厄米算符的本征值与本征函数.pdf

3 5 厄米算符的本征值与本征函数 1 厄米算符的平均值厄米算符的平均值 定理定理 I 体系任何状态 下 其厄米算符的平均值必为实数 证明 逆定理 逆定理 在任何状态下 平均值均为实数的算符必为厄米算符 证明 推论 推论 设 为厄米算符 则在任意态 之下 2 2 AdA dAA 0 2 厄米算符的本征方程厄米算符的本征方程 1 涨落 涨落定义为 2 A 2 AA 证明证明 2 A 2 0 AA 2 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态 在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的 即 2 0A 则称这种状态为力学量 A 的本征态 AA 0 或 A 常数 可把常数记为An 把状态记为 n 于是得 nn AA n 1 其中An n分别称为算符 的本征值和相应的本征态 式 1 即算符 的本征方程 定理定理 II 厄米算符的本征值必为实 证明 3 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示量子力学中的力学量用线性厄米算符表示 1 表示力学量的算符必为线性算符 2 表示力学量的算符必为厄密算符 例 1 dxxdxx xQ为实数 例 2 xx pdxpdx 例 3 证明 2 2 x p HV m x为厄密算符 综上所述综上所述 表示力学量的算符必为线性 厄密算符 线性厄密算符不一定是力学量算符 1 3 力学量算符和力学量之间的关系 测量力学量A时所有可能出现的值 都对应于线性厄米算符 的本征值An 即测量值是本征值之 一 该本征值由力学量算符 的本征方程 nn AA n 1 2 n L 当体系处于 的本征态 n时 则每次测量所得结果都是完全确定的 即An 4 厄米算符的本征函数的正交性厄米算符的本征函数的正交性 1 正交性的定义 如果两函数 1和 2满足关系式 则称 0 2 1 d 1和 2相互正交 2 定理定理 III 厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 证明证明 mnmmn AdAd mnmn AdAd nmn Ad 3 分立谱 连续谱正交归一表示式 分立谱正交归一条件分别为 1 nnd 归一化条件 0 mnd mn 正交性 引用 mn称为克朗内克 Kronecker 符号 它具有如下性质 0 1 mn mn mn 把 3 与 4 式合写为 mnmn d 连续谱正交归一条件表示为 d 正交归一系 满足上式的函数系 n或 称为正交归一 函数 系 5 简并情况简并情况 如果 的本征值An是fn度简并的 则属于本征值An的本征态有fn个 n 1 2 fn 满足本征方程 2 nn AA n 1 2 n f L 一般说来 这些函数并不一定正交 但是可以证明由这 fn 个函数可以线性组合成fn 个独立的新函 数 它们仍属于本征值An且满足正交归一化条件 算符 本征值An简并的本质是 当An确定后还不能唯一的确定状态 要想唯一的确定状态还得寻 找另外一个或几个力学量算符 算符与这些算符两两对易 其本征值与An一起共同确定状态 综合上述讨论可得如下结论 既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的 所以以后凡是 提到厄米算符的本征函数时 都是正交归一化的 即组成正交归一系 6 实例实例 1 动量本征函数组成正交归一系 pprdrr pp vvvvv vv 当pp vv 时 0 rdrr pp vvv vv 即属于动量算符不同本征值的两个本征函数与 p v p v 相互正交 这是所有厄密算符的本征函数所共 有的 2 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 线性谐振子的能量本征函数 22 2 1 xHeN n x nn 组成正交归一系 nnnn dx 3 角动量本征函数组成正交归一系 lz 本征函数 角动量算符的本征函数 z l 1 2 im m e 2 1 0 K m 组成正交归一系 2 0 mmm d m 7 本征函数 2 l 3 角动量平方算符属于本征值的本征函数 2 l 2 1 h ll lm Y im m ll