清华大学材料力学习题详解(范钦珊)第7章.pdf

1 eBook eBook 材料力学习题详细解答材料力学习题详细解答 教师用书 教师用书 第 第 7 章 章 2006 01 18 范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin Shan s Education Teaching StudioFAN Qin Shan s Education Teaching Studio 2 习题习题 7 1 习题习题 7 2 习题习题 7 3 习题习题 7 4 习题习题 7 5 习题习题 7 6 习题习题 7 7 习题习题 7 8 习题习题 7 9 习题习题 7 10 习题习题 7 11 习题习题 7 12 习题习题 7 13 习题习题 7 14 习题习题 7 15 习题习题 7 16 习题习题 7 17 习题习题 7 18 习题习题 7 19 习题习题 7 20 习题习题 7 21 习题习题 7 22 习题习题 7 23 习题习题 7 24 习题习题 7 25 习题习题 7 26 习题习题 7 27 习题习题 7 28 习题习题 7 29 习题习题 7 30 习题习题 7 31 习题习题 7 32 3 第第 7 章章 梁的强度问题 梁的强度问题 3 应力分析与强度计算 应力分析与强度计算 7 1 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示 图中的尺寸单位为 mm 求 梁的 1 1 截面 上 A B 两点的正应力 解 解 1 计算梁的 1 1 截面上的弯矩 3 1m 1 10 N 1m 600N m 1m1300N m 2 M 2 确定梁的 1 1 截面上 A B 两点的正应力 A 点 点 3 3 6 3 3 3 150 10 m 1300 N m20 10 m 2 10 PaMPa 100 10 m150 10 m 12 z A z M y I 2 542 54拉应力 B 点 点 3 3 6 3 3 3 150 10 m 1300N m40 10 m 2 1 62 10 Pa1 62MPa 100 10 m150 10 m 12 z A z M y I 压应力 7 2 加热炉炉前机械操作装置如图所示 图中的尺寸单位为 mm 其操作臂由两根无 习题习题 7 2 图图 习题习题 7 1 图图 4 缝钢管所组成 外伸端装有夹具 夹具与所夹持钢料的总重 FP 2200 N 平均分配到两根 钢管上 求 梁内最大正应力 不考虑钢管自重 解 解 1 计算最大弯矩 33 max 2200N2395 10 m 5 269 10 N mM 2 确定最大正应力 maxmax max3 4 6 max max3 3 4 66mm 0 611 2108mm 21 32 5 268 N m 24 71 10 Pa 24 71MPa 2 108 10 m 21 0 611 32 MM DW M W 7 3 图示矩形截面简支梁 承受均布载荷 q 作用 若已知 q 2 kN m l 3 m h 2b 240 mm 试求 截面竖放 图 c 和横放 图 b 时梁内的最大正应力 并加以比较 解 解 1 计算最大弯矩 2 3 2 3 max 2 10 N m3m 2 25 10 N m 88 ql M 2 确定最大正应力 平放 平放 3 6 max max22 33 2 25 10 N m 6 3 91 10 Pa 3 91 MPa 240 10 m120 10 m 6 M hb 竖放 竖放 3 6 max max22 33 2 25 10 N m 6 1 95 10 Pa 1 95 MPa 120 10 m240 10 m 6 M bh 习题习题 7 3 图图 5 3 比较平放与竖放时的最大正应力 max max 平放 竖放 3 91 2 0 1 95 7 4 圆截面外伸梁 其外伸部分是空心的 梁的受力与尺寸如图所示 图中尺寸单 位为 mm 已知 FP 10 kN q 5 kN m 许用应力 140 MPa 试校核梁的强度 解 解 画弯矩图如图所示 实心部分与空心部分的最大正应力分别为 3 6 max1 max3 3 1 32 30 65 10 N m 113 8 10 Pa 113 8MPa 140 10 m M W 实 3 6 max2 max 4 3 2 3 32 20 10 N m 100 3 10 Pa 100 3MPa 1 02 1010m 33 6 max 8124 40 10 N m 96 4 10 m 37 8 10 Pa 37 8MPa 1 02 1010m 所以 梁的强度不安全 7 6 由 No 10 号工字钢制成的 ABD 梁 左端 A 处为固定铰链支座 B 点处用铰链与 钢制圆截面杆 BC 连接 BC 杆在 C 处用铰链悬挂 已知圆截面杆直径 d 20 mm 梁和杆的 许用应力均为 160 MPa 试求 结构的许用均布载荷集度 q 解 解 画弯矩图如图所示 强度计算 对于梁 max 0 5 Mq 7 max max 66 3 0 5 160 1049 10 15 68 10 N m 15 