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第二章 流 体 静 力 学 例题解析例题解析 例 2 1例 2 1 如图 2 1 所示测量装置 活塞直径35 d 油的相对密度 水银的相对密度 活塞与缸壁无泄漏和摩擦 当活塞重为 15 时 试计算 形管测压计的液面高差 92 0 油 d 6 13 Hg d700 h h 值 解解 重物使活塞单位面积上承受的压强为 15590 035 0 4 15 4 15 22 d p Pa 列等压面 的平衡方程 hgghp Hg 油 解得h 为 4 1670 0 6 13 92 0 806 913600 15590 h HgHg g p h 油 图 2 1 例 2 1 示意图 例 2 2例 2 2 图 2 2 表示一个两边都承受水压的矩形水闸 如果两边的水深分别为 试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置 m2 1 hm4 2 h 解解 淹没在自由液面下深的矩形水闸的 1 h 形心 2 1 hhy cc 每米宽水闸左边的总压力为 19612 29806 2 1 2 1 1 2 22 1 1 1 1 N gh h h gAghF c 确定的作用点位置 1 F 图 2 2 例 2 2 示意图 Ay I yy c c cp 1 其中通过形心轴的惯性矩 所以 12 3 1 bhIc 即的作用点位置在离底 1 Fm 3 2 3 1 1 h处 淹没在自由液面下深的矩形水闸的形心 2 h2 2 hhy cc 每米宽水闸右边的总压力为 7844849806 2 1 2 1 22 22 ghF 同理作用点的位置在离底 2 Fm 3 2 3 1 2 h处 每米宽水闸上所承受的净总压力为 588361961278448 12 FFF 假设净总压力的作用点离底的距离为 可按力矩方程求得其值 围绕水闸底O 处的力矩应该平衡 即 h 33 1 1 2 2 h F h FFh 56 1 588363 219612478448 3 1122 F hFhF h 例例 2 3 如图 2 3 所示 用平板闸门关闭水池出水口 平板左侧挡水 右侧接触大气 平板上端有铰轴 已知 2m 1 hL 3m 宽度 垂直纸面 4m 平板用均质材料制成 自重G 8 10 B 5N 设开启闸门时 要求提升力 1 5 试确定闸门倾角TG 的取值 解解 设轴沿平板向下 原点在平板延长线与液面的交点处 y 平板所受的静水总压力大小为 LB L hgAghF c sin 2 1 方向垂直指向平板 作用点 D 的位置 距原点的距离 图 2 3 例 2 3 示意图 LB hL BLhL sin2 12 sin2 1 3 1 Ay I yy c cx cD 于是 D 点距铰轴的距离为 y sin2 12 2 1 2 hL LL sin 1 h yy D 根据合力矩定理 对铰轴取矩 FyGLTL cos 2 1 cos 其中 32 1 sin 3 1 2 1 LLhgBFy 代入上式化简后得 cos sin1 8 6 将 2 sin1cos 代入上式 得 24 47 24 45 sin 即 o 27 73 例例 2 4 如图 2 4 所示的贮水容器 其壁面上有三个半球形盖 设 1m 1 5m dh H 2 5m 试求作用在每个盖上的液体总压力 解解 1 底盖上所受到的力 作用在底盖左半部分和右半部分的总压力的水平分力相等 而方向相反 故水平分力的 合力为零 底盖上的总压力等于总压力的垂直分力 实压力体 垂直分力向下 3 27586 12 1 75 05 2 4 1 806 91000 1224 3232 11 dh H d ggVF pz N 2 顶盖上总压力的水平分力也为零 总压力等于总压力的垂直分力 虚压力体 垂直分 力向上 2 10906 12 1 75 05 2 4 1 806 91000 1224 3232 22 dh H d ggVF pz N 3 侧盖上总压力的水平分力为 2 19246 4 1 5 2806 91000 4 22 d gH 3 AghF xcx N 实压力体 垂直分力向下 垂直分力大小为 2 2566 12 1 806 91000 3 12 3 3 d gFzN 故侧盖上总压力的大小和方向为 5 194162 25662 19246 22 2 3 2 33 zx FFFN 总压力的作用线一定通过球心 与垂直线夹角为 图 2 4 例 2 4 示意图 o 4 82 2 2566 2 19246 arctan arctan 3 3 z x F F cm RRRRh5533 1cos1cos Example E2 1 An inverted U tube of the form shown in Fig E2 1 is used to measure the pressure difference between two points A and B in an inclined pipeline through which water is flowing kg m 3 10 2 OH 3 The difference of level h 0 3m a 0 25m and b 0 15m Calculate the pressure difference if the top of the manometer is filled with a air b oil of relative density 0 8 AB PP Solution In either case the pressure at X X will be the same in both limbs so that hbgpghgaPP BmanAXX manAB ghabgpp a If the top is filled with air man is negligible compared with Therefore habgghabgpp AB Putting 0 15m 0 25m 0 3m 10 33 2 kgm OH bah 1 962 10 3N m 3 025 015 0 81 9103 AB pp 2 b If the top is filled with oil of relative density 0 8 3 108 08 0 2 OHman kg m3 manAB ghabgpp 8 01 103 081 9 25 015 0 81 910 33 06 01 0 81 9103 392 0 N m2 Fig E2 1 schematic view of example E2 1 Example E2 2 A sluice gate is in the form of a circular arc of radius 6 m as shown in Fig E2 2 Calculate the magnitude and direction of the resultant force on the gate and the location with respect to O of a point on its line of action Fig E2 2 schematic view of example E2 2 Solution Since the water reaches the top of the gate Depth of water 630sin62 o hm Horizontal component of force on gate per unit length h R Resultant force on PQ per unit length 2 2 2 ghhhg 2 3681 910 3 kN 58 176 Vertical component of force on gate per unit length V R Weight of water displaced by segment PSQ Sector gOPQOPSQ 81 91030cos630sin66360 60 3002 32 00kN Resultant force on gate 22 vh RRR 46 179 00 3258 176 22 kN If R is inclined at an angle to the horizontal 18122 058 176 00 32 tan hV RR to the horizontal 0 27 10 Since the surface of the gate is cylindrical the resultant force R must pass through O 习题答案习题答案 2 1 kPa 112 212 A p 2 2 Pa Pa 08 14059 v p92 87265 p 2 3 a Pa b Pa c 980 e p 4 813 e p12348 e pPa 2 4 m 305 1 h 2 5 Pa 6 166 p 2 6 Pa 4 13406 e p 2 7 1 kPa 2 A p287 79563 31 Be pkPa 2 8 kPa A p377 105 2 9 1 Pa 2 93 1385 BA pp35 Lcm 2 10 Pa m 6664 p68 0 2 h 2 11 m 4 h86 1 2 12 Pa p386944 2 13 cm 85 113 h 2 14 862 0 B d 2 15 kPa 853 72 BA pp 2 16 m 065 3 h 2 17 Pa B p161802 2 18 kPa 82 38 A p 2 19 1 N 2 N 98 F95 1 G 2 20 证明 略 2 21 N m 距 A 点 12 322267 F D y171 4 2 22 1 m 2 稳固 75 3 x 2 23 m 877 0 h 2 24 m m 414 1 1 y586 2 2 y 2 25 N m 距液面 52 35034 F266 2 D y 2 26 N m 距液面 55 19392 F58 2 D y 2 27 N 26672 B F 2 28 N N 6 16409 x p1 25763 z p 2 29 kN F37 246 2 30 N N 29400 A F1161 B F 2 31 N 7 400 F 2 32 N 8 71613 F 2 33 1 2 4900hFx arcsin 22 9800 2 22 R hR hR h F