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两相同部件冷贮备可修复系统解的渐近稳定性 摘要 本篇硕士论文我们研究了两相同部件冷贮备可修复系统解的渐近稳定 性 在第一章，我们简要回顾了可修复系统国内外研究现状以及简单介绍了 主要的研究内容和方法 在第二章，我们介绍了运用增补变量和概率论方法建立的两相同部件冷 贮备可修复系统的微分积分形式数学模型，并结合v o l t e r r a 积分方程理论， 证明了系统解的存在惟一性 在第三章，我们根据所研究问题的实际物理背景定义b a n a c h 空间，并在 所定义的b a n a c h 空间中，适当定义系统算子，证明其生成的岛半群是拟紧 的；然后得出了系统算子谱点均位于复平面的左半平面，且在虚抽上除0 外 无谱的重要结论，从而得出了系统解的渐近稳定性 在第四章，我们讨论作为系统可靠性重要指标之一的系统稳态可用度可 以通过规范化系统的稳态解直接得到 关键词：冷贮备，拟紧，渐近稳定，可用度 a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n o f a c o l ds t a n d b yr e p a i r a b l es y s t e m a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed e a lw i t ht h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es o l u t i o no fac o l ds t a n d b y r e p a i r a b l es y s t e m i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w es i r n p l yr e t r o s p e c tc u r r e n ts t a t u so fr e s e a r c ho ft h er e p a i r a b l e s y s t e mh o m ea n da b r o a da n di n t r o d u c et h em a i ns t u d yc o n t e n ta n d m e t h o d i nt h es e c o n dc h a p t e r w ei n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a lm o d e lc o r r e s p o n d i n gt or e p a i r a b l es y s t e mw h i c hc a l q b ed e s c r i b e db y g r o u po fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n df o m u l a t e db yu s i n gs u p p l e m e n t a r yv a r i a b l et e c h n i q u e a n dp r o b a b i l i t yt h e o r y b yv o l t e r r ai n t e g r a lt h e o r y , w ed e r i v et h eu n i q u ee x i s t e n c eo f s o l u t i o no ft h es y s t e m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed e f i n et h eb a n a c hs p a c eb a s e do nt h er e a l i t yp h y s i c sb a c k - g r o u n d ，t h e nd e f i n et h es u i t a b l eo p e r a t o ri nt h eb a n a c hs p a c ea n dp r o v e st h ec o - s e m i g r o u p g e n e r a t e db yt h es y s t e mo p r a t o ri sq u a s i - c o m p a c t a tt h es a l et i m e ，w eo b t a i nt h a ta l l p o i n t so nt h ei m a g i n a x ya x i se x c e p tf o rz e r ob e l o n gt ot h er e s o l v e n to ft h es