68kN m 0 50 5 Mq WW W q 对于杆 N max 22 2 36 2 3 44 2 25 20 10160 10 22 34 10 N m 22 34kN m 4 2 254 2 25 B FFq Add d q 所以结构的许可载荷为 15 68kN m q 7 7 图示外伸梁承受集中载荷 FP作用 尺寸如图所示 已知 FP 20 kN 许用应力 160 MPa 试选择工字钢的号码 解 解 33 maxP 1m 20 10 N 1m 20 10 N mMF max max 3 333 P 6 1m20 101m 0 125 10m125cm 160 10 Pa M W F W 所以 选择 No 16 工字钢 7 8 加固后的吊车主梁如图所示 梁的跨度 l 8m 许用应力 100MPa 试分析当 小车行走到什么位置时 梁内弯矩最大 并计算许可载荷 小车对梁的作用可视为集中力 习题习题 7 7 图图 8 习题习题 7 8 解 解 1 小车行至梁中间时 梁内弯矩最大 设总载荷为 FP 这时梁跨度中间截面上弯矩最大 P 1max 4 F l M 应用移轴定理确定加固后 横截面对中性轴的惯性矩 3 8284 1 75 6 1 10755 102 75 6 163 1 347 10 mm 12 y I 危险截面的弯曲截面模量 15343 1 8 113 10 mm8 113 10m 166 y y I W 根据重点正应力作用点的强度条件 1max 1 y M W 于是 有 PP 6 4 1 8 44 100 10 8 113 10 y F lF W 因此解出这时的许可载荷 3 P 1 40 56 10 N 40 56 kNF a 2 小车行至离两端 1 4 m 处 这时 该处弯矩最大 而且横截面没有加固 所以也可能是危险截面 P 2max 8 1 4 1 4 8 F M 从型钢表上查得没有加固的横截面的弯曲截面模量 43 1 6 922 10m y W 最大正应力作用点的强度条件 2max 2 y M W 即 P 6 P 4 2 8 1 41 4 1 155 8 100 10 6 922 10 y F F W 因此解出这种情形下的许可载荷 3 P 2 59 9 10 N 59 9 kNF b 3 最终的许可载荷 9 比较式 a 和 b 最终的许可载荷取二者中的较小者 即 FP 40 56 kN 7 9 支承楼板的木梁如图所示 其两端支承可视为简支 楼板受均布面载荷 p 3 5kN m2的作用 已知木梁跨度 l 6m 楼板间距 a 1m 木材的 10MPa 木梁截面 尺寸 b h 2 3 试求 b 和 h 各为多少 解 解 木梁受力如图所示 其中载荷集度 qpa 1 22 AB ql FFpal 梁内最大弯矩 22 max 11 88 Mqlpal 最大正应力作用点的强度条件 2 2 maxmax max2 3 2 1 9 8 2 8 3 6 6 pal MMpal bhWh h h 因此解出 232 3 3 6 99 3 5 101 6 0 242 m 242 mm 8 8 10 10 pal h 2 161mm 3 bh 习题习题 7 9 图图 10 习题习题 7 10 图图 7 10 图示之 AB 为简支梁 当载荷 FP直接作用在梁的跨度中点时 梁内最大弯曲正 应力超过许用应力 30 为减小 AB 梁内的最大正应力 在 AB 梁配置一辅助梁 CD CD 也 可以看作是简支梁 试求辅助梁的长度 a 解 解 1 没有辅助梁时 max max P 4 1 30 M W F l W 2 有辅助梁时 max max P 32 2 M W F l a W PP 32 24 1 30 1 30323 1 384m F lF l a WW a a 7 11 关于弯曲剪应力公式 Qzz bISF 应用于实心截面的条件 有下列论述 试 分析哪一种是正确的 A 细长梁 横截面保持平面 B 弯曲正应力公式成立 剪应力沿截面宽度均匀分布 C 剪应力沿截面宽度均匀分布 横截面保持平面 D 弹性范围加载 横截面保持平面 正确答案是 B 解 解 公式 Qzz bISF 推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力 该正应力 x 则要 求弯曲正应力公式成立 另外推导时在 0 x F时 应用了 沿截面宽度均匀分布假设 11 习题习题 7 13 图图 习题习题 7 14 图图 习题习题 7 15 图图 7 12 试判断梁横截面上的剪应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是 A 横截面保持平面 B 不发生扭转 C 剪应力公式应用条件 D 剪应力互等定理 正确答案是 D 7 13 槽形截面悬臂梁加载如图示 图中C为形心 O 为弯曲中心 关于自由端截面位移有下列结论 试判 断哪一种是正确的 A 只有向下的移动 没有转动 B 只绕点 C 顺时针方向转动 C 向下移动且绕点 O 逆时针方向转动 D 向下移动且绕点 O 顺时针方向转动 正确答案是 D 解 解 将力 FP向弯曲中心简化 得到一个向下的力 