2012朝阳区期末试卷理科详解.pdf

1 笔者前语笔者前语笔者前语笔者前语 因为解答题都有详细解答因为解答题都有详细解答因为解答题都有详细解答因为解答题都有详细解答 为节省时间为节省时间为节省时间为节省时间 主要是编者比较懒主要是编者比较懒主要是编者比较懒主要是编者比较懒 故只对没有故只对没有故只对没有故只对没有 详解的选择和填空进行了解析详解的选择和填空进行了解析详解的选择和填空进行了解析详解的选择和填空进行了解析 因编者能力有限因编者能力有限因编者能力有限因编者能力有限 不足与缺陷之处请多包涵不足与缺陷之处请多包涵不足与缺陷之处请多包涵不足与缺陷之处请多包涵 如有任何疑义或更好解法如有任何疑义或更好解法如有任何疑义或更好解法如有任何疑义或更好解法 请读者老师上传请读者老师上传请读者老师上传请读者老师上传 大家一起进步和提高大家一起进步和提高大家一起进步和提高大家一起进步和提高 也可联系也可联系也可联系也可联系 笔者笔者笔者笔者 王凯王凯王凯王凯 世纪城校区世纪城校区世纪城校区世纪城校区 邮箱邮箱邮箱邮箱 wangkai 请支持请支持请支持请支持与尊重与尊重与尊重与尊重原创原创原创原创 作品作品作品作品 谢谢谢谢谢谢谢谢 北京市朝阳区 2011 2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷 理工类 2012 1 考试时间 120 分钟 满分 150 分 本试卷分为选择题 共 40 分 和非选择题 共 110 分 两部分 第一部分第一部分第一部分第一部分 选择题选择题选择题选择题 共共共共 40 分分分分 注意事项注意事项注意事项注意事项 考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上答无效在试卷上答无效在试卷上答无效在试卷上答无效 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 已知平面向量 3 1 a 3 x b 且a b 则实数x的值为 A 9 B 1 C 1 D 9 解析 03301aba bxx 选 C 2 设集合 U 1 2 3 4 2 5M xU xx p 0 若 2 3 U C M 则实数p的值 为 A 4 B 4 C 6 D 6 解析 由条件可知 1 4 是 2 5xx p 0 的两根 则1 44p 选 B 3 设数列 n a是公差不为 0 的等差数列 1 1a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项 和 n S等于 A 2 7 88 nn B 2 7 44 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 解析 1 1a 且 2 316 1 4 aa ad 2 7 88 n nn S 选 A 2 4 执行如图所示的程序框图 输出的S值为 A 1 B 1 C 2 D 0 解析 循环运算可得选项 D 5 已知函数 sin3cosf xxx 设 7 af 6 bf 3 cf 则 a b c的 大小关系是 A abc B cab C bac D bca 解 析 sin3cos2sin 3 f xxxx 函 数 f x在 0 6 上 递 增 0 3 cff 0 63 fffcab 经过 6 次操作后扩充所得的数为 1 1 1 mn qp m n为正整数 则 m n的值分别为 解析 第一次扩充 1 1 1p q qp 第二次扩充 2 1 1 1 1 1 1q qpqp 第三次扩充 223 1 1 1 1 1 1 1 1 1qpqpqp 第四次扩充 22335 1 1 1 1 1 1 1 1 1qpqpqp 5 第五次扩充 233558 1 1 1 1 1 1 1 1 1qpqpqp 第六次扩充 3558813 1 1 1 1 1 1 1 1 1qpqpqp 所以 m n的值 分别为 8 和 13 寻找规律寻找规律寻找规律寻找规律 每次扩充后每次扩充后每次扩充后每次扩充后新数新数新数新数的的的的1 1 pq 项的指数满足斐波那契数列项的指数满足斐波那契数列项的指数满足斐波那契数列项的指数满足斐波那契数列 性质性质性质性质 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本题满分 13 分 在锐角ABC 中 a b c分别为内角A B C所 对的边 且满 足 32 sin0abA 求角B的大小 若5ac 且ac 7b 求AB AC uuu r uuur 的值 15 本小题满分 13 分 解 因为32 sin0abA 所以3sin2sinsin0ABA 