高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数（2）学案 苏教版必修1.doc

第2课时对数的运算性质1理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明1对数的运算法则如果a0，且a1，m0，n0，nr，那么：指数的运算法则对数的运算法则amanamnloga(mn)logamlogan；amanamnlogalogamlogan；(am)namnloga(nn)nlogan.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前【做一做11】计算：(1)log26log23_；(2)log53log5_.答案：(1)1(2)0【做一做12】若2lg(x2y)lg xlg y，则的值是_解析：由等式得(x2y)2xy，从而(xy)(x4y)0，因为x2y，所以x4y.答案：42换底公式(1)logab，即有logcalogablogcb(a0，a1，c0，c1，b0)；(2)logba，即有logablogba1(a0，a1，b0，b1)；(3)(a0，a1，b0)换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子【做一做2】已知lg na，用a的代数式表示：(1)log100n_；(2)_.答案：(1)a(2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式例如：logn(mn)logamlogan，loga(mn)logamlogan等都是错误的第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a0且a1，m0，n0.例如，lg(2)(3)是存在的，但lg(2)、lg(3)都不存在，因而得不到lg(2)(3)lg(2)lg(3)第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”题型一 有关对数式的混合运算【例1】求下列各式的值：(1)log535log5log514；(2)lg 52lg 8lg 5lg 20lg22；(3).分析：利用对数运算性质和“lg 2lg 51”解答解：(1)log535log5log514log5log55312.(2)lg 52lg 8lg 5lg 20lg222lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)lg222lg 10(lg 2lg 5)2213.(3).反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值另外注意利用“lg 2lg 51”来解题题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a29b24ab(a0)，证明lg.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lglg，因此只要利用条件证出真数相等即可证明：由4a29b24ab，得2ab，因为a0，所以b0，两边取以10为底的对数，得lg2lg(ab)，即2lglg(ab)，lglg(ab)，所以lg(lg alg b)因此lg，所以原等式成立反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log23a,3b7，则log1256_(用a，b表示)解析：方法一：log23a，2a3.又3b7，7(2a)b2ab.故568723ab.又12342a42a2，从而.故log1256.方法二：log23a，log32.又3b7，log37b.从而log1256.方法三：log23a，lg 3alg 2.又3b7，lg 7blg 3.lg 7ablg 2.从而log1256.答案：反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14c.14c的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14c，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14c含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14c按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14c含量为1，试推算生物死亡t年后体内每克组织中的14c含量p；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14c的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14c的残留量为x.由于死亡机体中原有的14c按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的14c含量p有如下关系：死亡年数t123t14c含量pxx2x3xt因此，生物体死亡t年后体内14c的含量pxt.由于大约经过5 730年，死亡生物体的14c含量衰减为原来的一半，所以x5 730.于是x.所以生物死亡t年后体内每克组织中的14c含量.(2)由可得.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14c的残余量约占原始含量的76.7%，即p0.767.所以.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址反思：生物体死亡后，机体中原有的14c每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率已知衰减比率，求若干年后机体内14c的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14c的含量，求衰减的年数应属于对数知识1设lg a1.02，则0.010.01的值为_(用a表示)解析：设0.010.01x，则lg xlg 0.010.010.01lg 0.010.02，lg alg xlg ax0.021.021.ax10，x.答案：2若lg 2a，lg 3b，则lg 0.18等于_解析：lg 0.18lg 1822lg 3lg 22a2b2.答案：a2b23已知，则log23_.解析：由条件得log2，所以lo