（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练2 新人教A版.doc

名校专题-圆锥曲线培优训练21、设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若p是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （）是否存在过点a（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点c、d，使得|f2c|=|f2d|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解：易知 2分设p（x，y），则 4分， ，即点p为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点p为椭圆长轴端点时，有最大值4 6分（）假设存在满足条件的直线l易知点a（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为 8分由方程组依题意 10分当时，设交点c，cd的中点为r，则 又|f2c|=|f2d| 13分20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|f2c|=|f2d|综上所述，不存在直线l，使得|f2c|=|f2d| 14分2、已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆c 的标准方程；（2）过椭圆c 的右焦点作直线交椭圆c于、两点，交轴于点，若， ，求证：.解：设椭圆c的方程为 （），1分抛物线方程化为，其焦点为， 2分则椭圆c的一个顶点为，即 3分由，所以椭圆c的标准方程为 6分（2）证明：易求出椭圆c的右焦点， 7分设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入方程 并整理，得 9分， 10分又，而 ， ，即，12分所以 14分3、已知点的坐标分别是，直线相交于点m，且它们的斜率之积为（1）求点m轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）解：（1）设点的坐标为，2分整理，得（），这就是动点m的轨迹方程4分（2）方法1：如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为（） 5分将代入，得，6分由，解得7分设，则 8分令，则，即，即，且9分由得，即11分且且解得且13分，且obe与obf面积之比的取值范围是14分方法2：如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为 5分将代入，整理，得，6分由，解得7分设，则 8分令，且9分将代入，得即11分且，且即且解得且13分，且故obe与obf面积之比的取值范围是14分4、已知直线交于a、b两点，过a、b两点的圆与抛物线在a（其中a点在y轴的右侧）处有共同的切线. （1）求圆m的方程； （2）若圆m与直线y=mx交于p、q两点，o为坐标原点，求证：为定值. 解：（1）由 2分抛物线在a处的切线斜率为，设圆的方程为，由切线性质得 又圆心在ab的中垂线上，即 6分由得圆心圆m的方程为 8分 （2）由10分设，11分又，13分14分5、椭圆g：的两个焦点为f1、f2，短轴两端点b1、b2，已知f1、f2、b1、b2四点共圆，且点n（0，3）到椭圆上的点最远距离为 （1）求此时椭圆g的方程； （2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆g相交于不同的两点e、f，q为ef的中点，问e、f两点能否关于过点p（0，）、q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由解：（1）根据椭圆的几何性质，线段f1f2与线段b1b2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心1分，故该椭圆中即椭圆方程可为3分设h（x,y）为椭圆上一点，则4分若，则有最大值5分由（舍去）6分若7分由所求椭圆方程为8分（2）设，则由 两式相减得又直线pq直线m 直线pq方程为将点q（）代入上式得，11分由得q（）12分而q点必在椭圆内部，由此得故当时，e、f两点关于点p、q的直线对称14分6、已知椭圆两焦点分别为f1、f2，p是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过p作倾斜角互补的两条直线pa、pb分别交椭圆于a、b两点. （1）求p点坐标； （2）求证直线ab的斜率为定值； （3）求pab面积的最大值。解：（1）由题可得，设则，2分，点在曲线上，则，从而，得.则点p的坐标为. 5分（2）由题意知，两直线pa、pb的斜率必存在，设pb的斜率为，6分则bp的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，.9分所以：ab的斜率为定值. 10分（3）设ab的直线方程：.由，得，由，得，p到ab的距离为，12分则 。当且仅当取等号 三角形pab面积的最大值为。14分7、椭圆c的中心为坐标原点o，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点p（0，m），与椭圆c交于相异两点a、b，且（1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设c：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc，故c的方程为：y21 4分（2）由得（），（1），14，36分设l与椭圆c交点为a（x1，y1），b（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 9分3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240，整理得4k2m22m2k22011分m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 14分8、已知直线与椭圆相交于a、b两点. （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段ab的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为f1，求abf1的面积。