2013 11 10 大物竞赛 振动波动 精简 习题 部分.pdf

振振 动动 Vibration 与波动 与波动 Wave 振动 Vibration 解 mgNN NNffF 21 2121 1 21 xdNxdN 力矩平衡 例 如图所示 两轮的转轴互相平行 相距为例 如图所示 两轮的转轴互相平行 相距为2d 其转速其转速 相同 转向相反 将质量为相同 转向相反 将质量为m的匀质木板放在两轮上 木的匀质木板放在两轮上 木 板与两轮间的摩擦系数均为板与两轮间的摩擦系数均为 当木板的重心当木板的重心c偏离对称位偏离对称位 置后 它将如何运动 如果是作简谐振动 其周期是多少置后 它将如何运动 如果是作简谐振动 其周期是多少 若两轮均沿图示的相反方向旋转 木板将如何运动 若两轮均沿图示的相反方向旋转 木板将如何运动 c 2d x mg d xd N mg d xd N 2 2 2 1 木板将沿木板将沿x方向作简谐振动方向作简谐振动 N1N2 x f1f2 x d mg F 线性恢复力线性恢复力 振动 Vibration c N2N1 x f2f1 2 2 1212 dt xd mx d mg NNffF x d g dt xd 2 2 方向作加速运动 木板沿x d g x d mg dt xd m 2 2 由 g d T 2 x d g dx dv v dt dx dx dv dt dv dt xd 2 2 t 0 v 0 x x0 xdx d g vdv 2 0 2 xx d g v v 0 x x0 振动 Vibration 例 设弹簧振子中的振子质量为例 设弹簧振子中的振子质量为M 弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为k 弹簧的质量为弹簧的质量为m 均匀分布 忽然摩擦力 均匀分布 忽然摩擦力 试求 振动周期 试求 振动周期 m k M O v M x L 2 T解 l dl v L l x L l dl L m dll 速度 位移 质量 的弹簧处 若能证明该系统作谐振动 由由E 法证明法证明 弹簧 弹簧振子的机械能 k EMvkxE 22 2 1 2 1 dll L mv v L l dl L m dEk 2 3 2 2 2 2 1 振动 Vibration v M x L 222 3 2 1 2 1 2 1 v m MvkxE 弹簧振子的机械能 由于不考虑摩擦 弹簧振子的机械能守恒 0 3 0 2 2 kx dt xdm M dt dE 即 3 2 m M k k m M T 3 2 2 222 0 3 2 3 2 1 6 1 2 v m mvdll L mv dEE L kk 整根弹簧 振动 Vibration 2 100 1 2 tBm smgmNkkgm 点所需的时间到达最左端求 满足 摩擦系数 已知 m A BO 7cm 2 T t m 则 作谐振动的话 分析 如果放手后 2 2 k mg xkmgkx dt xd mx 处 解 2 2 k mg xk dt k mg xd m k mg xx 令 谐振动得 xk dt xd m 2 2 2 0 100 1 22 k m T m k 且 s T t314 0 2 得 振动 Vibration m A BO 7cm 02 0cm k mg OOOO 置变了 由 但振子的平衡位 谐振动 且周期不变 作用下的弹簧振子仍作结论 摩擦力 恒力 O cmOOAOOAOB05 002 007 0 且 理求得 点的位置也可由功能原B 2 1 2 1 22 BAAB xxmgkxkxBA 2 1 BABAAB xxmgxxxxk k mg xx AB 2 cm k mg xx AB 03 004 007 0 2 振动 Vibration 设 一切接触面均光滑 设 一切接触面均光滑 求求 1 弹簧的最大压缩量 弹簧的最大压缩量 2 从弹簧与小球接触到 从弹簧与小球接触到 弹簧到达最大压缩量的时间 弹簧到达最大压缩量的时间 m v0 o 解 坐标轴固定在框架上 原点选在弹簧原长处 守恒 xx PFmm 0 1 0 1 00 vmmmv 即 守恒 非保内外 EAA 00 2 2 1 2 1 2 1 22 0 2 0 m kxvmmmv 即 0 0 0 mmk mm vxm m0 振动 Vibration 4 2 T t 谐振动 则所求时间 球在框内在 分析 如果能证明小 设 小球压缩弹簧x 则受弹性力 kx ma谐振动 xa 2 k m t k m T m k 2 