和一个顺时针方向的力偶 因此梁不仅有向下的移动 而且有顺时针方向的转动 所以正确答案是 D 7 14 等边角钢悬臂梁 受力如图所示 关于截面 A 的位 移有以下论述 试分析哪一种是正确的 A 下移且绕点 O 转动 B 下移且绕点 C 转动 C 下移且绕 z 轴转动 D 下移且绕 z 轴转动 正确答案是 D 解 解 外加力的作用线沿着截面的形心主轴方向 因而产生平面弯曲 平面弯曲时横截面将绕着中性 轴转动 而中性轴通过形心 现在只有 z 轴通过横 截面的形心 所以正确答案是 D 7 15 试判断下列图示的剪应力流方向哪一个是正确的 正确答案是 A 7 16 四种不同截面的悬臂梁 在自由端承受集中力 作用方向如图所示 图中 O 为 弯曲中心 试分析哪几种情形下可以直接应用 zzx IyM 和 Qzz bISF 计算横截面 12 习题习题 7 16 图图 习题习题 7 17 图图 上的正应力和剪应力 A 仅 a b 可以 B 仅 b c 可以 C 除 c 之外都可以 D 除 d 之外都不可能 正确答案是 D 解 解 弯曲正应力和剪应力公式的应用条件必须是平面弯曲 对于开口薄壁截面梁 产生 平面弯曲的条件是 载荷的作用线必须通过弯曲中心 并且沿着主轴方向 情形 a 因为力 FP的作用线虽然通过弯曲中心 但不是主轴方向 所以不是平面弯 曲 情形 b 因为力 FP的作用线虽然沿着主轴方向 但不通过弯曲中心 因而将产生扭 转 所以也不是平面弯曲 情形 c 因为力 FP的作用线虽然通过弯曲中心 但不是主轴方向 所以也不是平面 弯曲 情形 d 因为力 FP的作用线既通过弯曲中心 又是主轴方向 所以将产生平面弯曲 因此正确答案是 D 7 17 梁的受力及横截面尺寸如图所示 试 1 绘出梁的剪力图和弯矩图 2 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力 3 确定梁内横截面上的最大剪应力 4 画出横截面上的剪应力流 解 解 1 受力分析 左右两侧支座处的约束力分别为 13 18 R B FkN 22 R A FkN 剪力与弯矩图如图所示 2 形心 C 位置 形心 C 到横截面下边缘的距离为 80 20 1080 20 6060 20 110 80 20 260 20 55 45mm C y 3 计算正应力 12 8020 45452080 12 2080 3 2 3 z I 2 3 2 55542060 12 2060 5548020 46mm 108567 3max max 1045 55 z I M 114 10855758 7 1045 55102 16 6 33 MPa 1331055 64 3max max z I M MPa 4 计算剪应力 习题习题 7 17 解图解图 a 习题习题 7 17 解图解图 b 习题习题 7 17 解图解图 c 14 39 max m1085287 2 4535 45352045452080 z S 94 11 10855758 71020 10852871022 63 93 maxQ max z z I SF MPa 5 剪应力流 7 18 木制悬臂梁 其截面由 7 块木料用 A B 两种钉子连接而成 形状如图所示 梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力 FP作用 已知 FP 6kN 9 10504 1 z Imm4 A 种钉子的纵向间距为 75mm B 种钉子的纵向间距为 40mm 间距在图中未标出 试求 1 A 类钉子每个所受的剪力 2 B 类钉子每个所受的剪力 解 解 1 A 类每个钉子所受的剪力 200100300250400400 12 1 333 z I 1504 mm4 5 105715050100 zA Smm3 习题习题 7 17 解图解图 d 习题习题 7 18 图图 15 习题习题 7 19 图图 z zA A I SF Q A 种每根钉子所受剪力 N224 101504166667 107510750000106 10751075 12 393 3Q3 Q z zA AA I SF F 1 B 类每个钉子所受的剪力 53 2 100 50 150200 50 17532 5 10 mm zB S B 类每根钉子所受剪力 3593 3 Q 12 6 1032 5 101040 10 40 10518 6 1504166667 10 Q zB B z F S F I N 7 19 图中所示均为承受横向载荷的梁的横截面 若剪力均为铅垂方向 试画出各截 面上的剪应力流方向 7 20 矩形截面悬臂梁左端为固定端 受力如图所示 图中尺寸单位为 mm 若已知 d e f 习题习题 7 19 解图解图 16 FP1 60 kN FP2 4 kN 求 固定端处横截面上 A B C D 四点的正应力 习题习题 7 20 图图 解 解 1 确定固定端处横截面上的内力分量 NP1 P2 3 P1 60kN 1 2m 4kN 1 2m 4 8 kN m 20 10m 60kN 1 2m 72 kN m y z FF MF MF 2 确定固定端处横截面上 