数学建模素质评估的定量分析.pdf

嘉 期 海 南 大 学 学 报自 然 科 学 版IN IV E R S IT YN A T U R A L S C IE N C E J O U R N A L O F H A I N A N U N IV E R S IT Y 2O 12 年 3 月 V 01 3 O N o 1 M at 2 0 12 文章 编号 1 0 0 4 1 7 2 9 2 0 1 2 0 1 0 0 0 9 0 7 数 学建模 素质评估 的定量分析 王浩华 罗 婷 海南大学 信息科学技术学院 海南 海口 5 7 0 2 2 8 摘要 针对海南大学学生参加数学建模竞赛的实际情况 应用层次分析法和动态规划的理论方法对数学 建模队员的选拔问题进行了建模和分析 在兼顾公平选拔原则的基础上 对学生素质进行了综合评定 给出 了最佳 的分组原则 关键词 层次分析法 动态规划 权重 组队原则 中图分类 号 0 2 2 1 3 文献标志码 A 全国大学生数学建模竞赛 已在各个高校 中展开 并 成为影响最大 参赛人数最多的大学生课外科技 活动 海南大学 1 9 9 2年参赛 以来 每次均取得了傲人的成绩 为 了形成培训选拔机制 量化管理 优化参 赛学生的质量以期取得更好的成绩 放眼未来 有必要对以前的工作做一些整理 为此 对海南大学学生 在实际培训和选拔中就参赛队员各方面的素质予以评定 选取了选修笔试 机试 数学竞赛获奖 思维敏 捷度 知识面 听课次数 其他情况等方面进行了考察 见表 1 经量化评定给出了得分表 见表 2 1 模型假设 海南大学参赛学生主要来 自于各个理工科学院 其教育背景和素质起点大致相当 故此 在整个参赛 培训过程中假设各个 队员遵循 以下假设 1 参赛队员的外部环境相同 且不受其他随机因素影响 在正式比赛的过程中 队员都能发挥正常水平 表 1 选 拔学生信 息 收稿 日期 2 0 1 1 0 6 1 7 基金项 目 海南省教育厅高校科研资助项目 H j s k 2 0 1 1 2 3 海南大学教育教学科研资助项 目 h d j y l 0 0 5 作者简介 王浩华 1 9 8 1 一 男 湖北天门人 海南大学信息科学技术学院讲师 硕士 1 0 海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 表 2量化评 定得 分表 选修笔试 数学竞赛获奖 7 1 2 3 1 6 5 1 2 l 1 1 1 1 1 思维敏捷度 4 4 2 3 j 4 4 4 4 4 3 4 2 知识面 4 3 2 4 3 1 3 4 2 3 4 1 4 3 听课次数 2 6 4 4 6 4 4 6 2 6 其他情况 1 3 l l l 1 1 2 2 2 l I 1 l 1 2 竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件 且认为表2中测量的数据都是客观公正的 3 数学建模选修成绩 机试成绩 数学竞赛获奖情况 思维敏捷程度 知识面宽广程度 数学建模选修 课听课次数 以及其他计算机应用情况 这 7项对学生数学建模综合能力的影 响 占主要地位 且影 响程度 是依次递减的 4 在组队后各队的发挥是相互独立的 不受其他组的影响 5 组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征 2参赛队员的选取 每个学生的基本条件由表 1 可知 该问题是半定量半定性 多因素的综合选优排序问题 是一个多目 标决策问题 为了从 1 5名队员中选出9名参赛者 主要利用层次分析法 分别计算各指标对选择队员的 权重 以及各队员对各指标的权重 然后综合考察每个队员的权重并进行排名 为了区分各项条件中的档次差异 首先将各指标量化 确定量化原则如下 选修笔试成绩按照满分 1 0分计 思维敏捷 机试和知识 面的 A B c D等级分别按 4分 3分 2分 1 分计算 数学竞赛没获奖按 1 分来计算 获三等奖 1 次为2分 获三等奖 2次为 3 分 获二等奖 2次为 5 分 获一等奖 1 次为6 分 获一等奖2 次为7 分 听课次数按一次 1 分计 其他情况如选修过M A T L A B的加 1 分 通过计算机三级考试的加 2 分 班级排名情况由于统计数据不是很全面 所以不能进行量化 因此 这项指标可以不予考虑 2 1 层次分析法从 1 5 名学生中选拔9名优秀队员作为目 标层 记为 O 将刻画队员的7 个指标作为准 则层 记为 C 将 1 5名学生作为方案层 记为 P 各队员记为 S i 1 2 3 1 5 如图 1 所示 目标层 0 准则层 C 方案层P 图 1 层 次结 构图 憾 一 2 0 2 4 2 4 0 一 6 3 2 2 2 2 0 9 8 7 6 4 8 6 6 