2 分 因为sin0A 所以 2 3 sin B 3 分 又B为锐角 则 3 B 5 分 由 可知 3 B 因为7b 根据余弦定理 得 22 72cos 3 acac 7 分 整理 得 2 37acac 由已知 5ac 则6ac 又ac 可得 3a 2c 9 分 于是 222 7497 cos 2144 7 bca A bc 11 分 所以 7 coscos271 14 AB ACAB ACAcbA uuu r uuuruuu r uuur 13 分 6 16 本题满分 13 分 如图 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域 用力旋转转盘 转盘停止转动时 箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数 箭头指向两个 区域的边界时重新转动 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相 等的 在一次家庭抽奖的活动中 要求每个家庭派一位儿童和一 位成人先后分别转动一次游戏转盘 得分情况记为 a b 假设儿 童和成人的得分互不影响 且每个家庭只能参加一次活动 求某个家庭得分为 5 3 的概率 若游戏规定 一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和 且得分大于等于 8 的家庭 可以获得一份奖品 请问某个家庭获奖的概率为多少 若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动 在 的条件下 记获奖的家庭数为X 求X 的分布列及数学期望 16 本小题满分 13 分 解 记事件 A 某个家庭得分情况为 5 3 111 339 P A 所以某个家庭得分情况为 5 3 的概率为 1 9 4 分 记事件 B 某个家庭在游戏中获奖 则符合获奖条件的得分包括 5 3 5 5 3 5 共 3 类情况 所以 1111111 3333333 P B 所以某个家庭获奖的概率为 1 3 8 分 由 可知 每个家庭获奖的概率都是 1 3 所以 1 5 3 XB 005 5 1232 0 33243 P XC 114 5 1280 1 33243 P XC 223 5 1280 2 33243 P XC 332 5 1240 3 33243 P XC 5 5 3 2 3 2 A 7 441 5 1210 4 33243 P XC 550 5 121 5 33243 P XC 11 分 所以X分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 所以 15 5 33 EXnp 所以X的数学期望为 5 3 13 分 17 本题满分 13 分 如图 在四棱锥SABCD 中 平面SAD 平面ABCD 底面ABCD为矩形 2 3ADa ABa SASDa 求证 CDSA 求二面角CSAD 的大小 17 本小题满分 13 分 证明 因为平面SAD 平面ABCD CDAD 且面SADI面ABCDAD 所以CD 平面SAD 又因为SA 平面SAD 所以CDSA 6 分 由 可知 CDSA 在SAD 中 SASDa 2ADa 所以SASD 所以SA 平面SDC 即SASD SASC 所以CSD 为二面角CSAD 的平面角 在Rt CDS 中 3 tan3 CDa CSD SDa 所以二面角CSAD 的大小 3 13 分 法二 取BC的中点E AD的中点P 在SAD 中 SASDa P为AD的中点 所以 SPAD 8 又因为平面SAD 平面ABCD 且平面SADI平面ABCDAD 所以 SP 平面ABCD 显然 有PEAD 1 分 如图 以 P 为坐标原点 PA 为 x 轴 PE 为 y 轴 PS 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 2 0 0 2 Sa 2 0 0 2 Aa 2 3 0 2 Baa 2 3 0 2 Caa 2 0 0 2 Da 3 分 易知 22 0 3 0 0 22 CDaSAaa uuuruur 因为0CD SA uuu r uur 所以CDSA 6 分 设 x y z n为平面CSA的一个法向量 则有 0 0 SA CA uur uuu r n n 即 22 0 22 230 axaz axay 所以 3 2 3 n 7 分 显然 EP 平面SAD 所以PE uuu r 为平面SAD的一个法向量 所以 0 1 0 m为平面SAD的一个法向量 9 分 所以 21 cos 22 2 n m 