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硕士论文 平行平板干涉测量技术研究 摘要 平行平板的测量在光学检测和光学加工中有很重要的应用，但是在平行平板的测 量中，由于三表面干涉的干涉条纹重叠，运用传统的移相干涉术测量存在很大误差。 因而本课题的研究对于平行平板的面形及平行度测量有重要意义。文章研究了波长移 相干涉测量的原理，从时域和空域两方面研究了傅立叶变换求解平行平板面形、平行 度等参数的方法。搭建了波长调谐干涉仪测量平行平板的实验系统，采集了波长移相 多幅干涉图。编写程序对干涉图进行时域和空域傅立叶变换得到干涉相位，通过计算 后得到平行平板的参数。两种方法的测试结果与常用的抑制平行平板后表面反射测试 方法进行比较，结果显示两种算法均可用于测量平行平板。 关键词：平行平板，波长移相，傅立叶变换 a b s t r a c t t h em e t r o l o g yo fp a r a l l e lp l a t e si nt h eo p t i c a lf a b r i c a t i o na n dt e s ti sv e r yi m p o r t a n t w h i l eu s i n gt h et r a d i t i o n a lp h a s es h i f t i n gi n t e r f e r o m e t r y ，i tc a u s e sl a r g ee l t o r sb e c a u s eo f t h es u p e r p o s i f i o no ft h r e ei n t e r f e r o g r a m sg e n e r a t e df r o mt h r e ei s o l a t e ds u r f a c e s i nt h e m e a s u r e m e n tp r o c e s s t h u st h es u b j e c to ft h i s a r t i c l ei sw i t hg r e a ti m p o r t a n c et ot h e m e a s u r e i n e n to fo p t i c a le l e m e n tl i k ep a r a l l e lp l a t e t h i sa r t i c l es t u d i e st h ep r i n c i p l eo f w a v e l e n g t ht u n i n gp h a s e s h i f t i n gi n t e r f e r o m e t r y ，a n da l s os t u d i e st h em e t h o do fc a l c u l a t e t h ef l a t n e s so fp a r a l l e lp l a t e ss u r f a c e s ，p a r a l l e ld e g r e ea n do t h e rp a r a m e t e r st h r o u g hb o t h t h et i m ea n ds p a t i a lf o u r i e rt r a n s f o r m w a v e l e n g t ht u n i n gi n t e r f e r o m e t e yt e s ts y s t e mo f t h ep a r a l l e lp l a t e sh a sb e e ne s t a b l i s h e d ，a n ds e v e r a li n t e r f e r o g r a m sh a v eb e e nc o l l e c t e d u s i n gt h ep h a s es h i f to fw a v e l e n g t ht u n i n g b o t ht h et i m ea n ds p a t i a lf o u r i e rt r a n s f o r m h a v eb e e nu s e du p o nt h eo b t a i n e di n t e r f e r o g r a m s f i n a l l y ，s e v e r a lp a r a m e t e r so fp a r a l l e l p l a t eh a v eb e e nf i g u