数学人教版八年级上册教案.19.doc

14.2 乘法公式 第1课时 平方差公式 天津四中 刘菁一、内容和内容解析【内容】 八年级上册第14章第2节第一课时乘法公式平方差公式【内容解析】“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”的第一个公式，让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的推导过程，学生从已有的认知出发，在一组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，运算结果特别简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用；既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；从公式的探究推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础要想熟练而正确的应用公式解决问题，学生必须对公式结构特征进行剖析，在剖析中加深了对公式特征和表达形式的理解与掌握，又为学生学习掌握其他数学公式提供了学习的模板因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具备核心的地位让学生体会研究“公式问题”的“基本套路”：从一般问题（整式乘法）中发现特殊情况（平方差），举三反一，再考察特殊情况存在的共性及合理性，进而归纳出特殊情况的一般特征，归纳得到公式并用文字、符号表示；能够辨析公式，明确其结构特征，在实践中加以应用，举一反三，体会它存在的必要性和便捷性同时为学生感悟和体验数学思想与方法（归纳、转化、数形结合）也搭建了一个不可多得的平台基于上述分析，确定本节的教学重点是:理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算二、目标和目标解析【目标】 1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力3、在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣【目标解析】学生经历公式的形成过程：从“特例一般”用“归纳猜想验证数学符号”表示等过程，进一步发展学生的符号感、培养他们的合情推理和归纳的能力；让学生能理解公式中a 、b 各代表什么，能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题；让学生在经历从具体到抽象，从一般到特殊中，寻找规律，自我归纳，明确解决同类问题的基本套路，积累数学活动的经验，感受“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣；在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐和幸福，从而能主动地去理解数学、感悟数学的精神三、教学问题诊断分析学生的认知基础有：第一、八年级学生已有用字母表示数的基础第二、学生已学习了多项式的乘法，但本节课所给特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握（如字母表示负数，多项式等），在平方差公式的灵活运用时常发生多种错误，如： 符号错误（-5a- 3）（+5a-3）=25a2-9 系数不平方（2a-1）（2a+1）=2a2-1 不能运用公式的而运用公式（a+0.5b）（b-0.5 a）=a2-0.25b2，其原因就是只了解公式（a+b）（a-b）=a2-b2的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征鉴于此，本节的教学难点是： 理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式四、教学支持条件分析利用多媒体展示教学的部分环节，如创设情景、公式的几何意义等，从而支持课堂教学，突出重点，突破难点五、教学过程设计（一）探究平方差公式导入:速算王的绝招在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：12119=?210397=?主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991”其速度之快，简直就是脱口而出同学们，你知道他是如何计算的吗?你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢?设计意图:通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课 问题：上一节中,我们学习了多项式与多项式相乘的法则,根据所学知识,请你写出两个两项式相乘的式子，并求出结果.追问1：改变上式中一项，仍保持是两项式乘两项式，使它的结果变成三项.追问2：再次改变上式中的一项，把它的结果变成两项.追问3：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+y）（2x-y）= 师生活动：学生独立思考，回答问题，尝试进行概括，发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和，两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差. 设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式-平方差公式（二）验证平方差公式 问题2：你能通过计算（a+b)（a-b）验证你的猜想吗？ （a+b)（a-b）=a2-ab+ ab-b2 =a2-b2 归纳平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2，即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 师生活动：学生回答问题，相互补充. 设计意图：通过多项式的乘法法则践行猜想，让感知得到到理性的检验，体现数学学科思维的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进，进而准确的用数学语言表述公式.问题3：请同学们以小组为单位利用教具图形的面积试着验证平方差公式. 师生活动：教师提出问题，学生小组交流，若学生感到困难，教师引导学生分解问题.最后请同学代表演示验证过程. 设计意图 ：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系引导学生学会从多角度、多方面来思考问题 （三）理解平方差公式 例：运用平方差公式计算（1）（3x +2）（3x2）；（2）（-x+2y）（2y-x）（3）师生活动：师生共同分析解答（1），对比公式，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；重点分析哪个数或式子相当于公式中的a,b，即相同项，相反项，然后依照公式，写出平方差，即相同项与相反项的平方差，.请同学模仿（1）解答（2），（3），同时注意适当调整位置，合理加括号. （2x + 3）（2x 3）=（2x）232 = 4x 29 设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准相同项和相反项，并运用公式计算.练习1：快问快答.请说出相同项，相反项，并求出结果.（1）（1+x）(1-x) (2) (-3+a)(-3-a)(3) (4) (3n-2m)(-2m-3n)练习2 ：是真的吗？下面哪个式子可以使用平方差公式.(1)（7a-3b）(3b +7a)(2) （x+3）(-x-3)(3) (2a-3b)(3a+2b)(4) (a+c-b)(a+c+b)练习3：找错误(1) (y+6)(y-6)=y-6(2) (3y+1)(3y-1)=3y-1(3) (x-1)(-x-1)=x-1(4) (5ab+1)(5ac-1) =25a2b2 师生活动：学生回答问题，教师指导订正.设计意图：通过快问快答，找错误等形式来练习找相同项，相反项，并运用公式计算，指出容易出错的环节，突破难点.问题3：通过例题和以上三个练习，对公式有了进一步的理解.（a+b）（a-b）= a2-b2左式:“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右式:相同项与相反项的平方差.注意： 1、平方差公式中的a、b可以表示_,_或_.2、当“a”“b”是分数，负数，数与字母乘积等较复杂形式时，要看成一个整体， 3、运用平方差公式计算的一般步骤：（1）找到_和_，（2）适当换位置，合理加括号，写出( )2 _ ( )2的形式；（3）计算结果.师生活动：教师和学生一起回顾学习的内容，突出重点.设计意图：通过小结，使学生把握核心内容，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验.问题4：编顺口溜.根据前面的学习，请同学编一个关于平方差公式的顺口溜.师生活动：小组六个同学，交流讨论，一起编顺口溜.教师示范：平方差很简单， 找准相 同 和相 反 ； 再用同“ 方 ”减 反“ 方 ”； 两数情况复杂时，千万记得加括号，加括号！ 设计意图：通过编顺口溜，学生把握平方差公式的核心内容，进一步理解容易出错的地方，为熟练运用公式打好基础.问题5：数字游戏.写出你最喜欢的个位数字， 计算100与它的和，100与它的差 求出和与差的乘积追问1 (1) （ ) ( ) = n2-m2 (2) ( ) ( ) = 25-a (3) ( ) ( ) = 4x2-9y2师生活动： 请小组派代表到前面和教师按照步骤共同完成，如果学生感到困难，请小组同学讨论帮助.教师引导学生认真观察，并及时总结规律.设计意图：对一部分同学来说，类似102乘以98之类的计算有一定难度，这个环节的设计意图就是在游戏中使同学自觉的把102，98分解成两数和，两数差.问题6：挑战自我1判断并改错： (1) (5y+2)(5y-2)=5y-4 ( ) (2) (1- 4xy)(-1- 4xy)=1-16xy ( ) (3) (-ab+3c)(-3c-ab)=ab-9c ( ) (4) (x+3)(y-3)=xy-9 ( )2. 已知：两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm2，求这两个正方形的边长.3. (x-1)(x+1)(x2+1)4. 5. 利用平方差公式计算：6. 利用平方差公式计算：终极挑战：师生活动 :小组代表选题，小组合作回答，其他同学在练习本上完成.教师指导，师生交流.设计意