工程力学-弯曲应力.ppt

11 1引言 11 2对称弯曲正应力 11 3惯性矩与平行轴定理 11 4对称弯曲切应力简介 11 5梁的强度条件 11 6梁的合理强度设计 11 7双对称截面梁的非对称弯曲 11 8弯拉 压 组合强度计算 第十一章弯曲应力 主要介绍 梁的弯曲正应力 梁的强度分析与设计 弯拉 压 组合问题 一 梁横截面上的内力和应力的对应关系 t f1 FS 正应力仅与弯矩有关 11 1引言 切应力仅与剪力有关 s f2 M 二 纯弯曲概念 PureBending 若 FS FS x M M x 同时存在 称为横力弯曲或剪切弯曲 梁在弯曲变形的同时产生剪切变形 如简支梁的AC BD段 在梁的CD段中 FS 0 M 常量 即只有M存在 没有剪力作用 称为纯弯曲 纯弯曲 FS 0 梁横截面上没有t 只有s 11 2对称弯曲正应力 一 矩形横截面梁纯弯曲实验研究 纯弯曲实验 万能材料实验机上进行 取矩形横截面梁实验 梁表面作与梁轴线平行的纵向线 代表纵向纤维 与梁轴线垂直的横向线 代表横截面 在梁两端加弯矩M 使梁产生纯弯曲变形 观察现象 1 横向线仍为直线 但相对地转过一个微小角度 仍与已弯曲成圆弧线的纵向线垂直 与轴向拉 压时变形相似 2 纵向线均弯曲成圆弧线 且靠近凸面处伸长 靠近凹面处缩短 3 在伸长区 梁宽度减小 在缩短区 梁宽度增加 伸长 缩短 二 假设 1 梁弯曲平面假设 弯曲变形时 2 单向受力假设 由实验现象和假设可推知 设想梁由许多层纵向纤维组成 弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或单向受压状态 梁弯曲变形后 横截面仍保持为平面 并仍与已变弯后的梁轴线垂直 只是绕该截面内某轴转过一个微小角度 靠近梁顶面的纵向纤维受压 缩短 靠近梁底面的纵向纤维受拉 伸长 弯曲变形时 梁横截面是绕中性轴转动的 从伸长到缩短的过程中 必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短 保持原来的长度 由变形的连续形可知 中性层 由既不伸长也不缩短的纵向纤维组成 中性轴 中性层与梁横截面的交线 中性层 中性轴 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴 1 变形几何关系 正应变分布规律 二 弯曲正应力一般公式 取梁微段dx分析 弯曲变形后 设中性层曲率半径为r 横截面1 1 2 2仍保持为平面 取坐标轴 y轴 z轴 y轴与截面对称轴重合 z轴与中性轴重合 位置未定 但各自绕中性轴转过一个角度 形成一夹角 为dq 距中性层为y处纵向纤维ab的变形 弯曲前 弯曲后 中性层长度不变 ab的伸长 ab的正应变 为横截面上正应变分布规律 a 式表示 纵向纤维的正应变与其离中性层的距离y成正比 在一定的M作用下 r为常数 y e 中性层下方 y为正值 e也为正值 表示为拉应变 b a O2 O1 1 1 2 2 dq r 中性层上方 y为负值 e也为负值 表示为压应变 2 物理关系 正应力分布规律 纵向纤维间无相互挤压 ab单向受拉 压 由s Ee 将 a 式带入 得 为横截面上正应力分布规律 式中E r为常数 b 式表示 横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离y成正比 即横截面上正应力沿高度呈线性分布 中性层下方 y为正值 s也为正值 表示为拉应力 中性层上方 y为负值 s也为负值 表示为压应力 y 0 中性轴上 s 0 y max 上 下表层 s max 由 b 式可得s的分布规律 但因r的数值未知 中性轴的位置未确定 y无从算起 所以仍不能计算正应力 用静力学关系解决 3 静力学关系 确定中性轴位置及r的计算 取微面积dA z y dA dA上微内力 sdA 截面上所有微内力sdA组成一空间平行力系 