福建师大附中高一数学下学期期末试卷（含解析）新人教A版.doc

2012-2013学年福建师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）若sin2a0且sina0，则a是（）a第二象限角b第三象限角c第一或第三象限角d第二或第三象限角考点：二倍角的正弦；三角函数值的符号专题：三角函数的图像与性质分析：首先根据二倍角的正弦得出sin和cos同号，再由sina符号，即可得出答案解答：解：sin20即2sincos0sin和cos同号sina0cos0在第三象限故选：b点评：此题考查了二倍角的正弦以及三角函数的符号，属于基础题2（5分）sin15cos75+cos15sin75等于（）a0bcd1考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的求值分析：应用两角差的正弦公式，直接把所给式子化为sin60，再求出60的正弦值即可解答：解：sin15cos75+cos15sin75=sin（75+15）=sin90=1故选：d点评：本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，解题时要注意公式的形式3（5分）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）a+b+c+d+考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：计算题分析：根据向量加法的三角形法则可得要求只需求出即可而根据题中条件=3可得故只需利用向量的减法求出即可得解解答：解析：=，=根据向量减法的定义可得=3=根据向量加法的三角形法则可得=+=故选b点评：本题主要考察向量的加法，减法的三角形法则，属基础题，较易解题的关键是利用条件=3得出这一结论！4（5分）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）abc2d10考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案解答：解：=（2，1），=（3，4），向量在向量方向上的投影为：cos=2故选：c点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键5（5分）已知角的终边过与单位圆交于点p（，），则等于何值（）abcd考点：运用诱导公式化简求值专题：计算题分析：根据p的坐标求出cos的值，原式利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简后，将cos的值代入计算即可求出值解答：解：角的终边过与单位圆交于点p（，），cos=，则原式=故选a点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键6（5分）tan20+tan40+tan20tan40的值是（）abcd考点：两角和与差的正切函数专题：计算题分析：先利用两角和的正切公式的变形tan+tan=tan（+）1tantan将tan20+tan40转化，再利用tan60=化简即可解答：解：tan20+tan40+tan20tan40=tan（20+40）1tan20tan40+tan20tan40=1tan20tan40+tan20tan40=tan20tan40+tan20tan40=故选a点评：本题考查了两角和的正切公式的变形公式的运用，特殊角三角函数值在化简中的应用7（5分）设和为不共线的向量，若23与k+6（kr）共线，则k的值为（）ak=4bk=4ck=9dk=9考点：向量的线性运算性质及几何意义专题：平面向量及应用分析：由已知2与k+6（kr）共线，利用共线定理可得存在实数使得2=（k+6），化为，利用向量相等可得，解出即可.解答：解：2与k+6（kr）共线，存在实数使得2=（k+6），化为，解得故选b点评：熟练掌握共线定理和向量相等是解题的关键8（5分）在abc中，若|+|=|，则abc一定是（）a钝角三角形b锐角三角形c直角三角形d不能确定考点：向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理分析：由|+|=|，我们两边平方后，根据向量数量积的运算性质可得c2+a2+2cacosb=b2，结合余弦定理c2+a22cacosb=b2，我们可得cosb=0，结合b为abc的内角，我们易求出b的大小，进而判断三角形的形状解答：解：|+|=|，|+|2=|2，|2+|2+2=|2，即c2+a2+2cacosb=b2由余弦定理c2+a22cacosb=b2得cosb=0即b=90故abc一定是直角三角形故选c点评：本题考查的知识点是向量的模，余弦定理，根据向量模相等，则两个向量的平方相等，构造方程是解答的关键9（5分）（2012吉安县模拟）同时具有性质“最小正周期是，图象关于直线对称；在上是增函数”的一个函数是（）abcd考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性专题：分析法分析：首先此类题目考虑用排除法，根据周期可以排除a，根据对称性可排除b，根据对称轴取最值排除d即可得到答案c正确解答：解：首先由最小正周期是，可以排除a；又因为，不是最值，可以排除排除d；将代入b，可得到b不是关于直线对称可以排除b：即可得到c正确故选c点评：此题主要考查函数的周期性，对称轴，单调区间的应用，在三角函数的学习中，对于三角函数的性质非常重要，要注意记忆和理解，在应用中也极其广泛，值得注意10（5分）如图，abcd是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且eab=，cab=，则+的值为（）abcd考点：两角和与差的正切函数专题：计算题分析：由图形，利用锐角三角函数的定义可求出tan和tan的值，且得到和的范围，进而求出+的范围，然后利用两角和的正切函数公式表示tan（+），把tan和tan的值代入求出tan（+）的值，由+的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出+的度数解答：解：由图形可知：taneab=tan=，tancab=tan=，又，（0，），得到+（0，），所以tan（+）=1，则+=故选d点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义以及特殊角的三角函数值，根据图形得出tan和tan的值是本题的突破点，熟练掌握公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键11（5分）已知，是两个单位向量，且 