y s t e h lo p e r a - t o r m o r e o v e r ，w eg e tt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h es o l u t i o no ft h es y s e t e m i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ea v a i l a b i l i t y , o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n d e x s o ft h es y s t e mr e l i a b i l i t y ，t h a tc a nb eo b t a i n e db yn o r m a l i z i n gt h es t a b l es o l u t i o no ft h e s y s t e m k e y w o r d s ：c o l ds t a n d b y , q u a s i - c o m p a c t ，a s y m p t o t i cs t e a d y , a v a i l a b i l i t y i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名疡幸嘻 学位论文使用授权声明 臼期：彦叼膨丞7 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 贼燧辄磊糍副谧叫舻期刀歹 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、 刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中 未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：篪谚峰 指导教 师：二矽旷 第1 章绪论 一、绪论 ( 一) 、国内外研究现状 可靠性数学理论大约起源于2 0 世纪三十年代，最早被研究的领域之一是机器维修 问题，另一个重要的研究工作是将更新理论应用于更换问题所谓可靠性就是指系统在 给定时间内不发生故障的概率可靠性问题之所以受到重视，是因为系统、设备( 硬件、 软件) 所承担的工作在质的方面高级化了，它与人类生活密切相关；在量的方面复杂化 了，因彼此相关的任意一部分失败而导致整个系统发生故障的机会增加了而对于可修 复系统可靠性的研究也由来以久，所谓可修复系统就是由一些部件和一个或多个修理设 备( 修理工) 组成，修理设备对故障部件进行修复，修复后可继续工作的系统，是可靠性 理论中讨论的一类重要系统，也是可靠性数学的重要研究对象而从数学的观点对系统 做定量和定性的分析，给出系统性能的判定，无疑从实际还是从理论上都具有重要意义 1 9 6 3 年，d p g a v e l 在文献f 1 1 首次将增补变量法引入到可靠性理论以解决维修 分布服从一般分布的可修复硬件系统，用偏微分方程刻画了系统的动态过程此后，大 量文献f 2 16 1 用增补变量的方法，通过建立偏微分方程组对各种情形的可修复硬件系统 做了细致、详尽的研究，并取得了丰硕的成果a p a z y 在文献【1 7 l 所应用的岛半群 理论为解决这类问题提供了重要工具国内的g e n ig u p u r 、郭宝珠、徐厚宝和郭卫华等 也对可修复硬件系统作了许多深入的研究，参见文献 1 8 3 6 1 ( 二) 、主要研究内容和方法 本文主要从理论的角度来分析、研究一类可修复系统解的存在性，惟一眭以及渐近 稳定性也就是系统的时间依赖解( 动态解) 是否惟一存在? 系统是否存在稳态解? 如果 存在，系统的时间依赖解是否渐近稳定到该稳态解? 文章首先运用v o l t e r r a 积分方程的相关理论，讨论系统解的存在性然后根据所研 究问题的实际物理背景定义b a n a c h 空间，并在所定义的b a n a c h 空间中，适当定义系 统算子，将实际研究的系统通过抽象c a u c h y 问题的形式加以描述再运用岛半群理论 的相关知识证明系统解的适定性进而对系统算子谱点分布情况进行研究，从而得到系 统时间依赖解的渐近性 浙江师范大学硕士学位论文 二、数学模型及系统解的适定性 ( 一) 、数学模型 本文研究的数学模型是两相同部件冷贮备可修复系统所谓冷贮备是指贮备的备用 部件在贮备时不参与工作，并且在贮备时不会出现故障，贮备时间的长短与以后使用时 的寿命也无关系 3 7 1 文【3 8 】中作者运用增补变量的方法建立一个两相同部件冷贮备可修 系统的模型，并利用l a p l a c e 变换研究了此模型的静态解 两相同部件冷贮备可修系统的模型可用积分一微分方程组描述为 掣= 一揪) + z ”p - k 帅) d x ( 2 1 1 ) 垒里掣+ 皇里磐= 一( a + p ( z ) ) p 。