 10 8梁的弯曲变形 图10 25起重机横梁和被加工的工件 10 8 1梁的挠度和转角的概念 度量梁弯曲变形的两个基本量是挠度和转角 研究表明 对于较长的弯曲梁 其产生弯曲变形的主要因素是弯矩 而剪力的影响一般可以忽略不计 1 挠度以悬臂梁为例 变形前梁的轴线为直线AB m一m截面是梁的某一横截面 图10 26 变形后直线AB变为光滑的连续曲线AB1 m一m截面转到了m1一m1的位置 轴线AB上各点在y方向产生了位移 该位移称为挠度 用y表示 如图10 26中的CC1即为C点的挠度 一般规定向上的挠度为正 向下的挠度为负 挠度的单位为mm 2 转角在弯曲变形过程中 梁的横截面绕中性轴相对于原来位置转过的角度称为该截面的转角 转角用 表示 如图10 26中的 即为m一m截面的转角 转角的单位为rad 一般规定逆时针转的转角为正 顺时针转的转角为负 可以看出 转角的大小与挠曲线上C1点的切线与x轴的夹角相等 10 8 1梁的挠度和转角的概念 图10 26梁的挠度和转角 10 8 1梁的挠度和转角的概念 10 8 2积分法计算梁的变形 10 8 2积分法计算梁的变形 图10 27积分法计算梁的变形 10 8 3叠加法计算梁的变形 工程中将梁在简单载荷作用下的弯曲变形列成表 见表10 3 表中给出了梁在简单载荷下的挠曲线方程 端截面转角和最大挠度 从表中可以看出 梁的挠度和转角均为载荷的一次函数 当梁同时受到几种载荷的联合作用时 由某一载荷所引起的梁的变形不受其他载荷的影响 梁的变形满足线叠加原理 即先查出各个载荷单独作用下梁挠度和转角 然后将它们代数相加 得到各载荷同时作用时梁的挠度和转角 这种求变形的方法称为叠加法 采用叠加法的条件是 材料要服从胡克定律且变形很小的前提下 方可使用 10 8 3叠加法计算梁的变形 10 8 4梁的刚度计算 10 8 4梁的刚度计算 10 8 4梁的刚度计算 图10 30简支梁 图10 30简支梁 10 8 5提高梁的强度的措施 在梁的强度设计中 常遇到如何根据工程实际情况来提高梁的抗弯强度问题 分析梁的弯曲正应力强度条件 我们可以知道 降低梁的最大弯矩 提高梁的抗弯截面系数等 都可提高梁的抗弯承载能力 所以 我们可以从这几个方面着手找出提高梁抗弯强度的几条主要措施 1 降低梁的最大弯矩在载荷不变的前提下 通过合理布置载荷和安排支座位置 见图10 32 可以降低梁的最大弯矩 集中力远离简支梁的中点图10 32 a 所示的简支梁作用有集中力F 由弯矩图可见 最大弯矩为 若集中力F作用在梁的中点 即a b l 2 则最大弯矩为 若集中力F作用点偏离梁的中点 当a l 4时 则最大弯矩 a l 6时 最大弯矩Mmax 5Fl 36 若集中力F用点偏离梁的中点最远 无限靠近支座A即时 则最大弯矩 由此可见 集中力远离简支梁的中点或靠近支座作用可降低梁的最大弯矩 提高梁的抗弯强度 将载荷分散作用在如图10 32 b 所示的简支梁 若必须在中点作用载荷时 可通过增加辅助梁CD 使集中力F在AB梁上分散作用 集中力作用于梁中点的最大弯矩为MMax Fl 4 增加辅助梁CD后 Mmax Fx 2 当x l 4时 Mmax Fl 8 必须注意 附加辅助梁CD的跨长要选择的适当 太长会降低辅助梁的强度 太短则不能有效提高AB梁的抗弯强度 若将作用于简支梁中点的集中力均匀分散作用于梁的跨长上 如图10 32 c 均匀载荷集度q F l 则梁的最大弯矩为Mmax ql2 8 Fl 8 由此可见 在梁的跨长上分散作用载荷 可降低最大弯矩值 提高梁的抗弯强度 合理安排支座位置如图10 33 a 所示为一受均布载荷作用的简支梁 最大弯矩为Mmax 0 125ql2 若将两支座向里移0 2l 图10 33b 则梁的最大弯矩值将降低为MMax 0 125ql2工程上将许多受弯构件的支座都向里移动 目的就是降低构件的最大弯矩 如机械设备的底座 运动场上双杠的支杆等 10 8 5提高梁的强度的措