r e do u t t h er e s u l ti sa l s oc o m p a r e d w i t ht h en o r m a lt e s tm e t h o dw h i c h h a st os u p p r e s st h er e f l e c t i o no fp a r a l l e lp l a t e sb a c ks u r f a c e t h ec o m p a r i s o n r e s u l ts h o w s t h ec a l c u l a t i o na l g o r i t h mu s e di nt h i sa r t i c l ec a nb ea p p l i e di nt h em e t r o l o g yo fp a r a l l e l p l a t e k e y w o r d s ：p a r a l l e lp l a t e s ，w a v e l e n g t hp h a s e s h i f t i n g ，f o u r i e rt r a n s f o r m 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 丛垄痘力彩年月寥日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：坳 潲年专只厉b 硕士论文平行平板干涉测量技术研究 1 绪论 1 1 课题的研究背景及意义 光干涉测试技术以光的波长为计量单位，具有很高的测量精度，是公认的检验光 学系统光学元件参数的最有效、最准确的手段之一，因而广泛地应用在各种物理量的 测量中。在光学测量中，干涉图反映了被测光学系统的波像差或被测光学零件表面的 面形误差，传统的干涉测量方法都是通过目视或照相的方法直接判读干涉条纹或其序 号来测量被测面形，工作量大，而且不可避免地受到人为因素的影响，丢失信息较多， 其不确定度只能做到2 , 1 0 一五2 0 。 现代移相干涉术是基于光电探测、图象处理、计算机技术而发展起来的。移相干 涉术的基本原理是在干涉仪的两相干光之间引入有序的位移，当参考光强( 或相位) 发 生变化的时候，干涉条纹的位置也作相应的移动。在此过程中，用光电探测器对干涉 图进行多幅阵列网格的采样，对光强进行数字化处理后将其存储在帧存储器里，由计 算机按照一定的数学模型根据光强的变化求出相位的分布。新原理、新器件的应用， 使得干涉技术有了快速的发展，移相、外差、锁相等干涉技术的使用实现了干涉仪自 动测试，而压电晶体、声光晶体、电光晶体等器件则提供了硬件基础。现代移相干 涉术采用精密的移相器件，综合应用激光、电子和计算机技术，控制参考光波的相位， 连续采集若干帧相移相等的干涉图，对随机噪声有很强的意志能力，由移相算法得到 被测波面的相位分布，其测量的不确定度不高于五5 0 ，被广泛地应用于光学元件面 形和光学系统成像质量的评价。 然而用相移干涉技术测量透射平行平板时，由于前、后面都反射将产生三表面干 涉，若用传统的相移算法( p s i ) 计算三表面干涉条纹时将产生很大的误差。而目前 常用的方法主要是抑制透射平行平板后表面的反射，如在平板后表面涂折射率匹配的 消光漆或凡士林，基于光栅的干涉测量法等。而且以p z t 为代表的硬件移相技术， 在移相过程中，不可避免地会产生机械应力的变化，引入误差，为实际的测量带来不 可估量的后果。而波长移相技术可以克服上述缺点。 在波长移相干涉仪中，激光器既作为光源，其波长又可以连续改变，起到移相器 的作用，不再需要推动硬件实现移相，大大简化了干涉仪的机械结构。并且在测量中， 系统的机械部分保持不动，消除了由于硬件移动而引起的误差，进一步提高了测量精 度。同时，波长调谐移相干涉仪光学结构也较为简化，通过改变激光的输出波长来实 现干涉信号的移相，在国外，美国z y g o 公司推出了大孔径的v e r i f i r e 册r 波长 移相干涉仪【2 】，用于平行平板的光学检测，对一般光学表面误差的测量，短期内的测 量重复误差可达到o 3 舯p j 。 1 绪论硕上论文 相比于传统的硬件移相技术测透射平板，波长移相干涉测量有其独特的优点，因 此，开展波长移相干涉测平行平板的研究很有必要。本课题将在课题组多年从事移相 干涉术研究的基础上，跟踪国际上此方面的最新进展，深入研究波长移相干涉测量平 板的技术。力求在理论与实验方面取得探索性、创新性、实用性的研究，作为一种技 术储备，对今后波长移相测量技术研究也是颇具意义的。 