( z ，t ) ，v z 0 ， ( 2 1 2 ) 堡! 掣+ 里! 磐= 一p ( z ) p ：( z ，) + a p 。( 。，t ) ，vz o ， ( 2 13 ) p l ( o ，t ) = a p o ( t ) + p 2 0 ，t ) p ( z ) 如，( 2 1 4 ) ， j 0 m ( o ，t ) = 0 ，p o ( o ) = 1 ，焱( z ，0 ) = o ， = 1 ，2 ， ( 2 1 5 ) 其中( z ，t ) 【0 ，o 。 【o ，o 。) ；m ( ) 表示个部件工作，另一个部件冷贮备的概率；p 1 如，o d z 表示在( z ，。+ 如) 内一个部件工作，另个部件在维修的概率；p 2 ( x ，t ) 如表示在( z ，z + 如) 内一个部件在维修，另一个部件在等待维修的概率；a 表示部件的故障率，p ( z ) 是风 险函数，且满足 0 p ( z ) 0 0 ；m = s u pp ( z ) c o ；p ( z ) d z = o o ，。o z 【o ，o 。l j o ( ：) 、系统解的适定性 由于边界条件( 2 14 ) 中包含了未知函数的积分，因此这是一个具有积分形式的边界 条件，故系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 ，5 ) 是一类积分一微分方程组的定解问题 令= z t 并且定义q t ( t ) = a ( f + t ，) ，j = 1 ，2 ，则由( 2 12 ) - ( 2 1 3 ) 有 d q 矿l ( t ) = 一( a + p 嬉+ t ) ) q 1 ( f ) ， 掣= 刊f 刊吲溉 2 第2 章敷学模型及系统解的适定性 由t ，z 的物理意义，我们只需要考虑z 0 ， 0 ( 2 2 1 ) ( 2 22 ) 为方便起见，今后在不产生混淆的情况下，这里仍分别记为a ( z ，t ) ，j = 1 ，2 和p ( 茁) 将( 2 2 1 ) ，( 2 22 ) 分别代入( 2 1 1 ) 可得 掣= 一枷) + z ”舯堋椰( 0 , t - x ) 如 = 一扣m ) + z 2 p o 一曲e 一露”n “馐) ) 越p ( 0 r ) 打 再由初值条件p o ( o ) = 1 ，解上述方程得 其中 p o ( t ) ( t 一_ ) ( o ，t ) ( 0 ，r ) p 0 一r ) e - 片“( 1 + p ( e ) ) l ( o ，r ) d v d s e一1 ( 一。) 芦( 8 一r ) e 一片一o + ( e ) ) d s d ， 一1 0 一7 ) e a 扣一7 p ( s 一- r ) e 一 扣一7 ) 一片一p ( f ) d 5 d r ，一t ( 0 ，r ) e 一1 ( ”p ( ) e 一片p ( f ) d 甜r j o ( t r ) p 1 ( o ，r ) d 一( 2 2 3 ) 七1 0 一r )= e 一1 ( 一7 p ( p ) e 一片p ( f ) 碰d j 0 ， p 1 ( o ，t ) = 蛔o ( t ) + p ( z ) p 2 ( z ，t ) 如 3 一 rrr上 e p p p 七 r z上上上 + + + + + 址 m m e e e e e = = | | | | | | 浙江师范大学硕士学位论文 a p o ( t ) + p ( z ) e 一片p ( f ) 武( 1 一 j 0 4 a m ( t ) + p o r ) e 一片一p ( f ) ，l a p o ( t ) + 2 0 r ) p 1 ( o ，r ) d r e - “) 阳( o ，t x ) d x ( 1 一e - x ( “7 ) p l ( o ，r ) d r ( 2 2 4 ) 这里k 2 0 一下) = p 一r ) e j 苫一7 p ( f ) 嘏( 1 一e 一1 ( 。一r ) ) 将( 2 1 5 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 联立得如下方程组 i p o ( t )= e 一“+ j ：l o r ) n ( o ，r ) 打， p 1 ( o ，t ) = 枷( ) + k 2 ( t 一咖1 ( o ，r ) 卉， im ( o ，t ) = 0 这足一个由卷积型v o l t e r r a 积分方程组成的方程组令n ( ) = 鼽( o ，t ) ，i = 1 ，2 ，则上述 方程的向量形式可表示为 10 o a10 o01 将上式两端同时 p o ( t ) p l ( t ) k l ( t r ) 1 ( 一f ) + k 2 ( t r ) 0 郭，镪”茚憾 ) 1 t ) id r ( 2 25 ) t ；j p o ( t ) i p 。