可合成为三个内力合力 FN My Mz 1 AsdA FN FN 0 AsdA 0 c b 带入 c E r不为零 AydA 0 而 AydA Sz yCA 0 yC 0 z轴 中性轴 为形心轴 即中性轴必须通过梁横截面的形心 s dA b 带入 e 令Iz Ay2dA 称Iz为横截面对z轴的惯性矩 即 为用曲率表示的弯曲变形公式 2 AsdA y Mz Mz M AsdA y M e 横截面一定时 Iz一定 s dA 1 r为中性层弯曲变形后的曲率 将EIz称为梁的抗弯刚度 将上式带入 b 表示 梁横截面上的s与M成正比 与Iz成反比 沿截面高度呈线性分布 中性轴上 y 0 s 0 上 下表层 y max s max s dA 2 中性层曲率 s的方向可由梁的变形直接判定 1 中性轴位置 中性轴过截面形心 结论 3 正应力公式 最大弯曲正应力 上 下表层 y ymax 三 最大弯曲正应力 令Wz Iz ymax 称Wz为横截面的抗弯截面系数 2 弹性范围内 且Ec Et 1 纯弯曲 平面假设条件下 四 公式适用条件 3 对称弯曲 y轴为梁横截面的纵向对称轴 公式 可用于s sp 对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算 例1 悬臂梁如图示 Me 20kN m E 200GPa 梁用No18工字钢制成 试求梁的最大弯曲正应力和梁轴的曲率半径 解 1 工字钢Iz Wz 3 计算smax 由附录E表4 P359 查得 Iz 1 66 10 5m4 Wz 1 85 10 4m3 2 作M图 4 计算梁轴的曲率半径r 由 有 11 3惯性矩与平行轴定理 一 简单截面的惯性矩 1 定义 Iz Ay2dA 为图形A对z轴的惯性矩 Iy Az2dA 为图形A对y轴的惯性矩 2 分析讨论 1 dA 0 y2 z2 0 Iz Iy 0 单位 m4 cm4 mm4 2 若A A1 A2 An 则 Iz IzA1 IzA2 IzAn SIzAi Iy IyA1 IyA2 IyAn SIyAi 为组合图形的惯性矩公式 矩形截面的惯性矩 取微面积dA bdy 圆形截面的惯性矩 取微面积dA z y Iz Iy 且有r2 y2 z2 箱形截面的惯性矩 由组合图形的惯性矩公式 空心圆截面的惯性矩 二 平行轴定理 已知 A Iz0 Iy0 Iz Ay2dA A y0 a 2dA 求 Iz Iy Cy0z0 过形心直角坐标系 Oyz 任意直角坐标系 z与z0平行 间距为a y与y0平行 间距为b A y02 2ay0 a2 dA Iz Iz0 a2A Iz0 Ay02dA 同理得 解 y y0 a z z0 b Ay0dA 0 AdA A Iy Iy0 b2A Ay02dA 2a Ay0dA a2 AdA 即 截面对任一坐标轴z的惯性矩Iz 等于对其平行形心轴z0的惯性矩Iz0加上截面面积与两轴间距离平方的乘积 已知 d m 求 Iz 解 已知 h b 求 Iz 解 求 图示图形对形心轴z的惯性矩Iz 单位 cm 解 1 确定形心位置 2 Iz Iz IzA1 IzA2 21 28 36 59 57 87cm4 A1 A2 组合图形对形心轴z惯性矩Iz的计算步骤 1 将组合图形分解为几个简单图形 由形心公式确定形心位置 2 由平行轴定理分别计算各简单图形对z轴的惯性矩IzAi A1 A2 IzAi Iz0 a2Ai 解 1 作M图确定截面弯矩 例受均布载荷作用的简支梁如图所示 试求 1 1 1截面上1 2两点的正应力 2 此截面上的最大正应力 3 全梁的最大正应力 4 已知E 200GPa 求1 1截面的曲率半径 2 计算应力 3 计算曲率半径 一 矩形截面梁横截面上的切应力 假设 11 4对称弯曲切应力简介 横截面上剪力FS位于纵向对称轴上 由切应力互等定理可知 截面两侧边处的切应力方向应平行于侧边 1 