§14.12 双曲线的生成及主要参数.doc

课 题1412 双曲线的生成及主要参数预备知识轨迹的概念重 点 圆锥曲线的生成及定义难 点 双曲线和抛物线定义的思想方法 焦点、离心率及渐近线的概念教学目标 了解圆锥曲线的生成方法 掌握圆锥曲线的几何定义 了解圆锥曲线的各主要参数的含义 掌握圆锥曲线参数之间的换算关系，并能由参数判断圆锥曲线的形状教学过程 双曲线的生成及主要参数(1)双曲线的生成类似于椭圆的生成方法，人们也考虑到两个定点距离之差为一正常数的动点的轨迹是怎样的同样，我们可以先以实验方式描出它取两根细绳，一端分别固定在定点F1，F2处，另一端穿过一个能紧箍细绳的扣子，拉紧F1、F2之间的细绳，用一支铅笔紧贴扣子，设此时的铅笔尖位于点P处(如图14-4(1)在张紧PF1、PF2的前提下逐渐放长PF2、PF1，两条细绳每次放长相同的长度，于是笔尖P在移动过程中保持到两个定点的距离差不变，因此铅笔尖在纸面会画出一条曲线，它就是所求的轨迹(如图14-4(2) OF1图14-4(2)F2PA1AF1图14-4(1)F2P注意：笔尖可以向上移动，也可以向下移动，因此在F1、F2连线的上、下两侧都有轨迹如果图14-4(1)中笔尖P的初始位置偏在定点F1一侧P1处，且P1F2- P1F1=PF1-PF2，按同样方法，还可以得到图14-4(2)上左半支轨迹因此所求的轨迹实际上有左右两支OF1图14-5F2A1A2c2a到两个定点距离之差的绝对值为一常数的动点的轨迹，即图14-4(2)所示的两支曲线叫做双曲线(2)双曲线的主要参数 为了具体描述双曲线的形状，标记两个定点间连线F1F2与双曲线的交点为A、A1，线段F1F2的中点为O (见图14-5)记OA=a， OF2=cA，A1叫做顶点；定点F1，F2叫做焦点；线段AA1（长2a）叫做实轴，a叫做实半轴长； F1F2的中垂线叫做虚轴；F1F2长2c叫做焦距，c叫做半焦距从生成方法可知，任何双曲线的焦距必定大于长轴，即a1) (14-1-3)叫做双曲线的离心率如同椭圆的离心率能表征椭圆的“扁”、“圆”程度一样，双曲线的离心率能表征它张口的“大”、“小”如图14-6(1)，相同的a，当c越大(即e越大)，得到的双曲线的张口也较“大”，反之则张口越“小”通过作轨迹图来判断张口大小是很不方便的，为此我们以如下公式引进双曲线的另一个正参数b： b2=c2-a2， 即b=或c2=a2+b2或c= (14-1-4)其中，b叫做虚半轴长，而2b叫做虚轴长作一个如图14-6(2)(3)那样的定界矩形，它以O为中心，边长为2a、2b，两条边平行于F1F2，另两条边分别过顶点A、A1再作该定界矩形的两条对角线，立即可见，双曲线不但在对角线之间、与实轴相交，且当它无限延伸时，越来越靠近这两条对角线(见图14-6(2)，(3)，因此把定界矩形的对角线叫做双曲线的渐近线这样，我们根据双曲线的主要参数a，c，e，b，即使不画轨迹，也可以利用顶点、焦点位置、定界矩形及渐近线，作出双曲线的大致图像A1OF1图14-6(1)F22aA1AF1F22c2cF1图4-6(2)F2AF1F2OF1图4-6(3)F2A1AF1F2O2a2c2c2a2b2b课内练习2 求下列双曲线的离心率，焦距，并说明哪一支双曲线的张口“大”一些： 到相距为10 的两个定点的距离之差为6的点的轨迹； 到相距