( t ) l 打 p 。( ) i 1 卜1 甜 k l ( t r 1 0 从1 0 一r ) + k 2 ( t r ) 0 00 4 一 阳 m 班 pl 0 0 0 n 力 一 一 0 o n 砌 0 0 0 -。，l ，如 + 1j 0 0 e 。l = 得可 1，j 0 0 1 0 1 0 ， 1 a 0 m p m 繇 1，j 0 0 0 0 0 o ，如 + 一。 1，i- 0 曲0 如 n m 一旧p号己入己j 0 0 0 _，。l = 、j r 一 1 七 第2 幸教学模型覆系统解的适定性 则得到向量形式的v o l t e r r a 积分方程 ，t y ( t ) = 7 ( t ) + i ( t r ) 芦( r ) d ( 2 26 ) j 0 不难证明向量7 ( t ) 中的每个分量 ， = l ，2 和矩阵石( t f ) 中的每一个也( 一r ) ，i = 1 ，2 都是平方可积的因此，系统( 21 1 ) ( 2 1 5 ) 的非负解存在惟一性就等价于v o l t e r r a 积分方程( 2 2 6 ) 的非负解的存在惟性 定理2 2 1 对任意的n o ，系统( 2 1 1 ) - ( 2 1 5 ) 在c 0 ，】上的非负解存在且惟 一 证明对任意的n 0 ，由，( t ) 及0 ( t r ) 的表达式可知， ( t ) 的每个分量 ，i = l ，2 以及( t f ) 的每个分量0 一神，i = 1 ，2 均为非负有界函数由文献 f 3 9 ，p2 0 一2 1 1 ，利用压缩映射原理，我们知v o l t e r r a 方程( 2 2 6 ) 在c 0 ，n 1 上非负解存在 且惟一，即( p o ( 0 ，p 1 ( t ) ，p 2 ( ) ) = ( p o ( ) ，p l ( 0 ，t ) ，p 2 ( o ，) ) 在e o ，n 】上存在且惟一结合 p l ( x ，) ，p 2 ( x ，t ) 的具体表达形式( 见( 2 ，2 1 ) ，( 2 2 2 ) ) 可以得出tv o ( o ，p 1 ( 。，) ，p 2 ( x ，t ) 非 负且惟一存在，即系统( 2 1 1 ) 一( 2l5 ) 在c 0 ，n 】上的非负解存在且惟一定理2 21 证 毕 5 浙江师范大学硕士学位论文 三、系统解的渐近稳定性 墨恐p ( z ，t ) 2p ( z ) ( 3 1 ，1 ) x = p r l 1 1 0 ，o o ) l 1 1 0 ，o 。) m l f = 圳+ 恢i l l ，i o ， 七一) a ，= ( 毒一芝一 一p c z ，一差；p 。，) ( ；曼；) ， 第3 幸系统解的渐近稳定性 i p x d ( a ) = l 函数， 掣l 1 【o o o ) ，p i ( i = 1 ，2 ) 为绝对连续 p ( o ) = f o r p ( z ) 如 i q b p ：l0 io o 、f p 。 、 0 i lp 。( 。) i ，d ( b ) = x o 八以。) e p = ( i 。f p “t i p ( z ) 出i ) ，。c e ，= x 这样，方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 5 ) 可以描述为b a n a c h 空间x 中的抽象c a u c h y 问题 = ( a + b + e ) p ( t ) ，t 0 ，o 。) = ( 1 ，0 ，0 ) 利用【3 1 】中的定理1 ，我们可以在假定 s u pp ( z ) = m 面 o o 下，得至0 x e l o i 定理3 2 1a + b + e 生成一正定压缩岛半群t ( t ) 因为e 紧，运用1 4 0 ，p 2 1 5 1 中的命题2 9 ，从而有 定理3 2 2a + b 生成一正定压缩锦半群s ( t ) 命题3 2 1 若对于咖x ，p ( x ，t ) = ( s ( t ) 妒) ( 。) 是下列方程 的解，则 p ( x ，t ) = p ( ) ) ( z ) = ( a + b 扫( ) ，t 【o ，o o ) = 击 7 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 0 o a 型出删 ，ii_，、_l 喜| 出删 ，、l 浙江师范大学硕士学位论文 o e 一1 妒1 0 一班“一岱t p ( 7 ) 打 咖2 0 一t ) e j ：t p ( ) 8 7 + 1 0 一t ) e f ：- t p ( 7 ) “( 1 一e 一“) 证明因为p 是下列方程 d p o ；( t ) ：一a p 。