A B C D 四点的正应力 N 333 62929 666 N N 60 106 4 8 106 72 10 200 120 10120 20010200 12010 2 5 10 Pa6 10 Pa2 5 10 Pa 2 5MPa6MPa2 5MPa 6MPa 2 5MPa6MPa 2 5MPa 1MPa 2 5MPa 6M y z A yz y z B yz y z C yz M FM AWW M FM AWW M FM AWW N Pa 2 5MPa 11MPa 2 5MPa 6MPa2 5MPa 6MPa y z D yz M FM AWW 7 21 图示悬臂梁中 集中力 FP1和 FP2分别作用在铅垂对称面和水平对称面内 并且 垂直于梁的轴线 如图所示 已知 FP1 1 6 kN FP2 800 N l 1 m 许用应力 160 MPa 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸 1 截面为矩形 h 2b 17 习题习题 7 21 图图 2 截面为圆形 解 解 1 截面为矩形 P1 P2 1600N 1m 1600N m 2800N2m 1600N m y z MF l MFl max 22 6 33 3 3 6 66 6 16006 1600 160 10 42 3 2 4 10 0 0356m 35 6mm 160 10 y z yz y z M M WW M M bhhb bb b 2 截面为圆形 P1 P2 2222 1600N 1m 1600N m 2800N2m 1600N m 160016002262 7 N m y z yz MFl MFl MMM max max 3 3 3 6 32 2262 7 160 10 6 32 2262 7 0 0524m 52 4mm 160 10 M W d d 18 习题习题 7 22 图图 7 22 旋转式起重机由工字梁 AB 及拉杆 BC 组成 A B C 三处均可以简化为铰链 约束 起重荷载 FP 22 kN l 2m 已知 100 MPa 试 选择 AB 梁的工字钢的号码 解 解 1 受力分析 起重荷载位于 AB 梁中点时 梁处于危险状态 这时 梁承受弯曲与轴向压缩的共 同作用 PP 0sin30022kN 2 ABCBC l MFFlFF AB 梁在 B 点承受的轴向压缩力 N cos3019052 N BC FF 2 强度设计 首先按照弯曲强度设计 然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核 max max P 3 633 6 22 10 N2m 4 110 10m110 cm 4 160 10 Pa M W F l W 所以 选择 No 16 工字钢 No 16 工字钢的横截面面积与弯曲截面系数分别为 242 363 26 1cm26 1 10m 141cm141 10m A W 再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度 N 3 46 66 1905222 102 26 1 104 141 10 7 3 10 Pa 78 10 Pa 85 3MPa A FM AW 19 习题习题 7 23 图图 习题习题 7 24 图图 所以 选择 No 16 工字钢 梁的强度是安全的 7 23 试求图a和b中所示之二杆横截面上最大正应力及 其比值 解 解 a 为拉弯组合 2 P 2 P P a 3 4 6 2 3 4 2 3 a F aa a F aa F b 为单向拉伸 2 P b a F 3 4 b a 7 24 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图 试 1 假定骨骼为实心圆截面 确定横截面 B B 上的最大拉 压应力 2 假定骨骼中心部分 其直径为骨骼外直径的一半 由海绵状骨质所组成 忽略海绵状 承受应力的能力 确定横截面 B B 上的最大拉 压应力 3 确定 1 2 两种情形下 骨骼在横截面 B B 上最大压应力之比 解 解 1 骨骼为实心圆截面 轴力引起的压应力 7950 4 726 10445 2 6 1 N 1N A F MPa 20 习题习题 7 25 图图 力矩引起的最大拉 压应力 MPa52614 10 32 726 1061445 9 3 3 1 max W M M 二者叠加的结果 73 13795 0526 14 max MPa 32 15795 0 526 14 max MPa 2 骨骼中心部分 其直径为骨骼外直径的一半 由海绵状骨质所组成的情形 轴力引起的压应力 4 2 726 726 10445 2 2 6 2 N 2N A F 4 1 1 7 26 104454 2 6 MPa061 3 4 7950 力矩引起的最大拉 压应力 MPa49415 15 16 52614 2 1 1 4 1 2 max2 z z z z M W M W M 二者叠加的结果 MPa431406149415 max MPa551606149415 max 3 