1 2 项目来源 本课题属于移相干涉技术研究领域，是国防科工委重点项目：“大口径干涉测量 技术研究”的延伸项目。该项目要求在计量专业领域开展高新技术应用研究和工程化 测量技术或测量理论方面的前瞻性、探索性、创新性研究，以适应国防计量测试和光 学制造工业的发展需求。 1 3 本论文的主要研究工作 本论文通过分析波长移相干涉技术的测量原理，分析了波长移相的相关算法，完 成了适用测量平行平板算法的编译，另外还介绍了一种单幅干涉条纹空域傅立叶算 法，结合本课题的特点，主要研究工作概括如下： ( 1 ) 分析研究国内外相关资料，详细探讨了平行平板测量技术的基本原理，比较 了常见的算法。 ( 2 ) 以美国n e wf o c u s 公司生产的v o r t e x 可调谐半导体激光器为研究对象， 介绍波长移相干涉测量平行平板的原理以及算法实现； ( 3 ) 详细介绍了单幅干涉条纹空域傅立叶算法测量平板的原理。 ( 3 ) 提出可行的软硬件实现方案，致力于寻求一种能有效减小误差以求在硬件实 现和算法上保证测量精度的方法； ( 4 ) 搭建实验测试平台，对实际干涉图进行测量。 2 硕士论文 平行平板干涉测量技术研究 2 波长移相干涉测量原理 波长移相干涉技术通过改变激光的输出波长来实现干涉信号的移相。其光源一般 采用可调谐半导体激光器。在移相过程中不需要移动任何的部件。因此波长移相方式 具有以下优点【4 】： ( 1 ) 装置结构简单，可以消除由硬件移相引入的误差，响应速度快，在大尺寸干 涉仪中具有很好的应用性； ( 2 ) 在波长移相算法中可以消除寄生条纹对测量的影响，从而实现多表面轮廓的 分离测量。 2 1 波长移相基本原理 波长移相的基本测量装置如图2 1 所示。 设参考面与被测表面之间的距离为h ( x ，y ) ，即为干涉腔长。不考虑折射率n 的影 响时，参考面与被测面之间的相位差可以表示为【5 - 7 】： ：办一九：2 h 车：_ 4 n h ( 2 1 ) 若波长可调谐半导体激光器起始输出波长为厶，旯是波长移相的步进距离， 以= 厶+ k a 2 表示第k 次激光波长改变后的波长值，则第k 个采样干涉信号的相位表 示为： 丸( x ，j ，) ：4 r _ t h ( - x , 一y ) ( 2 2 ) 假设背景光强为i o ( x ，y ) ，y o ( x ，y ) 为调制度，则干涉信号光强表示为： 以圳吲圳1 + y 0 ( x , y ) c o s 掣 ) 亿3 ， 2 波长移相干涉测量原理 参考镜被测件 图2 1 波长移相干涉仪示意图 硕士论文 将以= 厶+ 尬旯代入( 2 2 ) 式，对相位表达式进一步变化，得到： 蝴，2 耥半一半拓m 亿4 ， 式中 吣加一半出m 是由波长变化所弓i 入的附加相位移删8 9 】， 则所求的被测相位为： 4 九( x ，y ) ：4 r t _ h ( 一x , y ) ( 2 5 ) 将( 2 5 ) 式代入公式( 2 3 ) 可得： 张圳叫训，h 胁 掣一t 4 n h ( x , y ) 办五 亿6 ， = i o ( x ，y ) 1 + 厂o ( x ，y ) c o s 矽o ( x ，y ) + 9 女( x ，y ) b 再将( 2 6 ) 式代入移相干涉技术的基本方程 矽( x ，y ) = 2 k w ( x ，j ，) = t a n 。1 可以写出相应波长移相的基本方程： 丸( z ，j ，) = t a n 一 号秘彤枷m 铒 吾秘川伽础h 罢喜j c x , y ；o i 脚 詈喜，c x , y ；0 i 细s 纪 ( 2 7 ) 其中，n 为一个周期内对干涉场点采样次数。从公式可以看出，通过改变光源的 硕士论文 平行平板干涉测量技术研究 波长值，可以改变干涉信号光强值，从而计算得到被测波面相位，因而通过波长调谐 实现了移相。 移相干涉术的基本原理是在干涉仪中两相干光束之间相位差引入等间隔阶梯式 位移，通过多幅采样，抑制噪声影响。并且随着采样干涉图幅数的增加，噪声的影响 将减小。因此，移相干涉术的算法也正是基于这一理论，例如三步移相法、四步移相 法、四步平均法、以及重叠四步平均法等等。由前面章节分析可知，影响移相干涉术 精度的主要误差源是p z t 相位位移误差。为了减小p z t 位移误差，定义移相算法的 采样间隔为n 2 ，在一个周期内进行，三次、四次、五次等的多次采样，得到对应的 干涉光强，通过移相算法计算出被测相位，实际证明大大地减小了p z t 位移误差的 影响。 将波长调谐的原理应用到这些算法中去，从而可以实现波长调谐的移相干涉测 量。