( t ) ， 出 ” 鱼坠； 旦+ 鱼堕： 堂：一( a + p o ) ) p 。( 。，) ， 疣如 。、。、” i ! ! ! 笋+ ! ! ! ! ；芋旦：一p ( 。) p 2 扛，t ) + a p 。扛，t ) 出a z “。“7 p l ( o ，t ) p 2 ( o ，t ) a p 。( ) + z 。p 。( z ，) p ( z ) d z 0 p o ( o ) = 粕，弘忙，0 ) = 也0 ) ，i = 1 ，2 z t ( 3 2 3 ) ( 324 ) ( 3 2 5 ) ( 32 6 ) ( 327 ) ( 328 ) 的解，若令= 。一t 且定义q l ( t ) = p 1 ( + t ，f ) ，q 2 ( t ) = p 2 嬉+ t ，) ，则由( 3 24 ) ，( 3 2 5 ) 可知 d q l ( t ) d t d q 2 ( t ) d t = 一( a + p 嬉+ t ) ) q 1 0 ) = 一p ( + t ) q 2 ( t ) + a q l ( t ) 若 0 ( 等价于z ) ，则对( 3 29 ) 一( 32 1 0 ) 从一到t 积分，且利用 p - ( 0 ，一曲= m ( o ，t z ) ，q 2 ( 一) = p 2 ( o ，一) = p 2 ( o ，t 一。) ，我们有 p 1 0 ，) = q l ( ) ：q 1 ( 一f ) e 一1 ( 抖e ) 一f p 任+ 7 ) “ = p l ( o ，t z ) e 一“一臂p ( 7 ) “， 8 ( 329 ) ( 3 2 1 0 ) q l ( 一) = ( 3 2 1 1 ) z 打 一 片 i 址 h 如 咖 前 一 扣 t 石 仉 一 “ t p qm ，。一 第3 章系统解的渐近稳定性 p 2 ，t ) = q 2 ( t ) = q 2 ( 一f ) b 一 p 任t 7 ) 寥- 1 - a 弓一，二f p ( 1 i + t ) 打q l ( f 7 ) e f p 佳+ 7 ) 打却 j f = p 2 ( o ，t z k 一后p ( 7 ) “+ a e 一譬p ( 7 ) “q 1 白一f ) e 君p ( 7 ) “由 ，z ，0 = a e 一君以7 ) 打q 1 ( 9 一言) e 好p ( 7 ) 打d y j o ， = a e 一詹以) 打p l b ，笋一f ) e 譬p ( 7 ) 打d y( 3 2 1 2 ) 由于 y ，则由( 3 2 1 1 ) 我们推得p l ( 掣，g 一) = p l ( o ，一) e 一1 v 一片p ( 7 弦，结合 ( 3 卫1 2 ) 得到 p 2 0 ，) = a e 一片p ( 7 ) 打p l ( o ，一) e 一d y = p l ( o ，t x ) e j i p p ) “( 1 一e - x 2 ) ( 3 2 1 3 ) 从( 3 2 3 ) ，( 3 2 8 ) 我们得到 p o ( t ) = 如e 一“ ( 3 2 1 4 ) ，cz，t，一(。一。，。一i。竺：兰乇!二“，。一。一。， 若对于p x ，我们定义如下两个算子 c y c t ，一，c 。，= 翟。，。， c 们r c t ，一，c z ，= # 。) p ) ( z 。， 眦1 5 ) 。【t ，o o ) ， 、 7 。 0 ，) ， 触1 6 ) z 【。o o ) 、。 则s ( t ) p = v ( t ) p + w ( t ) p 引理3 2 11 4 0 ll 1 o ，0 0 】中的有界闭子集y 是紧的，当且仅当以下两个条件满足 ，9 浙江师范大学硕士学位论文 ( i ) 溉z ”i ( n + ) 一咖( n ) 也= 。， ( 对曲m 一致成立) ( i i ) l 坦m z ”】毋( 0 ) j 如= 。 ( 对曲m 一致成立) 由引理32 1 和【4 2 】可得如下引理， 引理3 2 2x 中的有界闭子集y 是紧的，当且仅当以下两个条件满足 ( i ) 弛若2z ”m ( 0 ) 肛。 ( i i ) 牌著2z 。删， 0 时= ( 如，咖1 ，2 ) m 一致成立) ( 对毋= ( 4 0 ，咖，屯) a 彳一致成立) 定理3 2 3 假定p ( z ) l i p s c h i t z 连续，且存在些再，使得0 丝p 0 ) 乒 打( 1 一e 一“) l 出 z h ) 一p 1 ( o ，一z ) 1 e j i p ( 7 ) 。( 1 一e 一“) d x 1 0 一 ( 32 1 7 ) 一 一 b 旧 ，五 + + 第3 幸系统解的渐近稳定性 下面我们估计( 3 2 1 7 ) 中的各项利用( 3 2 6 ) 和定理3 2 2 ，我们可以得到 l p t ( o ，t 一$ 一 ) l = i $ p o ( t 一一h ) + p ( 5 ) p 2 ( 5 ，t 一。