毕业设计（论文）-矩阵逆的等价定义.doc

矩阵逆的等价定义摘 要：本文给出了两种矩阵逆及伴随矩阵的定义及性质，然后通过伴随矩阵的性质讨论定义2的合理性；证明了矩阵方程何时有解，何时有唯一解，何时无解的条件，同时类比最简单的代数方程“”，分析代数方程“”的求解过程，从而给出了逆矩阵和线性方程间的联系及逆矩阵的运算规律，特别对循环矩阵和对称矩阵逆的求解，为此类问题的解决提供简单，实用，统一的方法，对高等代数的学习有很好的借鉴作用。关键词： 伴随矩阵；长方阵；循环矩阵；对称矩阵；逆引 言：矩阵求逆是线性规划以及控制理论中的关键,然而许多矩阵的逆的求法具有一定的难度。本文研究了矩阵的逆的第二定义及两种特殊矩阵逆的求法，并从中找出了一些初步的、具有应用价值的规律。一、可逆矩阵的定义：众所周知，n阶方阵的逆通常采用以下定义。定义1：设为阶方阵，若有阶方阵，使则称为可逆矩阵，而为的逆矩阵，记作。 上述定义中，用了两个矩阵方程，其中为n阶未知方阵。容易产生的问题是：能否只用一个方程，例如, 来定义方阵的逆？答案是肯定的。下面给出方阵的另一种定义。定义2：设是一个n阶方阵, 如果存在一个n阶方阵，使得，则称为可逆矩阵，而称为的逆。为区别起见，在定义2下的逆记作。给出矩阵逆的定义后，自然应讨论定义的合理性。这就需要讨论：可逆方阵的存在性。即的确有可逆方阵存在，否则任一方阵都不可逆，那么定义就无意义。可逆方阵逆的唯一性。如果一个方阵的逆不唯一，那么在使用上就会造成困难。首先给出伴随矩阵的定义及性质。1伴随矩阵定义： 设，是元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵性质： 设矩阵是一个阶方阵，是它的伴随矩阵，则。证明：设，则计算得：当i =j i , j=1,2,n。当ij于是。同理可得。下面即讨论定义2的合理性。命题1：阶方阵在定义2意义下可逆的充要条件是的行列式不为零。证明 必要性。设在定义2意义下可逆，则存在有阶方阵，使得，两边取行列式，即=1,因此0。 充分性：设0，记的伴随方阵为，取 ，则 。因此在定义2意义下可逆。命题2：如果在定义2意义下可逆，则的逆是唯一的。证明 如果在定义2意义下可逆，且有阶方阵和，使得 ， 。则。由命题1知，0，取，为的伴随矩阵，则 。故，命题2得证。由命题2和命题1的充分性的证明立即可得：命题3 如果是定义2意义下可逆的，则。命题1和命题2保证了定义2的合理性。现在来讨论定义1和定义2的等价性。我们有：定理1 定义1和定义2等价。证明 设阶方阵在定义1意义下可逆，则有阶方阵，使得 ，显然有，故在定义2下可逆。 反之，设在定义2意义下可逆，则有，使得。显然： 故适合。这表明在定义1意义下也可逆。 其次，在定义1意义下的逆，由命题3，在定义2意义下的逆，从而，证毕。2长方阵由上面可以看出，定义阶方阵的逆，应讨论方程的解。这里是个未知数构成的阶方阵。如果对于给定的，方程有解，且解唯一，那么即称为可逆，而方程的解，亦称为的逆。现在转到长方阵的情形，我们期望把方阵逆的概念推广到长方阵，这自然要想到矩阵方程。首先应弄清楚，当是矩阵，是矩阵，为阶单位方阵时，方程何时有解，何时有唯一解？对此，有定理2 设为矩阵，是未知矩阵，为阶单位方阵，矩阵方程 （1）有解的充要条件是，这里表示矩阵的秩。 证明 必要性。用反证法。设方程有解，而=rn，故有阶可逆方阵和阶可逆方阵，使得，代入得 。因是的解，故。记，这里为矩阵，为矩阵，为矩阵，由此即得，其中0为的零矩阵，这就导出矛盾。充分性。设，则有阶可逆方阵和阶可逆方阵，代入（1），其中表示阶单位方阵，则方程（1）化为同解方程 ，记，其中为矩阵，为矩阵。由上式即得，因此，故，此即为方程（1）的解。定理2获证。由定理2立即可得：推论1 设为矩阵，当nm时，方程（1）无解。证明 因。由定理2即得此推论。推论2 设为矩阵，且方程（1）有解，则其解依赖个独立参数。证明 由定理2充分性的证明，方程（1）的解为，其中是任意的矩阵。推论3 当为方阵，且方程（1）有解，则其解唯一。证明 此为推论2之特例。以上可以看出，矩阵方程，当为方阵，且解存在时其解才唯一。因此，从方程（1）的解出发，要把方阵推广到长方阵是不可能的。二、例题例1单位矩阵是可逆矩阵，且。例2零矩阵不是可逆矩阵，因为对任意矩阵，有。例3 设， 问是否可逆，若可逆，求。解：由， 故可逆，且。 例4 设，求。解：由，故可逆，且。一般地，可逆。例5，求。 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。例6 设，是阶单位矩阵，且矩阵。问是否可逆，若可逆求。解：由于，所以。例7 设方阵满足方程，证明：，都可逆，并求它们的逆矩阵。证明：由得，即：，故可逆，且，再由得，即： ，故可逆，且。例8 证明：若，是一个正整数，则可逆且：。证明：由，则，从而可逆且。