高中数学 第二章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1-2.2.2 条件概率与事件的独立性课堂导学案 新人教B版选修2-3.doc

2.2.1-2.2.2 条件概率与事件的独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？解析：一个家庭的两个小孩子只有4种可能：两个都是男孩子，第一个是男孩，第二个是女孩，第一个是女孩，第二个是男孩，两个都是女孩，由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为，a=“其中一个是女孩”，b=“其中一个是男孩”，则=（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），a=（男，女），（女，男），（女，女），b=（男，男），（男，女），（女，男），ab=（男，女），（女，男），问题是求在事件a发生的情况下，事件b发生的概率，即求p（b|a）.由上面分析可知p（a）=，p（ab）=.由公式可得p（b|a）=,因此所求条件概率为.温馨提示 关键是弄清楚p（ab）及p（a）.二、事件的独立性的应用【例2】甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲（或乙）是否投中，对乙（或甲）投中的概率是没有影响的，也就是说，“甲投篮一次，投中”与“乙投篮一次，投中”是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生的概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生的概率，从而可以得到所求的各个事件的概率.解：（1）设a=“甲投篮一次，投中”，b=“乙投篮一次，投中”，则ab=“两人各投篮一次，都投中”.由题意知，事件a与b相互独立，根据公式所求概率为 p（ab）=p（a）p(b)=0.60.6=0.36. (2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中（事件ab发生），另一种是甲未投中、乙投中（事件ab发生）。根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件a与b互斥，并且a与,与b各自相互独立，因而所求概率为p（a）+p(b)=p(a)p()-p()p(b)=0.6(1-0.6)+(1-0.6)0.6=0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是p（）=p（）p()=(1-0.6)(1-0.6)=0.16.因此，至少有一人投中的概率为p（ab）=1-p()=1-0.16=0.84.三、条件概率与事件独立性的综合应用【例3】 益趣玩具厂有职工500人，男、女各占一半，男、女职工中非熟练工人分别为40人与10人，现从该企业中任选一名职工，试问：a.该职工为非熟练工人的概率是多少？b.若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？思路分析：题a的求解同学们已很熟，它是一般的古典概型问题，b的情况有所不同.它增加了一个附加信息，设a表示非熟练工人，b表示出的是女职工，问题b可以叙述为在已知事件b发生的条件下，求事件a发生的概率.解析：设a=“非熟练工人”，b=“选出的是女职工”，p（a）=，p（a|b）=.各个击破类题演练 1 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率.解析：设a=“第一次取到红皮蛋”，b=“第二次取到红皮蛋”，则p（a）=，由于是有放回的抽取，所以p（b）=,ab=“两次都取到红皮蛋，”由于第一次取一个鸡蛋有5种取法，第二次取一个鸡蛋也有5种取法，于是两次共55种取法，其中都取到红皮蛋的取法有33种，因此，两次都取到红皮蛋的概率为p（ab）=,所以p（b|a）=.变式提升 1 设a、b互斥，且p（a）0,则p（b|a）=_.若a、b相互独立，p（a）0,则p（b|a）=_.解析：a、b相互独立，相互不影响，p（b|a）=p（b）.答案：0 p（b）类题演练 2 甲、乙二人独立地解开密码，甲完成的概率是，乙完成的概率是，则甲、乙都完不成的概率是多少？解：a、b独立，则a、b独立.甲完成设为事件a，乙完成设为事件b.则p（）=p()p()=(1-p(a)(1-p(b)=.变式提升 2分别掷两枚均匀硬币，令a=甲出现正面b=乙出现正面验证：事件a、b是否独立.解析：这时样本空间=（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）共含4个基本事件，它们是等可能的，各有概率为，a=（正，正），（正，反），b=（正， 正），（反，正），ab=（正 ，正），p（a）=p（b）=，故p（ab）=p（a）p(b)，a、b相互独立.类题演练 3 某种产品用满6 000小时未坏的概率为75%，用满10 000小时未坏的概率为50%,现有这样的一个元件，已用过6 000小时未坏，问它能用10 000小时的概率？解析：设a=用满10 000小时未坏，b=用满6 000小时未坏，p（b）=，p（a）=，由于ab,ab=a.因而p（ab）=p（a）=，p（a|b）=.变式提升 3 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的