若点c在aob内，且aoc=30，（m，nr），则=（）ab3cd考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：依题意建立直角坐标系，加上点c在aob内的限制，可得点c的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解解答：解：因为，是两个单位向量，且所以，故可建立直角坐标系如图所示则=（1，0），=（0，1），故=m（1，0）+n（0，1）=（m，n），又点c在aob内，所以点c的坐标为（m，n），在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan30=，所以=，故选d点评：本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题12（5分）（2011广州一模）若对任意实数a，函数（kn）在区间a，a+3上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（）a2b4c3或4d2或3考点：三角函数的周期性及其求法专题：计算题；压轴题分析：将所求的k的值进行转化与化归，列出关于k的不等式是解决本题的关键，充分利用函数的周期性和区间长度的关系，注意不等式思想的运用解答：解：函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为，因此该函数在区间a，a+3（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，因此，即，解得，又kn，从而k=2或3故选d点评：本题考查三角函数周期性的应用，考查学生利用周期函数的周期进行分析问题和解决问题的能力和方法，考查学生的不等式意识，考查学生正弦型函数周期的确定二、填空题：（每小题4分，共20分请把答案填在答卷上）13（4分）已知单位向量，的夹角为，那么|=考点：平面向量数量积的性质及其运算律专题：平面向量及应用分析：利用向量数量积的性质可得=，代入计算即可解答：解：=故答案为点评：熟练掌握向量的数量积的性质是解题的关键14（4分）则cossin=考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：首先根据sin2+cos2=1以及二倍角的正弦公式求出（cossin）2的值，然后根据角的范围判断出cossin0即可得出答案解答：解：（cossin）2=1sin2=1）cossin0cossin=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式将所求等式两边平方是本题的突破点15（4分）已知，都是锐角，sin=，cos（+）=，则sin的值等于考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数专题：计算题分析：由，都是锐角，得出+的范围，由sin和cos（+）的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos和sin（+）的值，然后把所求式子的角变为（+），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值解答：解：，都是锐角，+（0，），又sin=，cos（+）=，cos=，sin（+）=，则sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围16（4分）已知sin（）=，则=考点：三角函数的恒等变换及化简求值专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式可得=再利用倍角公式可得1cos2=2sin2，1+cos2=2cos2及商数关系即可得出解答：解：sin（）=，=故答案为点评：熟练掌握诱导公式、倍角公式和商数关系是解题的关键17（4分）设maxsinx，cosx表示sinx与cosx中的较大者若函数f（x）=maxsinx，cosx，给出下列五个结论：当且仅当x=2k+（z）时，f（x）取得最小值；f（x）是周期函数；f（x）的值域是1，1；当且仅当x2kx+（kz）时，f（x）0；f（x）以直线x=kx+（kz）为对称轴其中正确结论的序号为考点：命题的真假判断与应用专题：三角函数的图像与性质分析：先作出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象得出相应的结论观察图象的最低点，求出最小值结合图象观察图象的重复性，进而判断周期性利用函数的最大值与最小值，确定函数的值域解不等式f（x）0，得对应的解集观察图象，利用推理得出函数的对称轴解答：解：由定义可知，当sinxcosx时，解得当sinxcosx时，解得作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图：取函数的最大值，即为函数f（x）=maxsinx，cosx，a由图象可知，当x=2k+（kz）时，f（x）取得最小值，所以错误函数以2为周期的周期函数，所以正确由知函数的最小值为，所以f（x）的值域是，1，所以错误由f（x）0，解得2k+x2k+（kz），所以正确f（x）的对称轴为x=2k+或x=2k+，即x=kx+（kz），所以正确正确结论的序号为故答案为：点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查学生理解信息的能力，利用数学结合是解决本题的关键三、解答题：（本大题共6题，满分70分）18（12分）已知向量=（2，0），=（1，4）（）求|+|的值；（） 