以移相算法为基础，同样定义波长移相算法的采样间隔为r r 2 ，即由波长变化所 引入的附加相位移相值为： 伊女( 工，j ，) ：一4 r t h i ( 1 x 一, y ) k 五：k i 7 1 ( 2 8 ) 二 即有： 一4 n h l ( x , 一y ) a 2 ：三 ( 2 9 ) 厶 2 显然，确定万2 的采样间隔，在一个周期或多个周期内采样多幅干涉图，就可以 在三步移相法、四步移相法以及重叠平均法基础上应用波长移相。 2 2 相移算法 相移算法分为定步长移相和等步长移相，传统的硬件移相都为定步长，而波长移 相则为等步长。 2 2 1 定步长算法 ( 1 ) 三步移相法和四步移相法 四步移相算法是移相干涉术中最基本的方法。通过加电推动压电陶瓷堆，以1 4 周期为间隔作等间隔采样，参考波面的相位在0 到2 石内逐次变化n - 2 ，一个周期内 采样n = 4 次，对应得到四步的干涉光强分布。 同理，在波长移相过程中，对应初始的输出波长九以及干涉腔长h ( x ，y ) ，确定 波长移相的步进距离兄，使得移相采样间隔满足( 2 9 ) 式的条件，得到对应的光想信 号分布： 2 波长移相干涉测量原理 ，l ( x ，y ) ，2 ( x ，y ) j 3 ( x ，y ) 4 ( x ，y ) “w ， i + y o ( x , y ) c o s 半 ) 硕士论文 ( 2 1 0 ) 则可求得干涉场中的被测波面的相位矽( x ，y ) 为： ( x ，少) = t a n 、1 ，4 l ( ( x x ，, y y ) ) 一- ，1 3 2 ( ( z x ，, y y ) ) 。 ( 2 11 ) 这就是波长移相四步法的相位计算公式。同理，可以推导出波长移相三步法的相 位计算公式。 由干涉场光强分布函数公式- 7 p a 看出，测量任意点( 石，y ) 处的位相矽( x ，y ) ，实际 只含有三个未知数。所以只要建立三个方程就可以求解矽( x ，y ) 。为了使最终表达式简 单起见，根据三步法的原理，在参考波面的相移仇中先引入一个常量n 4 ，通过波 长变化很容易就可以实现，并且不影响最后测量结果。于是有： 玳训) ：1 + y oc o s 掣+ 寻 z o 斗 ( 2 1 2 ) = 1 + t 0 c o s 矽o ( x ，y ) 一s i n # o ( x ，y ) 】l oj1 1 2 ( 训) ：1 + y oc o s 掣+ _ 3 7 ) l o 斗 ( 2 1 3 ) = 1 + 等 一c o s o ( x ，y ) 一s i n 九( x ，少) 1 3 ( 训) ：1 + y oc o s 4 z c h ( x , y ) + 挈 3 , o 珥 ( 2 1 4 ) = 1 + 等卜c o s 痧o ( x , y ) + s i n # o ( x ，少) 】 计算求得相位公式如下： y ) = t a n 而1 2 ( x 万, y - 可1 3 ( 而x , y ) j , ( 2 1 5 ) 传统的移相算法中，干涉场中任意一点处的相位( x ，y ) 可以通过阶梯式改变参考 波面的相位纯时测量该点的对应光强值，波长移相干涉术同样也可以应用这种算法， 并且，相位的等间隔采样是通过波长的步进变化来实现的。利用光电二极管或电荷耦 合器件( c c d ) 面阵接收整个干涉场中各点的光强信号，由计算机就可以求得各采样点 md”门叫j卸埘爿 pl i_l pl厶一九九 硕士论文平行平板干涉测量技术研究 处的相位值矽( z ，y ) ，实现对被测波面的直接相位测量和实时数据处理。 ， 此外，对于含有固定噪声n ( x ，y ) 的干涉场，面阵探测器的灵敏度分布s ( x ，y ) ，波 长移相光强分布计算公式变为： ，t ( x ，y ) ：s ( x ，y ) ，。( x ，y ) l + y o ( x ，y ) c 。s l _ 4 n h ( x , y ) l + ，z ( x ，y ) ( 2 1 6 ) 【l j j 上述算法中都含有减法和除法运算，所以干涉场中的固定噪声和光电探测器增益 变化的影响都将被自动消除，这一点与移相干涉测量技术是一致的。 ( 2 ) 四步平均法 由第二章可知，移相干涉中相位位移误差s ，会引起相位计算误差，波长移相 中也存在这样的情况，不同的是，在移相干涉中相位位移误差是由p z t 引起，而波 长移相则是由波长步进中的波长漂移引起。如果在两次测量中，使得被测相位矽之间 相位差为7 r 2 ，则矽正好相反，经过两次测量的平均，就能大大的减小这种误差的 影响，四步平均法就是基于这一原理产生的。 ( 2 8 ) 式中取吼( x ，y ) = 0 、x 1 2 、万、3 x 2 、2 万，使0 、x 2 、万、3 n - 2 作为 一个测量组合，错一幅干涉图后，7 r 2 、万、3 7 r 2 、2 x 作为第二个测量组合，基于 n = 4 的四步移相法，分别求得被测相位办、矽：，最后把这两个结果进行平均，这样 就大大减小了矽，得到四步平均法公式： 矽：一1la r c t a n 生生+ a r c t 锄尘生i ( 2 1 7 ) 7 2 【-j l 一厶 ，2 一，4j 其中，。( x ，y ) 是包含波长移相信息的干涉光强分布。 ( 3 ) c a r r e 方法和c a r r e 平均法 c a r r e 方法主要适用于消除参考相位位移标定误差。这种方法也可以应用于波长 移相，它要求每次采样参考相位位移等间隔，但不要求间隔大小已知，相位计算公式 为： ：arct觚、匦3(12互-13)塑-(ij,-i匹)|(ij2-13圃)-(1,-i,)j( 2 1 8 ) 7 ( ，2 + ，3 ) 一( ，l + ，4 ) 、。 c a r r e 平均法与四步平均法的原理相同，两次测量错开一幅干涉图，这种方法比 c 黜法有更高的精度。 ( 4 ) 重叠四步平均法 目前应用最为广泛的是重叠四步平均法，它也是基于四步移相算法推演得到，将 此种算法引入到波长移相干涉中去，是具有现实意义的。 对干涉光强作间隔为万2 的2 m + 3 次采样，按照四步移相法计算公式( 2 1 1 ) ，四 个光强场为一个周期计算一个相位值，递进到下一个周期的计算相位增加x 2 。即第 一次由第一至第四幅干涉图计算么( x ，y ) ，第二次由第二至第五幅干涉图计算 画论土 z ( t ，) 依次类推，l 雩_ 过2 m 次渐进重叠计算，可得到2 m 个丸“，) 。再对2 吖次 循环取平均即得到相他。这样通过m 组鲫的f 负抵消减小了误差，并且随着m 的 增加，消际溟差的效果更好。 心心 心心 心心 阁2 2 采集闭鞴为z 2 时的f f 幅干涉删 m = 4 时，就是重叠凹步平均洼算法。如图2 2 所示，记录的是每步移相为z 2 的1 1 幅干涉圈。在实州采螅的干涉图屏幕上，可咀看出干涉条纹平彳亍移动而穿出干 涉区域地界，缚移动步t 相应相位移动z 2 。第一幅和第直1 情的干涉图恰好对应移 相2 z ，条纹又完全恢复。得到参考相位表达式为： p + = 口“t ) 2 + 口( 1 ) 2 ( i = i ，4k = 1 ，2 m )( 21 9 ) 上式中，j 表示渐进重叠计算相位的序数。第一项为四步理想的步进相恃，第二 项表不渐进重叠计算相位时，初始相位的增j j | ：】值。于是得到i 涉场光强信号，表达 式为： ，= ，。( j ，y ) 1 + ，。( ，) c o s 瞄。( ，y ) + 妒h ( ，) b 式中丸表示第女次循环计算的相位值，计算式如下： n 。 虢 则通过2 m 循环平均可得到实际相位分巾i 瓦而： 丽= 击飘w ，= 击c 蒜苗兰筹 22 0 ( 2 2 22 2 b ( 22 2 ) 即币叠叫步平均法应用r 波长移相的计算公，。 波长穆相也具有一些缺点：( i ) 移相值与被删信息h ( x ，) 柏芙。相同的波长改变 量，对于不同点的移扣值不同：( 2 】波k 变化导致移相值的非线性变化。这些特点决 定了波臣移1 _ _ hr 涉算涅、与硬什移圳1 “涉算法晌不同，波长移= n 算法主掣解决 f 线性问 k 硕士论文平行平板干涉测量技术研究 题。 2 2 2 等步长算法 目前，定步长相移算法大致有三种：c a r r e 算法、s c h w i d e r s 算法和s t o i l o v 算法。 ( 1 )c a t r e 算法 设通过四步等步长相移得到的干涉条纹图为： ，f ( 工，y ) = i o ( x ，y ) ( 1 + r ( x ，y ) e o s 簟o ( x ，y ) 一口f 】) ，i = 1 , 2 ，3 ，4 其中j 。【x ，y ) 为背景光强，r ( x ，y ) 为条纹对比度，伊( x ，y ) 为待求位相， 入的相移量，依次为一3 口、一口、口和3 口，相移步长为2 口。为描述简洁， 略去坐标变量( x ，y ) ，c a r r e 早在1 9 6 6 年就得到了计算位相的表达式： t a n z 够：【! ! 生二生! 二! 生二生2 1 ! 1 2 二墨2 ：! 互二生1 3 7 ( ，2 + 厶) 一( ，。+ l ) 2 位相矽所在的象限可利用下面两个恒等式确定： “= ( 1 2 一，3 ) = ( 2 1 0 y s i n a ) s i n o m = 1 2 + 1 3 一i l 1 4 = ( 8 i o y e o s a s i n 20 ) c o s q , 实际实用中，往往先计算位相“主值矽( x ，y ) ： 历：撤。