所以二面角CSAD 的大小为 3 13 分 18 本题满分 13 分 已知函数 1 ln 1 1 x f xax x 0 x a为正实数 若1a 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 若函数 f x的最小值为1 求a的取值范围 18 本小题满分 13 分 解 当1a 时 1 ln 1 1 x f xx x 9 则 2 12 1 1 fx xx 2 分 所以 1 0 f 又 1 ln2f 因此所求的切线方程为ln2y 4 分 2 22 22 1 1 1 1 aaxa fx axxaxx 5 分 1 当20a 即2a 时 因为0 x 所以 0fx 所以函数 f x在 0 上单调递增 6 分 2 当20a 即02a 时 令 0fx 则 2 20axa 0 x 所以 2a x a 因此 当 2 0 a x a 时 0fx 所以函数 f x的单调递增区间为 2 a a 函数 f x的单调递减区间为 2 0 a a 10 分 当2a 时 函数 f x在 0 上单调递增 则 f x的最小值为 0 1f 满足题意 11 分 当02a 的离心率为 1 2 直线l过点 4 0 A 0 2 B 且 与椭圆C相切于点P 求椭圆C的方程 是否存在过点 4 0 A的直线m与椭圆C相交于不同的两点M N 使得 10 2 3635APAMAN 若存在 试求出直线m的方程 若不存在 请说明理由 19 本小题满分 14 分 解 由题得过两点 4 0 A 0 2 B直线l的方程为240 xy 1 分 因为 1 2 c a 所以2ac 3bc 设椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc 由 22 22 240 1 43 xy xy cc 消去x得 22 4121230yyc 又因为直线l与椭圆C相切 所以 22 124 4 123 0c 解得 2 1c 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 5 分 易知直线m的斜率存在 设直线m的方程为 4 yk x 6 分 由 22 4 1 43 yk x xy 消去y 整理得 2222 34 3264120kxk xk 7 分 由题意知 2222 32 4 34 6412 0kkk 解得 11 22 k 8 分 设 11 M x y 22 N xy 则 2 12 2 32 34 k xx k 2 12 2 6412 34 k x x k 9 分 又直线 240l xy 与椭圆 22 1 43 xy C 相切 由 22 240 1 43 xy xy 解得 3 1 2 xy 所以 3 1 2 P 10 分 则 245 4 AP 所以 364581 3547 AMAN 又 2222 1122 4 4 AMANxyxy 11 222222 1122 4 4 4 4 xkxxkx 2 12 1 4 4 kxx 2 1212 1 4 16 kx xxx 22 2 22 641232 1 416 3434 kk k kk 2 2 36 1 34 k k 所以 2 2 3681 1 347 k k 解得 2 4 k 经检验成立 13 分 所以直线m的方程为 2 4 4 yx 14 分 20 本题满分 14 分 数列 n a n b 1 2 3 n L 由下列条件确定 11 0 0ab 当2k 时 k a与 k b满足 当0 11 kk ba时 1 kk aa 2 11 kk k ba b 当0 11 L 21 3s 且 s N 试 用 11 b a表 示 k b 2 1 skL 在 的条件下 设数列 n c n N满足 2 1 1 c 0 n c 2 2 1 2 m nnn m ccc ma 其中m为给定的不小于 2 的整数 求证 当mn 时 恒有 1 n c 20 本小题满分 14 分 解 因为0 11 ba 所以1 12 aa 0 2 11 2 ba b 12 因为01 22 ba 所以 2 1 2 22 3 ba a 0 23 bb 因为 33 1 0 2 ab 所以 33 4 1 24 ab a 43 0bb 所以 1234 11 1 1 24 aaaa 2 分 由此猜想 当2 k时 0 11 kk ba 则 22 111 kkk k aba a 1 0 kk bb 3 分 下面用数学归纳法证明 当2k 时 已证成立 假设当kl l N 且2l 猜想成立 即 11 0 ll ab 1 0 ll bb 1 0 2 l l a a 当1kl 时 由 1 0 2 l l a a 1 0 ll bb 得0 ll ab 则 1 0