第一课时平面的概念及三个公理.ppt

第九章直线 平面 简单几何体 本章内容分空间直线与平面 简单几何体两大部分 所有这些内容的总和我们称之为立体几何 它是研究空间几何要素 点 线 面 间的位置关系的一门数学学科 空间直线与平面这部分是立体几何的基础知识 同时也是我们研究简单几何体的理论基础 简单几何体是空间直线与平面关系的巩固和发展 两者构成一个完整的立体几何知识体系 在空间直线与平面中 我们主要研究空间的直线与直线 直线与平面 平面与平面之间的平行 垂直 所成角以及距离等位置关系的证明与计算 这是整个立体几何的核心内容 也是高考中的热点问题 能否学习好立体几何 就看这部分内容能否学深 学透 在传统方法的基础上又增加了空间向量 建立空间直角坐标系来证明垂直 求空间角度 求距离 在简单几何体中 我们将研究几种最基本 最常见的几何体 棱柱 棱锥 多面体 球 这些知识的学习是空间直线和平面知识的进一步探讨和综合运用 简单几何体也是我们学习立体几何的目的之一 用立体几何中点 线 面的位置关系研究简单几何体的分类 性质等 能够使研究的思路更清晰 手段更灵活 学习本章内容时 要特别注意提高空间想象能力 使自己的画图 识图 解释图的水平不断地得到提高 要注意提高运用图形 文字 符号这三种数学语言的能力 并能够相互转化 要适时地联系平面几何知识 采用联想 对比 引申等方法认识平面几何与立体几何知识的区别和联系 并逐步培养将空间问题转化为平面问题的能力 要学会正确使用所学概念和定理 公式及运用转化的思想方法进行合理地论证和计算 9 1平面的基本性质 第一课时平面的概念及三个公理 课前自主学习 课标研读1 了解平面的概念及画法 了解平面的表示方法 图形表示和字母表示 理解平面的基本性质 掌握文字语言和图形语言 2 重点是平面的性质 难点是三个公理的应用 温故夯基1 三角形 平行四边形 梯形都是 图形 2 在平面上 两点可以确定 3 直线向两端无限 4 在平面上 四边相等的四边形为 平面 一条直线 延伸 菱形 知新益能1 平面的概念 1 平面和 一样是构成空间图形的基本要素之一 是一个只描述而不定义的原始概念 2 平面具有 数学里所说的 平面 将空间分成了两部分 如果想从平面的一侧到另一侧 必须穿过这个平面 平面无边沿 3 数学中的平面是 的集合 因此 在空间中 平面无大小 无厚薄 无所谓面积 点 直线 无限延展性 点 2 在立体几何中 常把点看作元素 直线和平面看作点集 A a 用数学语言表述为 A a 用数学语言表述为 a 用数学语言表述为 直线a在平面 内 a b A 用数学语言表述为 直线a和b相交于点A 3 判定直线在平面内的依据公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 点A在直线a上 点A在直线a外 两点 4 判定两平面有交线及交线位置的依据公理2 如果两个平面有 公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是 5 确定平面的条件公理3 经过不在同一条直线上的三点 一个平面 一个 一条直线 有且只有 6 公理1的作用是判定直线在平面内的依据 公理2的作用是判定两个平面相交和确定两平面的交线及证明点在直线上的依据 公理3的作用是确定平面 及判断两个平面重合的依据 是证点 线共面及作截面 辅助平面的依据 同时也是把空间问题化归成平面问题的重要依据 问题探究1 这里的 平面 就是初中 平面几何 中的 平面 涵义吗 提示 初中的 平面几何 中所研究的问题都是在平面上进行的 实质就是空间几何体中所确定的 平面 2 怎样理解公理3中的 有且只有一个平面 提示 有且只有一个平面 包含两层意思 有 说明平面是存在的 只有一个 说明平面是唯一的 课堂互动讲练 平面是一个不加定义 只需理解的原始概念 立体几何里所说的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的 常见的桌面 黑板面 平静的水面等都给我们以平面的局部形象 平面像初中所学的直线一样具有无限延展性 它是理想的 绝对的平且无大小 无厚薄 不可度量 它与平面图形的区别在于 平面图形如三角形 正方形 梯形 圆形等有大小 长短之分 可以度量 下列的说法中正确的一个是 A 平面就是平行四边形B 任何一个平面图形都是一个平面C 平静的太平洋面就是一个平面D 圆和平面多边形都可以表示平面 思路点拨 利用平面的基本特征以及平面与平面图形的区别进行判断 解析 A B选项都不正确 平面是无限延展 没有边界的 而平行四边形和所有的平面图形都是有边界的 当我们画平面时 只能画出它的一部分 因为习惯上用平行四边形来表示平面 C选项也不正确 一是太平洋洋面不可能平静 二是太平洋再大也会有边际 加之地球为椭球状 因此平静的太平洋无论如何都不可能是绝对平的 D选项正确 在需要时 除用平行四边形表示平面外 还能用三角形 圆等来表示平面 答案 D 名师点评 平面与平面图形是两个既有联系又有区别的易混概念 在本节课的学习中 务须突破这一难点 突破难点的关键之一是准确把握平面的基本特征 平面没有厚度 绝对平展 且无边界 是一种理想的图形 关键之二是掌握课本的约定 用平面图形来表示平面 画出的只能是平面的一部分 一个无限延展的平面不可能在纸上表示出来 通常用平面的一部分表示平面 例如 常用平行四边形来表示平面 不过要把它想象成无限延展的 当平面是水平放置时 通常把平行四边形的锐角画成45 横边画成邻边的2倍长 当平面是竖直斜对我们时 通常把表示平面的平行四边形的一组对边画成竖直的 当平面竖直正对我们时 则将平行四边形画成矩形 在下列表示的两个相交平面中 画法正确的是 思路点拨 根据画相交平面的方法判定 