一h ) d s o o ， j 0 珈0 一z h ) + 面轨( s ，t z h ) d s ， j 0 ， m a x a ，面) l p l ( o ，t z 一 ) l + i n ( 5 ，t 一。一h ) d s + i p 2 ( s ，t z 一九) i d 3 ) j 0j o = m a x a ，可) i l p ( ，t z h ) l l x = m a x ) t ，百) l i s ( t z 一，o 毋( ) l l x m a x a ，- ) 忖恢 下面我们估计( 3 2 1 7 ) 的第一项和第三项。由( 3 2 1 8 ) ，有 且 ，i 挪( o ，t 一嚣一h ) t l e 一 。+ 埘一片p p ) d r e - 扛一露p ( r ) 打l 如i 挪( o ，一嚣一 一3 0 + 埘一片州p p ) d r 一扛一露p ( 7 ) 打l 如 j 0 l m x a ，面 1 1 西1 1 x 。l 。一 扛+ 脚一臂+ “p ( r ) 女一e - x z - f i p ( r ) “i d zm a x a ，x l e 一1 ( 工+ ) 一臂剖p ( 7 ) 打一 ”( 7 ) 打 j 0 0 ，( 1 h i 一0 ，对曲一致成立) ( 32 1 8 ) ( 3 2 1 9 ) ，。t p l ( o ，t z 一 ) | i e 一厅+ 6 p ( r ) “( 1 一e 一 扛+ 哪) 一e 一后p ( r ) 打( 1 一e 一“) d z j 0 sm a x a ，面 1 t 1 1 1 x ，i e 一后+ “p ( r ) d f ( 1 一e 一 扣+ 砷) 一e 一臀一r ) d - ( 1 一e 一奸) i 出 j 0 0 ，( 1 h i 一0 ，对俨致成立) ( 3 22 0 ) 利用( 3 2 6 ) 和命题3 2 1 ，并分别运用新积分变量t 一。一h 一5 = y ，t 一。一3 = y 我们可以得到 扫1 ( o ，t 一$ 一h ) 一p l ( o ，t z ) 1 1 浙江师范大学硕士学位论文 ，r e o = i a p o ( t z h ) + p ( 5 ) p 2 ( 毛t z 一 ) d s 一, k p o ( t 一。) 一p ( s ) p 2 ( s ，t x ) d s j 0j 0 ，p o 。 n p o ( t z h ) 一p o ( t z ) i + f t t ( s ) p 2 ( s ，t z h ) d s 一p ( 5 ) 仇( 5 ，t z ) d s j 0j 0 = a ( e 。( t - 。- 砷一e - x ( ”) ) i t - x - - hp + i p ( s ) p 2 ( 5 ，t z h ) d s + p ( s ) p 2 ( 5 ，t z h ) d s j 0j t - z 一 f t - z ， 一p ( s ) p 2 0 ，t 一 一p ( s ) p ：( s ，t v o x ) d s x)ds0j t - z = a i 札i i ( e 一1 ( 。一“) 一e - x ( 一。) ) , t - z h + i p 0 一z h 一) p 2 0 一z h 一弘t 一。一 ) 匆 d o p o 。 + p ( s ) 也( s t + z + ) e 一：- t + z + h p ( 7 ) 8 7 ，f 十h + l ( 5 一t + z + ) e f ：- t z 4h ，( 7 ) 。“( 1 一e - x ( 一“) 】d s ，t z， 一p ( 一z 一) p 2 0 一z y ，t g ) d 一p ( s ) 2 ( s t + 。) e f ：- t “p ( ) “ j 0j t - z 一庐l ( 5 一t + z ) e j - t + ；p ( 7 ) 打( 1 一e 一1 p 一。) ) 】d 5 a l 曲oj | ( e 一1 ( t - 。- 砷一e 一1 ( 2 4 ) ) f t h + l p o z h 一可) p 2 0 一z h y ，t z h ) d y j o 一1 2 第3 幸系统解的渐近稳定性 ，t 一 一p 0 一z 一) 纯o 一。一9 ，t 一。) d 引 ，0 r o o + i7p ( s ) 毋2 ( s t + z + h ) e z - t + 蚪一“7 ) 卉d 5 j t 十h r 一p ( s ) 锄( 5 一+ z 扣一j ：t 扣p ( f ) 打d s l j t - - x ，o 。 + l p ( s ) 妒l ( 3 一t + z + ) e j 工蚪z + “( 7 ) 由( 1 一e 一1 ( t 一 ) d 。 