截面上各点切应力都与剪力平行 2 距中性轴等距离处 切应力沿宽度均布 当h b 1时与实际情况较接近 在以上假设的基础上分析得切应力的计算公式为 矩形截面 高h 宽b h b 即切应力沿截面高度呈抛物线分布 Sz w 为所求切应力处以外图形面积w对z轴的静矩 在中性轴上 y 0 在上 下表层 y h 2 t 0 可知 t方向 与横截面上剪力方向相同 t大小 沿截面宽度均匀分布 沿高度h呈抛物线分布 tmax 为平均切应力的1 5倍 二 工字形截面梁横截面上的切应力 切应力仍可用矩形截面时公式计算 腹板上切应力 腹板为矩形 h d 腹板上切应力的分布与矩形截面相同 工字形截面 由中间腹板和上下两块翼板组成 Sz w 为所求切应力处以外图形面积w对z轴的静矩 求得Sz w 后代入上式得腹板上切应力的计算公式为 即腹板上切应力沿腹板高度呈抛物线分布 在中性轴上 y 0 在腹板与翼板交接处 y h 2 对工字型钢 式中 翼板上切应力 可查型钢求得 在翼板上还存在垂直方向的切应力 数值很小 一般略去不计 此外 在翼板上还有沿水平方向 z方向 的切应力存在 其推导方法和结果可参考有关资料 三 弯曲正应力与弯曲切应力比较 最大弯曲正应力 最大弯曲切应力 当l h时 smax tmax 对实心截面的细长梁 弯曲正应力是影响梁强度的主要因素 11 5梁的强度条件 对一般梁 弯曲正应力和切应力的分布规律为 横截面的中性轴处 有tmax 并且为纯剪切 横截面的上下边缘处 有smax 并且为单向受拉 压 一 弯曲正应力强度条件 对一般梁 M M x 作M图 确定Mmax 即危险截面 s 为弯曲时材料许用正应力 则 发生在横截面的上下边缘处 且为单向受拉 压 或 弯曲正应力强度条件 塑性材料 sc st 只需smax st 脆性材料 sc st 应 由强度条件可进行三方面强度计算 1 强度校核 2 设计截面 smax s 选择型钢时 若 则可选用 3 确定许可载荷 Mmax s Wz 由Mmax F 二 弯曲切应力强度条件 一般对短梁 l 5h 组合截面腹板较薄 工字形 T形 槽形等 抗剪切强度低 焊缝 胶合面 铆钉连接等 的场合要进行弯曲切应力强度校核 弯曲切应力强度条件 t 为材料的许用切应力 解 1 作FS M图 例5图示矩形截面木梁 已知b 0 12m h 0 18m l 3m 材料 7MPa 0 9MPa 试校核梁的强度 可知 FSmax 5400NMmax 4050N m 2 校核梁的强度 6 25MPa 0 375MPa 梁安全 例6图示减速箱齿轮轴 已知F 70kN d1 110mm d2 100mm 材料 100MPa 试校核轴的强度 12 25kN m 9 8 解 1 作M图 确定危险截面 C截面 Mmax 12 25kN m 为危险截面 D截面 MD 9 8kN m 但其直径较小 也可能为危险截面 2 强度校核 C截面 93 9MPa D截面 99 9MPa 梁满足强度要求 解 1 作M图 例7图示T形截面铸铁梁 已知Iz 8 84 10 6m4 y1 45mm y2 95mm 材料 t 35MPa sc 140MPa 试校核梁的强度 可知危险截面 D截面 B截面 D截面 最大正弯矩MD 5 66kN m B截面 最大负弯矩MB 3 13kN m 59 8MPa c 梁安全 MD MB y2 y1 sa sd 即最大压应力为D截面上a点 而最大拉应力为D截面上b点或B截面上c点 由计算确定 stmax 33 6MPa t 注意 若将梁倒置 则 stmax 59 8MPa t 梁不安全 2 校核梁的强度 弯曲正应力是决定梁强度的主要因素 11 6梁的合理强度设计 是设计梁的主要依据 要使smax 则应使Mmax Wz 一 合理安排梁的载荷及支座 目的 使Mmax 如 合理安排载荷 Mmax 0 25Fl Mmax 0 167Fl Mmax 0 125ql2 