若向量k与+2平行，求k的值；（）若向量k+与+2的夹角为锐角，求k的取值范围考点：平面向量的综合题专题：平面向量及应用分析：（）先求向量的坐标，即可求|+|的值；（）确定向量k，+2的坐标，利用平行的条件，即可求k的值；（）向量k+与+2的夹角为锐角，则数量积大于0且不共线，即可求k的取值范围解答：解：（）依题意得=（3，4），|=5（）依题意得k=（2k+1，4），+2=（4，8）向量k与+2平行8（2k+1）44=0，解得k=（）由（）得k=（2k+1，4），+2=（4，8）向量k+与+2的夹角为锐角，4（2k+1）+480，且8（2k+1）44且k点评：本题考查向量知识的运用，考查向量模的计算，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（10分）已知函数f（x）=sin（2x+）（）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象，并求函数f（x）的单调递减区间（） 若函数f（x），写出满足条件的x的取值集合考点：复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；五点法作函数y=asin（x+）的图象专题：三角函数的图像与性质分析：（）用五点法作函数y=asin（x+）在一个周期上的简图，结合图象可得函数f（x）的单调递减区间（） 令 2k+2x+2k+，kz，解得x的范围，即可求得满足条件的x的取值集合解答：解：（）函数f（x）=sin（2x+），列表可得 2x+ 0 2 x f（x） 0 1 01 0作图如下：函数f（x）的单调递减区间为k+ k+kz（）由于函数f（x）=sin（2x+），结合函数y=sint的图象可得，当t满足 2k+t2k+，kz时，sint令 2k+2x+2k+，kz，解得kxk+，所以，满足条件的x的集合为k，k+，kz点评：本题主要考查用五点法作函数y=asin（x+）在一个周期上的简图，正弦函数的单调性、周期性的应用，属于中档题20（12分）已知向量=（sina，cosa），=（，1），（），且a为锐角（） 求角a的大小；（） 求函数f（x）=cos2x+4cosasinx（xr）的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（）由题意得，利用两个向量的数量积的定义以及两个向量垂直的性质可得可得（）=0，解得 sin（a） 的值，再由a为锐角求得a的值（）由（）知cosa=，化简f（x）=2，由sinx1，1，利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函数f（x）的值域解答：解：（）由题意得，向量=（sina，cosa），=（，1），可得 =sinacosa，再由（），可得（）=1sina+cosa=2sin（a）1=0，解得 sin（a）=再由a为锐角得 a=，故有a=（）由（）知cosa=，所以f（x）=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=2，因为xr，所以sinx1，1，因此，当sinx=时，f（x）有最大值，当sinx=1时，f（x）有最小值3，所以所求函数f（x）的值域是3，点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题21（10分）（2012福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）sin213+cos217sin13cos17（2）sin215+cos215sin15cos15（3）sin218+cos212sin18cos12（4）sin2（18）+cos248sin2（18）cos48（5）sin2（25）+cos255sin2（25）cos55（）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论考点：分析法和综合法；归纳推理专题：计算题分析：（）选择（2），由sin215+cos215sin15cos15=1sin30=，可得这个常数的值（）推广，得到三角恒等式sin2+cos2（30）sincos（30）=证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +sin（cos30cos+sin30sin），即 1+cos2+sin2sin2，化简可得结果解答：解：选择（2），计算如下：sin215+cos215sin15cos15=1sin30=，故 这个常数为（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2+cos2（30）sincos（30）=证明：（方法一）sin2+cos2（30）sincos（30）=sin2+sin（cos30cos+sin30sin）=sin2+cos2+sin2+sincossincossin2=sin2+cos2=（方法二）sin2+cos2（30）sincos（30）=+sin（cos30cos+sin30sin）=1+（cos60cos2+sin60sin2）sin2sin2=1+cos2+sin2sin2=1+=点评：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题22（12分）如图，已知正方形abcd在直线mn的上方，边bc在直线mn上，e是线段bc上一点，以ae为边在直线mn的上方作正方形aefg，其中ae=2，记fen=，efc的面积为s（）求s与之间的函数关系；（）当角取何值时s最大？并求s的最大值考点：已知三角函数模型的应用问题专题：应用题；数形结合；方程思想；转化思想分析：（）观察图形知，ef=2，eab=feh=，可将ec用表示出来，再由三角形的面积公式建立s与之间的函数关系；（）由（i）得s=2sincos2sin2，其中，对函数的解析式进行化简，再求三角函数的最值即可得到s的最大值解答：解：（）过点f作fhmn，h为垂足由三角知识可证明eab=feh=，fh=be2 分在rtabe中，eb=aesin=2sin，bc=ab=aecos=2cos所以ec=bceb=2cos2sin4 分所以fce的面积s=2sincos2sin2，其中（6分）（）由（）可知s=2sincos2sin2=（9分）由，得，当，即时，（11分）因此，当时，efc的面积s最大，最大面积为12 分点评：本题考查已知三角函数的模型的应用问题，解题的关键是根据所研究的问题及图形建立三角函数关系，再利用三角函数的知识求最值，得出实际问题的解，本题第二小问求面积的最值