j t - x h ， 一p ( s ) 毋1 ( 5 一t + z ) e 一o t p ( 7 ) 打( 1 一e 一3 0 一2 ) d 5 j t - z ( 3 2 2 1 ) 下面我们估计( 3 22 1 ) 中的各项对于( 3 22 1 ) 中的第四项，分别利用新变量s t + x + h = y ，5 一t + z = y ，同时注意到t t ( x ) l i p s c h i t z 连续( 不失一般性假设l i p s c h i t z 常数等于 1 ) ，有 i - 0 0 卢( 5 ) 也( 5 + z + ) e 一：件z + p p ) 打( 1 一e j t 十h ，o o 一p ( 5 ) 妒1 ( s 一+ 茁) e j - 计，p ( 7 ) 打( 1 一e 一1 ( 。一2 ) d s j t 一 = ip白+一z一)妒10)ep一p(r)dr(1一(t-z-h)t e - x ( t - z - h ) ) d y= i p 白+ 一z 一 ) 妣0 ) e j ；”( 7 ) 4 7 ( 1 一 ，0 一，。p 悖+ t z ) 也( 3 ，) e 一口“一一( r ) “( 1 一e 一 。一z ) d y一p 悖+ t z ) 也( 暑，) e j ；”( ) “( 1 一e 一1 0 一。 j o = i ，庐1 ( 掣) 阻b + t z 一 ) e 一层+ 一“p ( r ) 打( 1 一e - j , ( t - $ - h ) ) d y= i 庐1 ( f ) 阻b + 一z 一 ) e j ；。4 。“( 7 ) ”( 1 一 j 0 一p + t x ) e f “一。p ( 7 ) 4 7 ( 1 一e - x ( 一。) ) l d y ：if 。毋。( ) 沁白+ t z 一 ) ( e p + 一“一( r ) “( 1 一e 一 ( t z 一哪)= i 毋l ( 可) 沁( 9 + 一z 一 ) ( e j ；。叫d r ( 1 一e 一1 【。一一卅) j 0 1 3 浙江师范大学硐士学位论文 “p ( l e 一1 ( 一) ) + ( 肛( + t 一。一 ) 一p 0 + 一) ) e 口“一。“7 ) 打( 1 一e 一1 ( t r ) ) 匆i 墨面5 u p e - 口 刊p l 呻由( 1 一e 一 ( f _ ；一) 口e i o ，) 一b 一掣“ ( 7 ：出( 1 一e 一 i t z ) 十i l 8 里p 一j 孑 一1 “( 7 打( 1 一e 一1 。) l i 毋i i l - 婶，田 ，e h ) 一0 ，( 一o ，对一致成立) ( 322 2 ) 对于( 322 1 ) 中的第三项，分别引入新变量s t + z + h = y ，s t + z # y ，我们可以得 到 p ( s ) 毋2 0 一+ z + h ) e j - t “p 7 ) 由d s 一肛( s ) z o 一+ z ) e j - “z 一( ，) 打d 5 ，”p j t一“j r - t ：if ”p ( y + t - x - ( g ) 。一口”一“帅由一f 。p ( 州一z ) 2 ( ”) e 一口”w ) d - r d y j u j 0 = f 西2 ( 鲈) f p ( 掣+ 一z 一 ) e 一层+ t - z - - h ( r 】d r 由一p ( 可+ t 一) e 一片+ i 一。一( r ) 由】口b 口 = z ”。( g ) 阻( y + t - z - h ) ( e j ? + 一“r ) 一e 譬+ 一( r ) d 7 ) 十( p 妇十t z 一砷一p 白+ t 一。) ) e 片十叫西7 打j 西 面，。s 【u 。，p 。) i e 口+ 。一“”6 一一。；+ ”。7 i + i i ，；：) 8 一? + “1 1 t 2 1 1 口，。0 ) ”【o ，) p i o ) 1 4 第3 章系统解的断近稳定性 一0 ，( i h i 一0 ，对卜致成立) 对于( 3 2 2 1 ) 中的第二项，利用命题3 2 1 ，( 3 2 ，i 8 ) ，我们有 ，t 十h p 0 一。一h f ) p 2 0 一z h 一弘t z h ) d y j 0 一。p ( t - - x - - y ) p 2 ( 一。峭# 一z ) 句 j o ：| - 一“肛( t - - x - - 一g ) p 1 ( o ，g ) e j ：h v 一( r ) 打( 1 一( t - x - h - y ) he - m e - x - h - y ) ) d y= | 肛一g ) p 1 ( o ，g ) e 一片。”( 7 ) 打( 1 一 j 0 ，。一。p ( t z ) p ho，一j；一，p(r)“(1e一(t-；-y)y)e y ) ) d y 一p 0 一z 一 ， 一j j 一。