Mmax 0 025ql2 如 合理安排支座 二 梁的合理截面形状 Mmax s Wz 即梁所能承受的弯矩Mmax与Wz成正比 Wz越大越有利 另外 梁所用材料的多少和重量的大小与横截面面积A成正比 面积越小 材料越少 重量越轻 越经济 梁的合理截面形状应为 A较小而Wz较大 如 矩形截面 高h 宽b h b 实际中矩形截面梁均为竖放 竖放时 平放时 即矩形截面梁竖放比平放具有更高的弯曲强度 若 h b 3 2时 竖放时强度比平放时强度高50 根据弯曲正应力的分布规律 离中性轴愈远 正应力愈大 靠近中性轴处 正应力很小 因此靠近中性轴处的材料工作时未充分发挥作用 如 矩形截面改为工字形截面 可提高Wz 所以应将尽可能多的材料配置在远离中性轴处的部位 其他如箱形截面 T形截面 槽形截面等都可提高Wz 一般可用Wz A来评价梁截面形状的合理性和经济性 若Wz A较大 则表示梁截面形状较为合理性 较为经济 矩形截面 可知 矩形截面较圆形截面更为合理 圆形截面 设直径d h 工字钢 槽钢 此外在考虑梁的合理截面形状时 还应考虑到材料的力学性能 对 t c 的塑性材料 一般采用对称于中性轴的截面 此时有 tmax cmax 比较合理 如T形截面 并使中性轴偏向于强度较弱的一边 对 t c 的脆性材料 一般采用不对称于中性轴的截面 tmax t cmax c 设计时应有 由 即 可使最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力 对钢筋混凝土梁 应将钢筋置于梁中较大拉应力处 三 等强度梁的概念 一般M M x Mmax 对等截面梁 需按最大弯矩Mmax处设计 即采用截面沿轴线变化的变截面梁 因此对Mmax以外的其他截面上的材料未得到充分利用 为节约材料 减轻重量 从强度考虑 可在M较大处采用较大的截面 M较小处采用较小的截面 变截面梁的强度条件 近似采用等截面梁的公式 M x 为梁截面上的弯矩 Wz x 为梁截面的抗弯截面系数 若使变截面梁各横截面上的最大正应力都等于许用应力 即得到等强度梁 等强度梁的强度条件 可得等强度梁的Wz x 沿梁轴线得变化规律 如 悬臂梁受F作用 矩形截面 h b 1 b为常量 h x 为变量 M x Fx 即h x 按抛物线规律变化 自由端 x 0 h 0 但不能满足切应力强度条件 所以由一段h为常量 工程实际中的鱼腹梁即为此种等强度梁 2 h为常量 b x 为变量 即b x 按直线规律变化 其等强度梁为一三角形板 实际中将其分成狭条 再重叠起来 即得到常见的板弹簧 对于圆截面的等强度梁 也可由条件 求得直径d x 的规律变化 但实际中考虑到轴的加工方便和结构装配上的要求 常采用阶梯形状的梁 阶梯轴 来代替理论上的等强度梁 11 8弯拉 压 组合强度计算 一 弯 拉 压 组合变形 实例 摇臂 轴向力产生轴向拉伸 横向力产生对称弯曲 摇臂为拉 弯曲组合变形 钩头螺栓 外力与轴线平行 但不重合 称为偏心拉伸 压缩 向轴线平移后 F M 螺栓为拉 弯曲组合变形 杆件受轴向力和横向力同时作用时产生拉 压 与弯曲的组合变形 弯拉 压 组合分析 1 外力分析 Fx 轴向力 使梁产生轴向拉伸 2 内力分析 作FN图 M图 危险截面 B截面 固定端 F Fx Fsinj Fy Fcosj Fy 横向力 使梁产生对称弯曲 m m截面内力 FN Fx Fsinj M Fyx Fxcosj FN Fsinj Mmax Flcosj 3 应力分析 FN 产生正应力sN M 产生弯曲正应力sM 均布 沿高度线性分布 危险点 a b 4 强度校核 tmax t 应 cmax c 弯拉 压 组合分析步骤 1 外力分析 将外力分解为轴向力和横向力 2 内力分析 作FN图 M图 确定危险截面 3 应力分析 由危险截面上sN sM的分布规律确定危险点 计算其应力 4 强度计算 stmax sN sM scmax