锄迎垒兰掣业掣坠型7 i ( j 2 + ，3 ) 一( j 1 + 4 ) l 缈和妒的关系是 l t a n ( x 一妒) l - t a n g o 若限制 口r o ，三 l 7 2 若( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 平d ( 2 2 8 ) 式，可由伊确定实际位相妒为 口。 u 0 且m 0 u 0 且m 0 “ 0 且m 0 u 0 且m = 0 “= 0 且m 0 “ 0 且m = 0 ( 2 2 3 ) 口，表示引 下文中均 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 9 ，一仍一仍一叩 。 乙 一缈 一 + 卜n，彪吖 一仍 州 一 址q 栊乃训 2 波长移相干涉测量原理硕十论文 上式表示了p 处于第一至第四象限以及位于坐标轴之上的八种情况，伊是被2 万 包络的。 从( 2 2 4 ) 式可看出，c a r r e 算法对相移步长没有限制，( 2 2 9 ) 式是为了能方便地判 断位相所在象限，人为引入的。本节试图在对相移步长没有限制的情况下，仍采用 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 3 0 ) 式进行计算，并期望得到正确的位相分布。 以口在第二象限为例，此时( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 8 ) - - - 式可表示为 “= ( 2 1 0 ys i no r ) s i n 缈= ( 2 1 0 2 s i na ) s i n ( n 一缈) ( 2 2 5 ) m = - ( 8 i 0 2 c o s as i n 2a ) c o s 口o = ( 8 1 0 y c o s c rs i n 2a ) c o s ( n 一妒) ( 2 2 6 ) l t a n ( n 一伊l = t a n 擘o ( 2 2 8 ) 比较式( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 8 ) 与( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 8 ) ，相当于用7 一伊代替了缈。如果 我们仍利用( 2 3 0 ) 式进行位相扩展，我们得到的不是c , o 值，而是7 一p 值。当口在其他 象限时有类似的结果，如表2 1 。 表2 1 口所在象限 位相计算结果 1 妒 27 一矽 3石+ 口 4cp 若已知口所在的象限，则由表1 很容易由得到真是位相妒：即使口所在象限 未知，由于与伊的简单关系，理论上只要给定两个合适的点的实际位相，就可以 由正确确定c , o ，需要注意的是，相移步长不能为1 8 0 0 的整数倍，否贝j j ( 2 2 3 ) 式r 有 两个独立方程，不能解出位相分布。 ( 2 ) s c h w i d e r s 算法 设通过四步等步长相移得到的干涉条纹图为： l ( x ，y ) = i o ( x ，y ) 1 + r ( x ，y ) c o s o ( x ，y ) 一f 】) ， 其中i o ( x ，y ) 为背景光强，r ( x ，y ) 为条纹对比度，伊( x ，y ) 为待求位相， 移步长，则： 厶一，2 + 厶一l = ( c o s a ) x 2 ( 厶一l ) 由此可以得到： l o i = 1 , 2 ，3 ，4 ( 2 3 1 ) 表示相 ( 2 3 2 ) 硕士论文平行平板干涉测量技术研究 下面计算妒( x ，y ) ： c o s a = 锵 ( 2 3 3 ) ( 1 2 - i o ) ( c o s a - 1 ) = 4 厶删n ( r p - a ) s i n s i n 2 会 ( 2 3 4 ) ( 1 1 - i o ) ( c o s 2 a - 1 ) = 4 址s i n ( 缈一会) s i n 舍s 洫2 ( 2 3 5 ) s i n a ( 1 2 一i o ) = 2 1 0 y s i n 2a s i n ( 擘。一) ( 2 3 6 ) s i n 2 叫l “) = 2 i o y s m 2 s i l l ( 驴一i a ) s i n 会 ( 2 3 7 ) 由( 2 3 4 ) - - ( 2 3 5 ) 得 ( 1 2 - i o ) ( c o s a - 1 ) 一( 卜，。) ( c o s 2 a - 1 ) = 4 ，。