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 鲨 s 第 1 期 王浩华等 数学建模素质评估的定量分析 由假设可得 准则层的7 项指标依次递减 并认为相邻2 项的差距不大 且都假设是相等的 这里都认 为相差为 1 于是两两对比得如下比较矩阵 A A 其计 算 步骤 如 F 步骤 1 将 A 的每一列 向量归一化得 X 步 骤2 将O一 q 按 行求和 得 i 1 2 其中 为准 则层的 相 关数 据 见表2 步骤3 将 归一 化得cc O J 为近 似 特征向 量 步骤4 计算最大特征值 A i n A wl 一 i 其 中 n为准则层数量 由以上步骤计算可得最大特征值 A 7 1 9 7 3 对应特征 向量 0 3 5 0 4 0 2 3 7 5 0 1 5 9 0 0 1 0 5 6 0 0 6 9 6 0 0 4 6 2 0 0 3 1 8 根据一致性指标公式 c i 1 可得 一致性指标 C I 1 0 0 3 2 9 随机一致性指标 可 根据表 3查得 R I 1 1 3 2 0 0 表 3随机一致性指标 的值 根据公式得到随机一致性比率 C R 1 o o 2 4 9 0 1 即比较矩阵A具有满意的一致 性 通过一致性检验 一般地 也可以用 M A T L AB编程计算得到 见附录程序 1 由此可 以分别构造方案层 P对准则层 c 的比较矩阵 k 1 2 7 则 比较矩阵均为一 致阵 其中 l 2 7 由一致阵的性质 可知 B 的最大特征值A N C R 0 其 任一列向量都是A 的特征向量 将其归一化可得 P对 c的权 重 向量 记作 c c k 1 2 7 记 u 为P 层对c 层的 权 重 且一 致 性比 率 指 标为C R 2 c R o 从而P c 层 的特征向量如表 4所示 由于准则层 C对 目标层 0的权重为 方案层 P对准则层 C权重为 则 P对 0的权重为 木 n c c c cJ 木 c cJ 其组合一致性比率指标为 C R C R 2 C R 1 0 0 0 2 4 9 0 0 2 4 9 0 1 因此 组合权重 可作为 目标决策 的依据 根据权重 得到 1 5人 的排序结果如表 5所示 2 6 5 4 3 2 1 2 3 5 4 3 2 l 4 3 2 3 2 2 第 1期 王浩华等 数学建模素质评估的定量分析 1 3 故在 1 5名学生中选取 9名参赛队员 即可认为是选取权重排前 9名的学生 由表 5和图2可知 依次 为 5 I 5 6 5 7 5 4 5 2 s 8 Js I l 5 I o Js l 4 3最佳组队方案的确定 3 1 组 队原则 命题 1 2 在最佳组队决策方案 中 每个队对 目标层 0的权重一定不小于全体队员 9名 对 目标层 权重的几何平均值 否则其组队方案就不可能是最佳 的 由模型假设可知 各队员的组队原则遵循 1 3名 队员的技术水平指标可以互补 技术水平最高者为该队的水平指标 2 按上述命题求出 9名队员对 目标层 0权重的几何平均值 由表 4按 1 5厂 一 兀 k 1 2一 7 V I 用计算机编程序计算可求出几何平均值为 W W1 3 任取 3名队员组合 求出相应的技术水平指标 取 7个技术水平指标之和为最高组队方案 3 2 最佳组队原则设 z 三名队员组成的一个队 则 为队员 的第 项水平指标 Mi Y 为队员 z y z 组队 y z 的第 项水平指标 y z 为技术水平指标 则 M Ml y z M 2 y z M7 Y z M y z ma x m m Y m i 1 2 7 Y z Mt o 最佳组队是从 1 5名队员中选出 y z 使 y z 最大 3 3 建立模型分决策过程为 3 个阶段 按组队原则完成 每一阶段确定一个队 记 决策变量 X z k l 2 3 状态变量 T k k 1 2 3 其 中 T 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即 T 1 s 1 Js 2 s 3 s 4 s 5 5 6 s 7 S 8 S 9 状态转移方程 一X k 1 2 3 允许决策集台 D y y z z W k l 2 3 指标 函数 表示决策 一个组队 关于状态的技术水平指标 即 孔 最优值函数 表示在状态 下确定的k 1 k 3 个组队的技术水平指标之和的最大值 则 有逆序解法的基本方程 X k 5 l 1 1 0 0 9 9 1 7 9 1 其 中 一X k 1 2 3 经计算得 出组队结果 见表 6所示 表 6最佳组队原则下组队结果 结合考察分组各队员专业情况 最终分组情况如表 7所示 1 4 海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2 0 1 2拄 