2 x m mmk m kx mkxFkxF x 0 0 0 时 其受力为 小球压缩弹簧 惯合 小球在框架内作谐振动小球在框架内作谐振动 x o m v0 m0 框架为非惯性系时 框架的小球压缩弹簧 0 m kx ax a 振动 Vibration 0 0 2 0 0 mm mmk xmmax m mmk F 合 24 2 4 0 0 mmk mmT t 验证 验证 2 cos cos 0 0 0 0 0 t mm mmk mmk mm vtAx t 0 x0 0 v0 m v0 m0 0 0 0 2 2 0 2 0 mmk mm v v xA 2 0 0 1 x v tg m x 振动 Vibration 的厚度至少应为多厚 问媒质 为最大 区内叠加后的合振幅在 若使上述两列反射波 式 面反射的反射波的表达 写出经 式 面反射的反射波的表达 写出经 区中入射波的表达式 写出 且和别为 中的波速分和媒质 如图所示 在媒质的媒质有一厚度为 处的右侧在轴原点振动表达式为的左侧 距离为 轴原点点在轴正向传播 已知中沿质 一平面余玹波在媒 2 4 3 2 1 212 cos 1 2 1 221121 A S S uuuu D lotAyd xax 区 区 1 2 d Dl oa u u tAya 解 cos1 11 cos cos u dx tA u dx tAy 入 振动 Vibration 区 区 1 2 d Dl oa u cos 2 1 1 1 u dl tAy S S入 入 为 为 面上质元振动的表达式面上质元振动的表达式入射波引起入射波引起 22111 uuS 相位的突变 面上反射时有在 cos 11 1 1 u dl u lx tAy S 反反 式为 式为 面反射的反射波的表达面反射的反射波的表达经经 cos 1 1 1 为 为 面上质元振动的表达式面上质元振动的表达式反射波引起反射波引起 反 反 u dl tAy S S 2 cos 11 u dl u x tA 1 cos u dx tAy 入 振动 Vibration 区 区 1 2 d Dl oa u 突变 面上反射时有无相位的在 2 S 221 2 2 cos u Dlx u D u ld tAy S 区的反射波表达式为 面反射到经 反 Dlxl 121 2 2 cos u Dlx u D u ld tAy S 区的反射波表达式为 面反射又回到经 反 lx cos 3 21 u lx u ld tAy 入 区的表达式为 入射波在 cos 21 2 2 u D u ld tAy S S 入 为 面上质元振动的表达式入射波引起 Dlx 振动 Vibration 121 2 2 2 cos u lx u D u ld tAy S 区的反射波表达式为 面反射又回到经 反 221 2 2 cos u Dlx u D u ld tAy S 区的反射波表达式为 面反射到经 反 区 区 1 2 d Dl oa u 211 22 cos u D u dl u x tA cos 11 1 1 u lx u ld tAy S 反 式为 面反射的反射波的表达经 2 cos 11 u dl u x tA 2 cos 21 1 1 u D u ld tAy S S 反 为 面上质元振动的表达式反射波引起 lx 振动 Vibration 12 2 2 2 2 2 k u Dk u D 即 4 2 22 0 222 min uu Dk时 当 k2 2 1 0 k 211 22 u D u dl u x t 2 11 u dl u x t 的厚度至少应为多厚 问媒质 为最大 区内叠加后的合振幅在 若使上述两列反射波 2 4A 反 211 2 22 cos u D u dl u x tAy 2 cos 11 1 u dl u x tAy 反 区 区 1 2 d Dl oa u 振动 Vibration 区 区 1 2 d Dl oa u cos 1 1 u x tAy 反 式 面反射的反射波的表达 写出经 1 2S 另解 反 cos 1 tAy oS 1111 2 0 u dl u l u l u d t a o 1 S o 反 2 cos 11 1 u dl u x tAy 振动 Vibration 式 面反射的反射波的表达 写出经 2 3S 区 区 1 2 d Dl oa u 00 12211 u l u D u D u l u d t a 1 s 2 s 1 s o o 21 22 u D u dl 区的波动表达式为 面反射到经 2 S 反 