p 【7 ) “( 1 一e 一1 j 0 ：i 。一“p ( 一z h - y ) hp l ( o ，y ) e j ：一 一_ p ( r ) 打( 1 一e - a ( t - z - h - y ) ) d y= i p 0 一z p l ( o ，一j i ”( 7 ) 打( 1 一 j o 一一2p(tz一一g)p1(o，一詹一“一v一(，)打(1一(t-x-h-y)h y ) e e - a ( t - x - h - y ) ) d y 一 p ( 亡一z 一 一可) p 1 ( o ， 一j i “”( 7 ) d 下( 1 一 j 0 + 。肛0 一。一h - y ) p 1 ( o ，g ) e 一露一“一p p ( r ) 。( 1 一e 一 ( t - - h - y ) ) d y ，l 一 一p o 一。一w ) p 1 ( o ，g ) e 一片一”p ( 7 ) 4 7 ( 1 一e 一1 。一，) 曲 j 0 ，一。im(o,zh-y)ej：一“一口”(r)“(1一(t-x-h-y)y)b(te - n ( t - x - h - y ) ) d y7 一z e j i 4 ”( ) 打( 1 一 j t - ： - h ( 3 2 2 3 ) ，一z + l p l ( o ，y ) i b ( t z 一 一f ) 一p o z y ) 1 e 一菇一“一一) “( 1 一e 一1 0 一“一y ) ) d y j 0 + 一2 i p l ( o ，y ) b ( t z h y ) l e j ：一“一h p ( r ) “( 1 一e 一 p+ i ( o ， 一z 一一 一j i “”【7 ) “( 1 一e 一1 ” j 0 一e - 片一p ( 7 ) “f l e - m t - z - y ) ) l d y 1 5 浙江师范大学硕士学位论文 sm a x a ，可 1 1 妒1 1 x i h l rs u pe - 詹一“。p ( r ) 打( 1 一e 一1 ( 一* 一“一计) y e o ，) + i h l ，。e 一片一肿) 打( 1 一_ ( m 们) 劫 j 0 + 耳，。一。l e j ：一“一，p ( r ) 打( 1 一e 一 o 一。一h 一们) j o e 一詹一“一p ( r ) 打( 1 一e 一1 ( t - x - h - y ) ) d y ， 一0 ，( i h l 一0 ，对一致成立) 结合( 3 2 2 2 ) 一( 3 2 2 4 ) 与( 3 22 1 ) ，推得 ( 3 2 2 4 ) i m ( o ，t z h ) 一p 1 ( o ，t z ) l 一0 ，( i h i 一0 ，对卜致成立) ( 3 22 5 ) 这表明( 3 2 1 7 ) 的第二项和第四项满足 ，i p l ( o ，一z 一 ) 一p l ( o ，t z ) i e 一 z 一片p ( r ) “i 如 j o 一0 ，( 一0 ，对卜致成立) ，c i p l ( o ，t z 一 ) 一p l ( o ，t z ) l e f g u ( 7 ) “( 1 一e 一“) 出 j o 一0 ，( 一0 ，对一致成立) 结合( 3 22 6 ) ，( 3 2 2 7 ) ，( 3 2 1 9 ) ，( 3 2 2 0 ) 与( 3 21 7 ) ，对于z + h 【0 ，t ) ，我们有 可得 ( 3 22 6 ) ( 322 7 ) 骞z ”慨( x + h , t ) 一n ( z ，圳如一。，( 吲一。，对产致成立) ( 3 2 2 8 ) 若h ( - t ，o ) ，z 【0 ，t ) ，则对于$ + h 0 ，从关系式p l ( x + ，) = 0 ，p 2 ( z + ，t ) = 0 她 m q ， p 一 0 h+z p ， ：m 第3 幸系统解的渐近稳定性 一 ，t 5 上1 w ( 蚪 ，。) 柏( z ，。) i 出+ 7i p 2 ( 3 0 z + ，) 一耽( 。，。) l 如 j 0 ，- h 2 ，h 坼+ ，t ) 咱( z ，t ) l d z + 上| p - ( z m t ) 咄( z ，t ) l d x ，tn + 上。b ( z “砖咱( z , t ) l d z + f oi v 2 ( 0 z 地t ) 咱( 印) i 面 j h 6 ，一h 2 l , i n ( z + ，) 咱( 琊眦+ z i p l ( 列) l , t x + 胁( m ，旷硝州+ o 一龇圳妃( 3 2 , 2 9 ) 对于( 3 2 2 9 ) 中的第一项和第三项，因为z 【0 ，t ) ，h 【t ，o ) ，2 7 + h 【o ，) ，所以类 似( 3 22 8 ) ，我们有 ，： i p l o + ，