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第十章微分方程习题课 二 高阶微分方程 1 一 可降阶的高阶微分方程 1 高阶微分方程的定义 2 可降阶的高阶微分方程类型 1 2 3 3 可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程 是通过引入变量进行降阶 转化为成一阶微分方程 通过判定一阶微分方程的类型 求出通解 解题方法流程图如下图所示 2 解题方法流程图 逐次积分 解一阶微分方程 解一阶微分方程 Yes No 3 4 典型例题 例1 求方程的通解 解 由于不显含 令 则 代入原方程整理得 即 因此 再积分一次 即得原方程的通解为 此解可以写成 4 代入原方程整理得 即 为一阶线性微分方程 5 利用公式得 即 积分得 6 代入原方程整理得 分离变量得 7 积分得 所以 即 从而 分离变量得 所求方程的特解为 8 二 二阶常系数线性微分方程 1 定义 1 二阶常系数线性齐次微分方程 2 二阶常系数线性非齐次微分方程 2 解的结构性质 9 3 非齐次方程的解题方法 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 一般分为四步 1 写出特征方程并求根 2 求对应的齐次线性方程的通解 4 写出原方程的通解 解题方法流程图如下图所示 10 解题方法流程图 求通解 11 4 典型例题 分析 由二阶线性非齐次微分方程解的结构 先求出 对应齐次方程 从而得出通解及方程的表达式 特征方程为 12 对应齐次方程为 对应齐次方程通解为 所求的方程为 通解为 13 分析 此为二阶常系数非齐次线性微分方程 由解的结 构 先求出对应齐次的通解 再求出其本身的一个特解 解 所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 它的特征方程 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 14 2020 1 7 15 由于是型 其中 且 不是特征方程根 所以应设特解 得非齐次方程的通解为 解得 所求的特解为 16 解 所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 它的特征方程为 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于是型 其中 17 解之 得 由此求得一个特解为 比较等式两边的系数 得 求出把它们代入原方程 得 18 故齐次方程的通解为 其中 19 代入原方程 解之得 故特解为 于是所求通解为 20 故齐次方程的通解为 属于混合型 令 不是特征方程根 故可设 所以 得 21 是特征方程根 故可设 求 于是原方程的通解为 22 故齐次方程的通解为 代入原方程 并比较两边系数 得 所以原方程的通解为 从而 23 24 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 即 亦即 25 分析 此等式中含有积分上限函数 因此想到利用积分 上限函数的性质 求导可建立微分方程 从而求解
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