y s i i l s i n 2 i ac 。s 缈( 2 3 8 ) 由( 2 3 6 ) - - ( 2 3 7 ) 得 s i n a ( z 2 一厶) 一s i n 2 a ( i l i o ) = 4 ，。y s i n s i n 2 会c o s 缈 ( 2 3 9 ) 1 主i ( 2 38 ( 2 3 9 ) 得 t a n 口：( 2 3 4 ) - ( 2 3 5 ) 1 ( 2 3 8 ) - ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 一l o ) ( c o s 一1 ) 一( 1 1 一l o ) ( c o s 2 a 1 ) = = 一 s i n ( ，2 1 0 ) 一s i n 2 a ( i l 一1 0 ) 由( 2 3 3 ) 式我们可以得到相移步长，然后根据( 2 4 0 ) 可以算出妒。 ( 3 ) s t o i l o v 算法【1 0 , 1 1 】 设通过等步长相移得到的干涉图光强分布函数为： ，f ( 工，y ) = l o ( x ，y ) 1 + r ( x ，y ) c o s 缈( x ，y ) 一f ) ，i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ( 2 4 1 ) 式中l ( x ，y ) 为背景光强；r ( x ，y ) 为条纹对比度；p ( x ，y ) 为待求相位，( x ，y ) 表示 位置坐标，下文在不引起误解的情况下将省略( x ，y ) ；a ，为引入的相移量，依次为2 、 、0 、一和一2 ，因此相移步长为。 由( 2 4 1 ) 式可得 2 1 45 ，。y e o s ( 缈一) 一c o s ( 缈+ ) ( 2 4 2 ) = 2 1 0 y s i n q ，s i n a 、7 2 波长移相干涉测量原理硕l _ 论文 2 ，3 一，l 1 5 = l o y 2 c o s ( q a ) 一c o s ( 9 2 ) 一c o s ( 缈+ 2 a ) = 4 1 0 y c o s 伊s i n 2 l 1 5 = i o y e o s ( 矿一2 a ) 一c o s ( 伊+ 2 a ) 】 = 2 1 0 7 s i n q o s i n2 a 由( 2 4 2 ) 式、( 2 4 3 ) 式可得 2 ( 1 2 一i “一t a n c p 2 i l i l i5 s i n a 则 缈= 绷a n 孝老s i n 由( 2 4 2 ) 式、( 2 4 4 ) 式可得 ! ! 二生 ：c o s 2 ( 1 2 1 4 ) 不妨设为小于7 ，则 s i n = 将( 2 4 8 ) 式( 2 4 6 ) 式，有 p = a r c 咖【2 厶一卜- z ( 2 4 9 ) 式就是s t o i l o v 算法的表达式。 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 如果相移步长取定为9 0 0 ，则( 2 4 9 ) 式将演变为定步长的h a r i h a r a n 算法 伊= 删a n 降老 。， 2 3 本章小结 本章较为详细地介绍了波长移相干涉技术的原理与特点，指出了波长移相中一些 关键技术问题，具体分析了波长移相干涉术常见的定步长移相算法和等步长移相算 法。 1 2 硕士论文平行- 甲板干涉测量技术研究 3 时域傅立叶变换测量平行平板方法 对光学表面进行测量时，常常会碰到检测透明平行平板表面有误差的情况，此时， 平板的两个面和干涉系统的参考面之间就会出现多个反射光互相相干，从而在干涉信 号中引入了寄生信号。对于干涉长度较长的激光器来说，即使测量平行度较好的材料， 也会伴随寄生信号的干扰。为了分离多表面干涉信号，除去寄生信号，必须在非测量 面上涂抹凡士林，这样做不仅会带来不便，也会导致测量结果的误差。时域傅立叶变 换算法主要针对这些问题给予解决 1 2 以6 1 。 3 1 系统框架 波长移相测平行平板的系统框架如图3 1 所示。 3 2 测量原理 参考镜被测件 图3 1 波长移相干涉仪示意图 在波长移相干涉仪中，以力为步进间隔改变波长，在时域中会得到一系列干涉 信号，第k 个干涉信号的相位为： 姒训) = 耥半一掣旷1 ) 元( 3 。) = 丸( 石，y ) - 2 n v ( x ，y ) k ( k = 0 , 1 ，2 ，n 一1 ) 式帆础) = 掣五是时域中干涉信号的变化频率。 