两种情形下 骨骼在横截面 B B 上最大压应力之比 08 1 32 15 55 16 1 2 7 25 正方形截面杆一端固定 另一端自由 中间部分开有切槽 杆自由端受有平行于 杆轴线的纵向力 FP 若已知 FP 1 kN 杆各部分尺寸如图中所示 试求 杆内横截面上的 21 习题习题 7 26 图图 最大正应力 并指出其作用位置 解 解 66 105010105 Am2 69 2 10 12 1 10 6 105 y W m3 69 2 10 24 1 10 6 510 z W m3 FNx 1 kN 51051000 3 y M N m 5 2105 21000 3 z MN m z z y y x W M W M A F N max 6 100052 5 10140 MPa 11 50 1224 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点 A 如图所示 7 26 桥墩受力如图所示 试确定下列载荷作用下图示 ABC 截面 A B 两点的正应力 1 在点 1 2 3 处均有40kN的压缩载荷 2 仅在 1 2 两点处各承受40kN的压缩载荷 3 仅在点 1 或点 3 处承受40kN压缩和载荷 解 解 MPa672 1075200 1040 6 3 N A F 22 习题习题 7 27 图图 MPa40 10 6 10075 12501040 9 2 3 W M z 1 在点 1 2 3 处均有40kN的压缩载荷 MPa8 1075200 104033 6 3 N A F BA 2 仅在 1 2 两点处各承受40kN的压缩载荷 MPa315 6 20075 2 125 1080 75200 104022 2 3 3 N W M A F z A MPa74 6 20075 2 125 1080 75200 104022 2 3 3 N W M A F z B 3 仅在点 1 或点 3 处承受40kN压缩和载荷 根据对称性 在点 1 加载与在 3 点加载结果相同 MPa6712 6 20075 1251040 75200 1040 2 33 N W M A F z A MPa337 6 20075 1251040 75200 1040 2 33 N W M A F z B 7 27 从圆木中锯成的矩形截面梁 受力及尺寸如图所示 试求下列两种情形下 h 与 b 的比值 l 横截面上的最大正应力尽可能小 2 曲率半径尽可能大 解 解 1 横截面上的最大正应力尽可能小时的截面尺寸 6 6 222 bdb M bh M W M zz z z 03 d d d d 2232 bdbbd bb Wz d 3 3 b 2222 3 2 dbdh 2 b h 正应力尽可能小 2 横截面上的最大正应力尽可能小时的截面尺 23 习题习题 7 28 图图 寸 z z z EI M 1 1212 3223 hhdbh Iz 0 d d h Iz 得 22 4 3 dh 2222 4 1 dhdb 3 b h 曲率半径尽可能大 7 28 工字形截面钢梁 已知梁横截面上只承受弯矩一个内力分量 Mz 20 kN m Iz 11 3 106 mm4 其他尺寸示于国图中 试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合 力 解 解 21 2 N ddd A z z A z z Axx Ay I M Ay I M AF yyyy I M z z d088 0d006 0 080 0 07 0 07 0 0 9222 10 7080 2 1 8870 2 1 6 z z I M 7080 4470310 103 11 1020 2229 6 3 14310143 3 kN 2 N z cx M yF 20 0 0699m70mm 2 143 C y 即上半部分布力系合力大小为143 kN 压力 作用位置离中心轴y 70mm处 即位 于腹板与翼缘交界处 24 习题习题 7 29 图图 7 29 矩形截面悬臂梁受力如图所示 其中力 FP的作用线通过截面形心 试 1 已知FP b h l和 求图中虚线所示截面上点a处的正应力 2 求使点a处正应力为零时的角度 值 解 解 1 指定截面上a点处的正应力 sin Pl FM y 6 2 hb Wy cos Pl FMz 6 2 bh Wz sincos 6 22 P hb hb lF W M W M y y z z a 2 求使a点处正应力为零时的角度 值 令 0 a 则 h b tan h b 1 tan 7 30 根据杆件横截面正应力分析过程 中性轴在什么情形下才会通过截面形心 关于 这一问题有以下四种答案 请分析哪一种是正确的 A My 0或Mz 0 FNx 0 B My Mz 0 FNx 0 C My 0 Mz 0 FNx 0 D My 0或Mz 0 FNx 0 解 解 只要轴力 0 N x F 则截面形心处其拉压正应力一定不为零 而其弯曲正应力一定 为零 二者叠加的结果 其合正应力一定不为零 所以其中性轴一定不通过截面形心 所以 正确答案是 D 7 31 关于斜弯曲的主