表 7组队结果与 队员专业对比 由表 7 可以看出 此模型选拔和排队都达到了使每组有较好知识结构的目标 3 4 模型的评价采用随机挑选原则来组队 在 1 5名队员中共有 c 4 5 5 种不同的组合方式 目 标函 数为 5 m a x T k l 用 MA T L A B编程统计可知 可能构成组队的方式有 4 4 8种 分 3个阶段求解 利用计算机将 4 4 8种组合按权重的大小顺序排序 然后通过模拟枚举实验 得到最优决策方案和每 一 个队的竞赛水平 结果如表 8所示 表 8 枚举法确定组 队结果 从表 6和表 8可以看到 在所有的组队结果中最佳组队原则下的组队结果是最优 的 4 结束语 一 年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事 指导教师应本着对全校学生负责的态 度 公平公正地对参赛队员进行选拔 学校要加大宣传力度 进一步扩大选拔 范围 使更多的优秀同学参 赛 从而更好地优化和完善参赛队伍结构 同时也要加大投入力度 如师资和资金投人等 学生数学素质的培养不是一朝一夕的事情 因此 教师要始终把数学建模意识贯穿于教学 的全过程 尤其是要把数学建模思想和方法渗透到数学主干课程 的教学 中 只有这样 才能更好地把数学建模教学 活动与数学教学改革融为一体 才能真正地提高教学质量 并使广大学生受益 附录程序 1 c l e a r a l l C l O S e a l l c l c a 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 4 5 6 1 3 1 2 l 2 3 4 5 l 4 1 3 1 2 1 2 3 4 1 5 1 4 1 3 1 2 l 2 3 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 2 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 n 7 第 1期 王浩华等 数学建模素质评估的定量分析 1 5 第 l 步 每一列 向量标准化 f o r i 1 n f o r j 1 n X 0 f o r k 1 n X X a k j e n d b i j a i j x e n d e n d b 第 2步 按行相加 f o r i l n Y 0 f o r j 1 1 Y Y b i j e n d e i 1 Y e n d C 第 3步 得到特征 向量 f o r i 1 n w i 1 e i s u m c e n d W 第 4步 求 A W AW a W 第 5步 计算最大特征值 r 0 f o r i 1 n r r l n l A W i w i e n d r 计算一致性指标 C I C I r n n一1 计算随机性指标 R I i f n 7 RI 1 3 2 e n d RI 计算一致性检验 C R CR CI RT 下转第 1 9页 第 1 期 张军等 基于非单调技术的 O D E型算法 参考文献 1 B R O WN A A B I G G S M C S o m e e f f e c t i v e m e t h o d s f o r u n c o n s t r a i n e d o p t i mi z a t i o n b a s e d o n t h e s o l u t i o n o f s y s t e m s o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s J O p t i m T h e o r y A p p l 1 9 8 9 6 2 2 1 1 2 2 4 2 O U Y G A h y b ri d t r u s t r e g i o n a l g o r i t h m f o r u n c o n s t r a i n e d o p t i mi z a t i o n J A p p l i e d N u m e ri c al Ma t h e ma t i c s 2 0 1 1 6 1 9 0 0 90 9 3 O U Y G A s u p e r l i n e a r l y c o n v e r g e n t O D E t y p e t rus t r e g i o n a l g o ri t h m for n o n s m o o t h n o n l i n e a r e q u a t i o n s J J o u m o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s C o mp u t i