三、矩阵逆和方程解间的联系上面讨论了矩阵的加法、数乘和乘法三种运算及它们的实际背景下面从线性方程组的求解问题引进逆矩阵的概念设给定线性方程组根据矩阵的乘法，以上线性方程组可表示成矩阵形式，其中 , , 给定线性方程组还可写成增广矩阵形式矩阵方程在形式上与最简单的代数方程非常类似，分析代数方程的求解过程，对于求解矩阵方程会有启发当时，存在着的倒数以乘方程的两端，由于，所以得到方程的解如果对阶方阵也定义它的逆方阵，使之满足，那么，用乘矩阵方程的两端就得到方程的解例9 。解：。例10矩阵，使得。解：由于，故：。例11，求。解：由，得，又，可逆，且，。四、逆矩阵的运算规律1） 可逆可逆，且。2） 可逆，可逆，且。3） 、为阶可逆方阵可逆，且。推广：若阶方阵都可逆，则也可逆，且：。4） 可逆可逆，且。5） 可逆可逆，且。6） 可逆可逆，且。（注：当时，定义，则，）注意：、可逆，未必可逆，即使可逆。）例12证明：若，则证明：当时，当时，若，则可逆由，有，即，矛盾，五、两类特殊矩阵的逆1 预备知识（1）设阶矩阵 则 且都可逆，它们的逆矩阵满足。（2）设阶初等矩阵 则可逆，且。2 循环矩阵的逆数域上的阶矩阵 称为循环矩阵，且满足（1）可逆的循环矩阵的逆矩阵仍然是循环矩阵。证明 只需证明存在阶循环矩阵满足即可。令则 这是一个关于的线性方程组，因为系数行列式，故方程组有解，且解是唯一的。因此结论正确。（2）设A是可逆的循环矩阵，则也是循环的可逆矩阵，且。同理，也是循环的可逆矩阵，且证明 只证第一个命题。因为，所以 ，由，得也是的一个线性组合，从而为循环矩阵。又，因此可逆，且，故结论正确。例13 求循环矩阵 的逆矩阵。解 因为 故可设，从而于是得 解得： ， ， ， 。所以 又 ，所以 3对称矩阵的逆 数域上的阶矩阵称为对称矩阵，且满足。 （1）可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。 证明 因为是可逆的对称矩阵，所以，于是，所以，所以是对称矩阵。 （2） 设是可逆的对称矩阵，则也是对称的可逆矩阵，且。同理，是一个初等矩阵，则也是对称的可逆矩阵，且。 证明 只证第一个命题。因为是可逆的对称矩阵，所以，又因为，所以，且。故结论正确。 例14 求 ，的逆矩阵？ 解 所以 又， 所以 结束语：综上所述，本文对矩阵求逆，矩阵方程何时有解，何时有唯一解，何时无解的条件及逆矩阵和线性方程间的联系和运算规律作了一些有益的探讨，在逆矩阵学习中会有一定的帮助。特别对两种特殊矩阵（循环矩阵和对称矩阵）求逆的方法，以达到简便，快速求解的目的，它不仅丰富了矩阵逆理论的内容，而且方便了矩阵在运算学，控制论以及工程等其它领域中的应用。参考文献1.蒋尔雄，高坤敏，吴景锟 线性代数 北京：人民教育出版社，1978.8.P463479。2.张禾瑞，高等代数M，北京：高等教育出版社，1979。3.北京大学数学力学系，高等代数M，北京：高等教育出版社，1988。4.刘玉森，高等代数应试训练M，北京：地质出版社，1995。5.钱伟长，应用数学M，合肥：安徽科学技术出版社，1990。6.李世栋，工程数学与数学软件M，北京：科学出版社，2000。7钱吉林，高等代数题解精粹M，崇文书局，19998扬子婿，高等代数习题解M，山东科学技术出版社，20019赵礼峰，高等代数解题法M，安徽大学出版社，200310北大数学系，高等代数M，高等教育出版社，1988The equivalent definition matrix inverseHou Zhenling Chaohu College 06024089Abstract: The thesis shows two kind of definitions of the reversible matrix and the definition and quality of the accompanying matrix, then the author proves the rationality of the second definition of the reversible matrix by using the quality of the accompanying matrix ;So further finds conditions respectively in which the equation has more than one solutions, only one solution and no solution, meanwhile ,by analysing the solution-seeking process of the simplest equationax=b, the author proposes the relationship between the reversible matrix and the linear equation ,he also gives the algorithm of the reversible matrix. All this provides simple ,pragmatic and uniform methods for the solution-seeking