其测量平行平板的信息示意图如图3 2 所示。 3 时域傅立叶变换测量平行f 板方法硕上论文 参考镜 被测件 图3 2 测量信息示意图 对应图3 2 ，测量中各面反射形成的干涉信号频率可以写成通式： v m2 去m 卜纸? ( 告嘉j i c 3 2 ， 式中，p 、g 是反映双光束路径的整数；甩。为波长厶时的折射率；丁为平板的厚 度；要是折射率随波长的变化率。各干涉信号的频率如表3 1 所示。 表3 1 各测量信号频率信息 可以看出，v ，表示前表面轮廓信息，1 ，。表示厚度信息除了干涉测量的表面面形 信息和平板厚度信息以外，其他寄生信号信息也混杂在里面，因此，要应用信号分析 的理论进行处理，从而分离出有用的信号。通过加入合适的窗函数，抑制寄生信号， 提取出包含轮廓或厚度信息的有用信号。 根据信号分析理论，参数h 和t 之间一般要满足条件， 玎丁n 丁 _ ； 磊 夕 乡 么 一7 _一 - - 一 o 少i之 ； 名 乃 影 - - l 、 一 _ 、 o 图3 3 时域光强信号示意图 干涉图 光强分布表达式写成如下形式： l ( x ，y ；f ) = i o ( x ，y ) 1 + 7 0 ( x ，y ) c o s 2 n f o ( x ，y ) f + 矽( x ，y ；f ) b ( 3 4 ) 对式( 3 4 ) 进行傅立叶变换，即： ，( x ，y ；f ) = a ( x ，y ；f ) + c ( x ，y ；f 一厶( x ，y ) + c ( x ，y ；f + 厶( z ，y ) ( 3 5 ) f o ( x ，y ) 为时域信号变化频率，宰号表示共轭，傅立叶变换频谱如图3 4 所示。 1 7 3 时域傅立叶变换测量甲行平板方法 硕十论文 图3 4 傅立叫变换频谱图 所得的频谱经由滤波窗处理，然后进行傅立叶逆变换，得到解析信号函数，最后 再进行一维解包裹处理，得到相位的分布： 4 1 7 丸( y ) + 丸= 丸( 五y ) = j i ( z ，y ) ( 3 6 ) 九 式中，九是步进量的整数倍。 利用反正切函数at a n 2 计算被测波面的相位分布。反正切运算的主值范围为 _ 万2 ，万2 】，然而，在系统编译运算时，库函数a t a n 2 ( y ，x ) ( 即t a n - 1 ( y x ) ) 分子与 分母是分开的，因此根据x 、y 的符号就可以确定a t a n2 ( r ，x ) 在哪个象限，从而主 值范围扩大到了l 一7 ，+ y r i 。 由于口t a n2 ( y ，) 把整个波面归一化在i 一7 ，+ 万l 区间内，而实际干涉图中所包含的 位相变化大于一个周期2 万，即包含有多个明暗相i b j 的干涉条纹分布，反正切函数 a t a n 2 把波面中大于+ y 的相位数据减去2 万的倍数，小于一万的加上2 万的倍数，据 此计算得到的相位主值分布就会存在一y 到4 - 7 或+ 万到一- 的跃变，得到的是被压包 后的波面，即被测波面的相位主值。反过来找出这些跃变点，根据跃变点和边界点将 整个波面划分成一个个区域，则每个区域对应一个2 万的倍数，这个倍数就是该区域 对应的干涉级次。确定某个区域的干涉级次k 为0 以后，再通过算法确定其它区域相 对于该区域的干涉级次k ( 取正负整数) ，再对各个区域的原始相位数值加上k 2 , r ，消 除了2 万跃变的影响，将获得的相位主值复原为不包含跃变点的连续光滑的相位分布， 得到解包后的波面，这一过程就称为相位解包( u n w r a p p e dp h a s e ) 1 。7 1 。图3 5 即为包裹 相位和解包后的相位示意图。 硕上论文平行平板干涉测量技术研究 ( a ) 解包前 图3 5 解包裹前后相位图 c o ) 解包后 实际测量的过程中，干涉图中还会存在有效区域和无效区域【1 8 】，所谓数据点的有 效与无效，其实就是指该点的数据是否是被测量物体表面和标准参考面发生相干之后 而得出的。由于光路系统中某些器件( 如光学夹持器) ，被测物本身的形状或某些随机 因素( 灰尘脏点等) 遮挡了干涉区域，在这一部分的干涉图中不包含干涉条纹，即形成 了无效区域，而这些无效区域会影响有效数据区域的边界形状，使其呈现出复杂的不 规则性。因此，对于实际干涉图的处理，首先要识别出图像中的哪些部分为有效区域， 哪些部分为无效区域，可以采用区域分割的方法，在相位解包裹之前进行图像的预处 理。此外，在有效数据区域中还包含一些噪声数据点。从理论上讲，沿任意路径进行 相位展开都可以得到正确的结果，但是当有噪声存在时，就可能使得解包工作产生全