n g 2 0 0 6 2 2 3 3 7 1 3 8 0 4 D E N G N Y X I A O Y Z H O U F J A n o n m o n o t o n i c t rus t r e g i o n alg o ri t h m J J o u r n al o f O p t i mi z a t i o n T h e o ry a n d A p p l i c a t i o n s 1 9 9 3 7 6 2 2 5 9 2 8 5 5 G R I P P O L L A MP A R I E L L O F L U C I D I S A n o n m o n o t o n e l i n e s e a r c h t e c h n i q u e f o r N e w t o n S m e t h o d J S I A M N u m e r A h a l 1 9 86 2 3 7 07 71 6 6 H A N L X 关于无约束规划的一个 O D E算法的收敛性质 J 计算数学 1 9 9 2 1 5 4 4 4 9 4 5 5 7 Z H O U F J X I A O Y A c l a s s o f n o n m o n o t o n e s t a b i l i z a t i o n t r u s t r e g i o n m e t h o d s J C o m p u t i n g 1 9 9 4 5 3 1 1 9 1 3 6 No n mo n o t o n e ODE t y p e Tr u s t Re g i o n M e t h o d Z HAN G J u n W ANG Gu a n s h u C o l l e g e o f I n f o r ma t i o n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y H a i n a n Un i v e r s i t y Ha i k o u 5 7 0 2 2 8 C h i n a Abs t r a c t No n mo n o t o n e t e c h n o l o g y we r e c o mb i n e d wi t h t r a di t i o n a l t r u s t r e g i o n ODE a l g o rit h m a n d a n e w a l g o r i t h m f o r u n c o ns t r a i n e d o pt i mi z a t i o n p r o b l e m we r e p r o p o s e d a nd wh i c h c a n r e d u c e t h e n u mb e r o f i t e r a t i o ns a r t d t r u s t r e g i o n s u b p r o b l e ms n u mb e r o f c a l c u l a t i o n Und e r c e r t a i n a s s ump t i o ns t h i s p a p e r a l s o pr o v e d a l g o rit h m S g l o b a l c o nv e r g e n c e Nu me ric a l r e s u l t s i n d i c a t e d t h a t t he p r o p o s e d a l g o r i t h m i s e f f e c t i v e a n d f e a s i b l e Ke y wo r ds n o n mo n o t o n i c t e c h n i q ue t ru s t r e g i o n ODE a l g o rit h m g l o b a l c o n v e r g e n c e u n c o n s t r a i n e d o p t i mi z a t i o n 上接第 1 5页 参考文献 1 姜启源 数学模型 M 第 3版 北京 高等教育出版社 2 0 0 3 2 韩中庚 最佳组队方案及模型 J 数学的实践与认识 1 9 9 7 2 7 2 1 3 3 1 4 0 3 刁在筠 运筹学 M 第 3版 北京 高等教育出版社 2 0 0 7 4 李志林 欧宜贵 数学建模及典型案例分析 M 北京 化学工业出版社 2 0 0 8 Qu a n t i t a t i v e An a l y s i s o f Qu a l i t y As s e s s me n t