高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律示范教案 新人教B版必修4.doc

2.3.2 向量数量积的运算律示范教案教学分析上节学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘向量，已突破了算术运算的框框学生在形式上已接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律认真证明分配律，揭示分配律的几何意义，为用分配律运算解几何题打下坚实的基础三维目标1通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和2通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题3通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力重点难点教学重点：向量数量积的运算律教学难点：向量数量积运算律的灵活运用课时安排1课时导入新课思路1.(直接引入)从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更有意义现在我们探索一下，看看它会有哪些运算律呢？思路2.(特例引入)让学生计算ab和ba，其中|a|4，|b|2，a，b.学生会发现向量运算满足交换律，进而探究是否满足其他的运算律呢？推进新课(1)由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？(2)我们知道，对任意a，br，恒有(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2.对任意向量a、b，是否也有下面类似的结论？(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.活动：首先看看它有没有交换律abba.由向量数量积的定义，得|a|b|cos|b|a|cos，可以直接推出交换律成立在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了向量的数量积是否具有分配律(ab)cacbc?直观上，不太容易看出它是否成立让我们从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立我们知道，一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正射影的数量如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变为(ab)c0ac0bc0.证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正射影的数量等于各个向量在这个方向上的射影的数量和为此，我们画出式两边的几何图形(图1)，看看能否推出式两边相等图1作轴l与向量c的单位向量c0平行作a，b，则ab.设点o，a，b在轴l上的射影为o，a，b，根据向量的数量积的定义有oac0ac0，abc0bc0，obc0(ab)c0，但对轴上任意三点o，a，b，都有oboaab，即(ab)c0ac0bc0，这就证明了式成立式两边同乘以|c|，得(ab)cacbc.至此，我们完成了分配律的探索与证明另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数，有(ab)(a)ba(b)至此，我们探究并证明了数量积的运算律：已知a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：abba(交换律)；(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)；(ab)cacbc(分配律)应向学生特别指出：(1)当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab0. (2)已知实数a、b、c(b0)，则abbcac.但对向量的数量积，该推理不正确，即abbc不能推出ac.由图2很容易看出，虽然abbc，但ac.图2 (3)对于实数a、b、c有(ab)ca(bc)；但对于向量a、b、c，(ab)ca(bc)不成立这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)ca(bc)不成立讨论结果：(1)数量积满足abba(交换律)；(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)；(ab)cacbc(分配律)(2)1(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2；2(ab)(ab)aaabbabba2b2|a|2|b|2.显然由1式解出：3ab(|ab|)2|a|2|b|2)此时可向学生点明(2)中的三个向量表达式，有着深刻的几何意义后面马上就要学到思路1例 1在abc中，设边bc，ca，ab的长度分别为a，b，c.证明：a2b2c22bccosa，b2c2a22cacosb，c2a2b22abcosc.活动：根据上面的讨论结果，教师指导学生自己完成证明证明：如图3，设c， a， b，图3则a2|a|2|2()()(bc)(bc)bbcc2bc|b|2|c|22|b|c|cosab2c22bccosa.同理可证其他二式点评：这就是上面讨论结果中1，3的式子，我们把这个结果称为余弦定理，以后我们还要专门讨论它的意义，教材把它放到必修5中去了，以便那个时候再返回到低的层面上循环.变式训练1已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()a1b2c.d.答案：c2已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)解：(a2b)(a3b)aaab6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos6|b|26264cos6064272.例 2求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：abcd是菱形，ac和bd是它的两条对角线(图4)图4求证：acbd.证明：因为，所以()()|2|2.因为|，所以0.因此acbd.点评：上面讨论结果中的3式，作出图来，显示的即为平行四边形的性质当等式右边等于0时，也就证明了菱形的对角线互相垂直，这点可对学有余力的学生点明一下思路2例 1已知在四边形abcd中，a，b，c，d，且abcdbcda，试问四边形abcd的形状如何？解：0，即abcd0，ab(cd)由上可得(ab)2(cd)2，即a22abb2c22cdd2.又abcd，故a2b2c2d2.同理可得a2d2b2c2.由上两式可得a2c2，且b2d2，即|a|c|，且|b|d|，也即abcd，且bcda，abcd是平行四边形故，即ac.又abbcab，即ab0，ab，即.综上所述，abcd是矩形点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状例 2已知a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求向量b与ab的夹角活动：教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则，画出以a，b为邻边的abcd，若a，b，则ab，ab.由|a|b|ab|，可知abc60，b与所成角是150.我们还可以利用数量积的运算，得出向量b与ab的夹角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用另外一种角度来思考问题，教师给予必要的点拨和指导，即由cosb，ab作为切入点，进行求解解：|b|ab|，|b|a|，b2(ab)2.|b|2|a|22ab|b|2.ab|b|2.而b(ab)bab2|b|2|b|2|b|2，由(ab)2a22abb2|b|22()|b|2|b|23|b|2，而|ab|2(ab)23|b|2，|ab|b|.cosb，ab，代入，得cosb，ab.又b，ab0，b，ab.变式训练设向量cmanb(m，nr)，已知|a|2，|c|4，ac，bc4，且b与c的夹角为120，求m，n的值解：ac，ac0.又cmanb，cc(manb)c，即|c|2macnbc.|c|2nbc.由已知|c|216，bc4，164n.n4.从而cma4b.bc|b|c|cos1204，|b|4()4.|b|2.由cma4b，得acma24ab，8m4ab0，即ab2m.再由cma4b，得bcmab4b2.mab164，即mab12.联立得2m212，即m26.m.故m，n4.1先由学生回顾本节学习的数学知识，通过回顾数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，探究得到了数量积的运算律2教师进行简要总结本节学习的数学方法：归纳类比、数形结合等我们通过类比实数的乘法运算，得到了数量积满足的三条运算律，并且这些运算律类似于实数的乘法运算律，很方便记忆和运用3在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题如在探究完数量积满足的运算律之后，又接着探究了三个向量a，b，c，数量积不满足结合律，这点往往被学生忽视课本本节习题2.4a组2、3、4.1本节是平面向量的核心部分，也是解决物理、几何问题的基础，其重要性显而易见，也是高考的热点之一应让学生结合上节中数量积的定义、重要性质综合归纳整理一下，并进行必要的基础练习2结合学生的归纳整合，教师根据学生掌握的情况可再次提醒几个常见思维误区，如向量夹角的定义、范围，三个向量的积的结合律问题等以便学生更深层次地理解数量积的内涵和外延，切实掌握好数学概念3对于本节教材中的例1可视教学情况作适度引申，尝试一下也不失为一种教法，对必修5的教学或许有意想不到的好处一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算向量的向量积定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180的角而达到b.如图5.图5向量a与b的向量积记作ab.设a与b两个向量的夹角为，则|ab|a|b|sin.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则ab0.向量的向量积服从以下运算律：(1)abba；(2)a(bc)abac；(3)(ma)bm(ab)二、备用习题1已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，ab与a垂直，则等于()a1 b1 c2 d22设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的是()a bc d3在abc中，设b，c，则等于()a0 b.sabc csabc d2sabc4设i，j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且a(m1)i3j，bi(m1)j，如果(ab)(ab)，则实数m_.5若向量a，b，c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.6设|a|3，|b|4，a与b的夹角为150，求：(1)(a3b)(2ab)；(2)|3a4b|.7已知|a|，|b|3，a与b的夹角为45，且向量ab与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围8已知|a|