关键是虚实线的画法 解析 A中没有画出两平面的交线 另外被遮住的部分也没有画成虚线 因此A的画法不正确 B中因为被平面 遮住的部分画成了实线 所以B的画法不正确 C中两个平面的公共点组成一条公共直线 画图时应画出两平面的交线 且虚线不正确 故C不正确 D项符合画图规则 故选D 答案 D 名师点评 画好两个相交平面的图形 是画好一切立体几何图形的基础 在立体几何中 凡被平面遮住的线 都画成虚线 1 公理1反映了直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 也可称为平面经过该直线 是判定直线是否在平面内的重要依据 2 公理2反映了平面与平面之间的位置关系 是判定两个平面相交 证明点共线 线共点的重要依据 3 公理3是确定平面的重要依据 条件中的 三点 是条件的主干 不在同一直线上 是一附加条件 二者不可忽视 否则结论就不成立 如图 ABC中 若AB BC在平面 内 判断AC是否在平面 内 解 AB在平面 内 点A在平面 内 又 BC在平面 内 点C在平面 内 点A C都在平面 内 直线AC在平面 内 思维总结 要判断直线是否在平面内 关键是判断直线上的两点是否在平面内 1 本例条件不变 证明 ABC的三条边在同一个平面内 证明 A B C三点是三角形的三个顶点 A B C三点不在同一条直线上 由公理3 A B C可确定一平面 点A在平面 内 点B在平面 内 由公理1可知线段AB在平面 内同理线段BC 线段CA也都在平面 内 ABC的三条边都在同一个平面内 三个平面两两相交得三条交线 如果其中有两条相交于一点 那么第三条也经过这个点 已知 如图 平面 且 a b c a b A 求证 A c 思路点拨 要证明某一点在直线上 只需证明这个点是确定这条直线的两个相交平面的公共点 证明 a b A A a A b 又 a b a b A A A在 与 的交线c上 即A c 名师点评 本题给出了证明三线共点的一般方法 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线也经过这点 这样把问题化归到证明点在直线上的问题了 已知 如图 EF GH P E AB F AD G BC H CD 求证 B D P三点共线 证明 A AB D BD AD 平面ABD 公理1 E AB F AD EF 平面ABD 公理1 EF GH P P 平面ABD 同理 P 平面BCD 由公理2可知 点P在平面ABD与平面BCD的交线上 BD 平面ABD BD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD P BD 即B D P三点共线 思维误区警示 1 画相交平面时要画好交线 被平面遮住的部分画成虚线或不画 容易出现的错误是实线 虚线画得不妥当 画出两个相交平面 错解 如图 错因 画直观图要注意实 虚线 它是正确表示空间位置关系的关键 图 1 中应画出平面 的交线 2 中 的交线应为实线 3 中被平面 挡着的部分应画成虚线 自我挑战 如图 已知A B C D E五点 A B C D共面 B C D E共面 则A B C D E五点一定共面吗 2 本节易错的地方 解题时推理不严格 论证不严密 根据不充分 而凭空想当然 错解 A B C D E一定共面 A B C D共面 点A在点B C D所确定的平面内 点B C D E共面 点E也在B C D所确定的平面内 点A E都在点B C D所确定的平面内 即点A B C D E一定共面 错因 共面问题的证明 常分两步 1 确定平面 2 证明元素在确定的平面内 此题必须注意到平面是确定的 上述错解中 由于没有注意到B C D三点不一定确定平面 即默认了B C D三点一定不共线 因而出错 自我挑战 A B C D E五点不一定共面 1 当B C D三点不共线时 由公理3可知B C D三点确定一个平面 由题设知A E 故A B C D E五点共面于 2 当B C D三点共线时 设共线于l 若A l E l 则A B C D E五点共面 若A E有且只有一点在l上 则A B C D E五点共面 若A E都不在l上 则A B C D E五点可能不共面 综上所述 在题设条件下 A B C D E五点不一定共面 规律方法总结 1 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系 公理1的条件是 线上两点在平面内 是公理的必要条件 结论是 线上所有点都在平面内 从集合的角度看 这个公理就是说 如果一条直线 点集 中有两个元素 点 属于一个平面 点集 那么这条直线就是这个平面的真子集 2 公理2的内容反映了平面与平面的位置关系 公理2的条件简言之是 两面共一点 结论是 两面共一线 且过这一点 线唯一 对于本公理应强调对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相交的位置关系 交集是一条直线 3 公理3的条件是 过不在同一直线上的三点 结论是 有且只有一个平面 条件中的 三点 是条件的骨干 不会被忽视 但 不在同一直线上 这一附加条件则易被遗忘 如舍之 结论就不成立了 因此绝对不能遗忘 同时还应认识到经过一点 两点或在同一直线上的三点可有无数个平面 过不在同一直线上的四点 不一定有平面 因此要充分重视 不在同一直线上的三点 这一条件的重要性 随堂即时巩固 1 2010年黄冈中学模拟 点P在直线a上 直线a在平面 内 则可记为 A P a B P a C P a D P a 答案 B 2 空间四点中 如果任意三点都不共线 那么经过其中三点的平面个数为 A 必定有4个B 4个或1个C 3个或1个D 1个或3个