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高阶微分方程习题课 1 一 主要内容 高阶方程 可降阶方程 线性方程解的结构 二阶常系数线性方程解的结构 特征根法 特征方程的根及其对应项 待定系数法 f x 的形式及其特解形式 2 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非全微分方程非变量可分离 幂级数解法 降阶 作变换 作变换 积分因子 3 1 可降阶的高阶微分方程的解法 型 解法 接连积分n次 得通解 型 特点 解法 代入原方程 得 4 型 特点 解法 代入原方程 得 2 线性微分方程解的结构 1 二阶齐次方程解的结构 5 2 二阶非齐次线性方程的解的结构 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 非齐通解 齐通解 非齐特解 6 3 二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 7 特征方程为 8 推广 阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 9 4 二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二阶常系数非齐次线性方程 解法待定系数法 10 二 典型例题 11 例1 解 代入方程 得 故方程的通解为 12 例2 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 13 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 14 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 15 例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为 求其通解 解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解 故 是齐方程的两个解 齐通解 且线性无关 非齐通解 16 例4 设f x 具有连续的二阶导数试确定f x 使曲线积分 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得 即 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程 齐通解 17 2020 1 8 18 19 例5 解 特征方程 特征根 对应的齐方的通解为 设原方程的特解为 20 解得 21 即 故原方程的通解为 22 例6 解 由题设可得 解此方程组 得 23 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 24 测验题 2
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