cos 1 2 u x tAy 反 211 2 22 cos u D u dl u x tAy 振动 Vibration 2 1 10 21 2 1 接受到的透射声波频率 来的声波频率接受到的由铜板反射回 求 者正前方有一静止的接收的平行铜板 在铜板的 向前运动速度发出 经空气传播到以的声波从静止波源率为 设频在铜板中的传播速度为播速度为 声波在空气中的传 R S R uuS uu 铜 板 u S R 波源接收者 1 1 0 1 1 u uu u 波频率为铜板的左侧接受到的声 运动的 波源静止 以速度解 2 1 1 1 uu u S 来的声波频率为接受到运动铜板反射回 0 1 1 1 uu uu 振动 Vibration 铜 板 u S R 波源接收者 3 1 1 2 uu u R 发射的声波频率为接受到运动铜板向前方 1 0 1 1 u uu 02 即声波在铜板中传播 虽然速度改变了 但频率不变 即声波在铜板中传播 虽然速度改变了 但频率不变 振动 Vibration 解 解 1 cos 1 11 u dx tAtxy 余弦波沿余弦波沿 x 方向传播 方向传播 1 1区入射波函数区入射波函数 y1 2 S1面上反射波面上反射波 y1 4 使两列反射波在 使两列反射波在 1区干涉相消的区干涉相消的Dmin 3 S2面上反射回面上反射回1区的区的 求 求 r1u1 r3u3 tAya cos 1 a 点振动为点振动为 r2u2r1u1 d Dl S1 S2 0 12 a xx 33 r3u3y y1 y1 y1 如图示 如图示 设其振幅为 设其振幅为A1 1 y 波波 1 A 振幅 振幅 例例 振动 Vibration 3 2 22 cos 21 11 u D u dlx tAtxy cos 1 11 u xlld tAtxy 2 cos 1 1 u dlx tA 2u2 1u1 d D l S1 S2 0 12 a xx 33 3u3y y1 y1 y1 振动 Vibration 例有一单摆在空气 室温为 中来回摆 动 其摆线长 摆锤是一半径 的铅球 求 1 摆动周期 2 振幅减小10 所需的时间 3 能量减小 10 所需的时间 4 从以上所得结果说明空气 的粘性对单摆周期 振幅和能量的影响 C20 m0 1 l m100 5 3 r 已知铅球密度为为 33 mkg1065 2 C20 sPa1078 1 5 时空气的粘度 振动 Vibration 解解 1 1 0 s13 3 lg vvCrF 6 r 142 s1004 6492 rmC 0 s2 2 2 0 22 0 T 振动 Vibration 2 有阻尼时有阻尼时 t AA e 1 e9 0 t AA min3s174 9 0 1 ln 1 t 3 t A A E E 22 e 2 2 e9 0 t min5 1s87 2 9 0 1 ln 2 t 振动 Vibration 一频率为一频率为248 5Hz的音叉放在盛水的细管口 的音叉放在盛水的细管口 求 求 声波在空气中的声速声波在空气中的声速 u 连续连续调节水面高度 调节水面高度 当空气柱的高度相继为当空气柱的高度相继为 L1 0 34 m 和和 L2 1 03 m 时时发生共鸣 发生共鸣 L1 L2 解 解 发生共鸣时形成驻波 发生共鸣时形成驻波 管口为波腹 管口为波腹 水面为波节 水面为波节 空气柱长满足条件 空气柱长满足条件 2 1 0 4 12 nnL 例例 振动 Vibration 故故 m69 0 2 12 LL 声速声速 因因 得得n 0 L1 L2 m340 4 12 1 nL m3 01 4 1 1 2 2 nL m38 1 2 12 LL m s3435 24838 1 u 4 1 L 4 3 2 L m340 4 m38 1 12 4 12 1 nnL 振动 Vibration 已知已知 如图 如图 当汽车当汽车 C 经过经过O 时时 求 求 v 30 O C B 电电 视视 信信 号号 x 汽车汽车 C 经过经过O 时的车速时的车速 v 解 解 为什么为什么B处会接收到处会接收到强度强度 起伏的起伏的电视信号 电视信号 C作为作为接收接收者在者在动 动 C作为作为发射发射者在者在动 动 C反射的频率反射的频率 分析 分析 的频率的频率 反射亦为反射亦为 使它接收使它接收 B处监测到处监测到 电视信号电视信号 6 108Hz 有每秒有每秒20次次的强度起伏 的强度起伏 使使B接收接收 反射波反射波和和直接入射波直接入射波叠加叠加形成形成 拍