解：（1） （3分）椭圆的方程为 （4分）联立 （5分） （8分）（10分）（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为f1（-1，0），直线ab的方程为x+y-1=0, 所以点f1到直线ab的距离d=, （12分）又|ab|=， abf1的面积s= （14分）9、已知椭圆的离心率为，f为椭圆在x轴正半轴上的焦点，m、n两点在椭圆c上，且，定点a（4，0）. （1）求证：当时.，； （2）若当时有，求椭圆c的方程； （3）在（2）的条件下，当m、n两点在椭圆c运动时，当 的值为6时, 求出直线mn的方程.解：（1）设，则，当时， （2分）由m，n两点在椭圆上，若，则（舍去）， （4分） 。（5分） （2）当时，不妨设 （6分）又， （8分）椭圆c的方程为。 （9分） （3）因为=6, （10分）由(2)知点f(2,0), 所以|af|=6, 即得|ym-yn|= （11分）当mnx轴时, |ym-yn|=|mn|=, 故直线mn的斜率存在, （12分）不妨设直线mn的方程为联立，得，=, 解得k=1。此时，直线的mn方程为，或。 （14分）10、抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点n的距离相等，圆n是以n为圆心，同时与直线 相切的圆，（）求定点n的坐标；（）是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于a、b两点，且ab中点为； 被圆n截得的弦长为解：（1）因为抛物线的准线的方程为所以，根据抛物线的定义可知点n是抛物线的焦点， -2分所以定点n的坐标为 -3分（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， -4分设的方程为， -5分以n为圆心，同时与直线 相切的圆n的半径为， -6分方法1：因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -7分即，解得， -8分当时，显然不合ab中点为的条件，矛盾！ -9分当时，的方程为 -10分由，解得点a坐标为， -11分由，解得点b坐标为， -12分显然ab中点不是，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法2：由，解得点a坐标为， -7分由，解得点b坐标为， -8分因为ab中点为，所以，解得， -10分所以的方程为，圆心n到直线的距离， -11分因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法3：假设a点的坐标为，因为ab中点为，所以b点的坐标为， -8分又点b 在直线上，所以， -9分所以a点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为， -10分圆心n到直线的距离， -11分因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分11、已知圆方程为：.（）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为 满足题意 1分若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得 3分 ，故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 7分 （）设点的坐标为（），点坐标为则点坐标是9分， 即， 11分 又， 点的轨迹方程是， 13分 轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 14分 12、抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点n的距离相等，圆n是以n为圆心，同时与直线 相切的圆，（）求定点n的坐标；（）是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于a、b两点，且ab中点为； 被圆n截得的弦长为2；解：（1）因为抛物线的准线的方程为所以，根据抛物线的定义可知点n是抛物线的焦点， -2分所以定点n的坐标为 -3分（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， -4分设的方程为， -5分以n为圆心，同时与直线 相切的圆n的半径为， -6分方法1：因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -7分即，解得， -8分当时，显然不合ab中点为的条件，矛盾！ -9分当时，的方程为 -10分由，解得点a坐标为， -11分由，解得点b坐标为， -12分显然ab中点不是，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法2：由，解得点a坐标为， -7分由，解得点b坐标为， -8分因为ab中点为，所以，解得， -10分所以的方程为，圆心n到直线的距离， -11分因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法3：假设a点的坐标为，因为ab中点为，所以b点的坐标为， -8分又点b 在直线上，所以， -9分所以a点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为， -10分圆心n到直线的距离， -11分因为被圆n截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分13、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，1分 其中，则2分所以动点m的轨迹方程为4分（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，7分， 9分由方程组 得11分则，代入，得即，解得，或13分所以，直线的方程是或14分14、已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意 2分若直线不垂直于轴，设其方程为，即 3分设圆心到此直线的距离为，则，得 ， 故所求直线方程为 5分综上所述，所求直线为或 6分（）设点的坐标为，点坐标为 则点坐标是 7分， 即， 9分又， 10分由已知，直线m /ox轴，所以， 11分点的轨迹方程是， 12分轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。 14分15、设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线。（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线2分 曲线方程是4分（2）设圆的圆心为，圆过，圆的方程为