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重积分一、二重积分的概念及性质定义 设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成几个小闭区域 ， 其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在上任取一点（），作乘积f（）（i=1，2，n），并作和，如果当各小闭区域的直径中最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作即 其中f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）d叫做被积表达式，d叫做面积元素，x，y叫积分变量，D叫积分区域， 叫做积分和。特别为边长是和的矩形闭区域，则 因此，在直角坐标系中，有时也把面积元素记作性质： 性质1 （k为常数） 性质2 加减性 性质3 可加性 D分为两个闭区域D1与D2则 性质4 若在D上，f（x，y）=1，为D的面积，则 性质5 保序性 若在D上，f（x，y）g（x，y），则 性质6 有界性 性质7 二重积分的中值定理 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少至在一点（，）使得下式成立： 二、二重积分的计算 设积分区域D可以用不等式 ，来表示，如图其中在区间a，b上连续则 先对y，后对x的二次积分。 类似地，如果积分区域可用不等式。，来表示，如图其中，在区间c，d上连续，则 先对x，后对y的二次积分。 注：二重积分化为二次积分，关键在于确定积分限例1 计算其中D是由直线y=1，x=2，y=x所围成的闭区域。 解：确定积分区域D（如图） x的变动范围是区间1，2； 确立的x，y的变动范围从y=1到y=x 所以 例2 计算其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：画出积分区域D（如下图） y的变动范围是1，2 固定y，x以y2变到y+2，所以 注：若先确定x的变化范围是0，4则 由性质3来计算 利用极坐标计算重积分 设积分区域D可用不等式 ，来表示（如图）其中在区间，上连续。 二重积分化为二次积分。 例 计算 其中D是由中心在原点，半径为a的为圆周所围成的闭区域解：在极坐标系中，闭区域D可表为 ， 从而 三、二重积分的应用 1. 曲面的面积 设曲面的面积方程 D为曲面s在xoy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上有连续的偏导数，fx（x，y）及fy（x，y），则曲面的面积为 或 例 求球面含在圆柱面内部的那部分面积。解： 取上半球面则含在圆柱面在xoy区域的投影D为 由对称性只考察在xoy的第一象限，其总面积为这个面积的4倍。由 得 由于在D上无界，取 利用极坐标考察。由于在第一象限 又由于有得出 平面薄片的重心 设一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度D为，假定在D上连续，其重心坐标为 平面薄片的转动惯量 设有一薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度为，假定在D是连续。 该薄片对于x轴的转动惯量。 对于y轴的转动惯量为 三重积分的概念及计长 定义 设f（x，y，z）是空间有界闭域上的有界函数，将任意分成n个小闭区域。 其中表示第i个小闭区域，也表示它的体积，在每个上任取一点（i，i，i），作乘积 （i=1，2，n）并作和 如果当各小闭区域直径中最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y，z）在闭区域上的三重积分。记作 即 其中dv叫体积元素 可以看作 dv=dxdydz三重积分可化为三次积分来计算 关键在于找出积分区域 例 计算三重积分 其中是由椭球面围成的空间闭区域。 解：空间闭域可表示为 （如图）得 例 计算其中为平面x=0，y=0，