概率论习题库..pdf

一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 设 A B为两个随机事件 且BA 则下列式子正确的是 A APBAP B P ABP A C P B AP B D P BAP BP A 2 设 2 NX 那么当 增大时 P X A 增大B 不变C 减少D 增减不定 3 设 EX 1X21 XPpoission 分布且则 1B 2C 3D 0 4 设 2 NX 其中 已知 2 未知 123 X X X 为其样本 下列各项 不是统计量的是 321 XXX 123 min X X X 2 3 i 2 i 1 X 1 X 5 在 0 H为原假设 1 H为备择假设的假设检验中 显著性水平为 是 A 00 成立接受HHPB 11 成立接受HHP C 10 成立接受HHPD 01 成立接受HHP 1 A2 B3 A4 C5 D 一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 设 A B为两个随机事件 且AB 则下面正确的等式是 A APBPABP B 1 APABP C BPABP D APBAP 2 设X 2 N 那么概率 2 P X A 随 增加而变大 B 随 增加而减小 C 随 增加而不变 D 随 增加而减小 3 设 1 0 0 5 P XY 2 0 0 5 P XP Y 则 max 0 PX Y A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 4 设总体X 12 n XXX 是取自总体X的一个样本 X为样本均值 则 不是总体期望 的无偏估计量的是 A X B 1 n i i X C 123 0 20 30 5XXX D 123 XXX 5 设总体X 2 N 其中 2 已知 未知 123 XXX为其样本 下列 各项中不是统计量的是 A 123 XXX B 123 min XXX C 23 2 1 i i X D 1 X 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 在一个确定的假设检验的问题中 与判断结果无关的因素有 A 检验统计量 B 显著性水平 C 样本值 D 样本容 量 2 设X 2 N 那么概率 2 P X A 随 增大而变大 B 随 增大而减小 C 随 增大而不变 D 随 增大而不变 3 对于任意随机变量YX 若 YEXEXYE 则 A YX 一定相关 B YX 不相关 C YX 一定独立 D YX 不独立 4 设 2 22 21 22 1 nn 2 2 2 1 独立 则 2 2 2 1 A 22 2 2 1 n B 2 2 2 1 1 2 n C 2 2 2 1 t n D 2 2 2 1 21 2 nn 5 设随机变量X与Y的方差满足 25 36 D XD Y 85D XY 则相关 系数 XY A 0 2 B 0 3 C 0 4 D 0 5 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 在一个确定的假设检验的问题中 与判断结果无关的因素有 A 检验统计量 B 显著性水平 C 样本值 D 样本容 量 2 设X 2 N 那么概率 2 P X A 随 增大而变大 B 随 增大而减小 C 随 增大而不变 D 随 增大而不变 3 对于任意随机变量YX 若 YEXEXYE 则 A YX 一定相关 B YX 不相关 C YX 一定独立 D YX 不独立 4 设 2 22 21 22 1 nn 2 2 2 1 独立 则 2 2 2 1 A 22 2 2 1 n B 2 2 2 1 1 2 n C 2 2 2 1 t n D 2 2 2 1 21 2 nn 5 设随机变量X与Y的方差满足 25 36 D XD Y 85D XY 则相关 系数 XY A 0 2 B 0 3 C 0 4 D 0 5 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 设 A B为对立事件 01P B 则下列概率值为 1 的是 A P A B B P B A C P A B D P AB 2 设 1 2 3 i XPi 且3 则 3 1 321 XXXE A B 4 C 6 D 3 3 若 与 相互独立 且 2 22 2 11 aNaN 则Z 为 A 2 2 2 11 aN B 2121 aaN C 2 2 2 121 aaN D 2 2 2 121 aaN 4 设随机变量X 1 1N 其密度为 f x 分布函数 F x 则下列正确的是 A 0 0 P XP X B 1 1 P XP X C f xfx xR D 1F xFx xR 5 设 X 和 Y 分别是取自正态总体的样本均值和样本方差 且 P X 1 0 2 P Y 2 0 4 则 P X2 A 0 12 B 0 4 C 0 6 D 0 1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 总计分 总计 1818 分 分 1 设 A B为事件 且AB 则下列式子一定正确的是 A P ABP A B P BAP A C P ABP B D P ABP AP B 2 设随机变量X的分布律为 1 k P Xk ak 1 2 k 则a A e B e C 1e D 1e 3 设 2 1 XN 概率密度为 f x 分布函数为 F x 则有 A 1 1 P XP X B 0 0 P XP X C 2 2 P XP X D 1F xFx xR 4 设 2 1 1 5 P XY 3 1 1 5 P XP Y 则 min 1 PX Y A 4 5 B 9 25 C 3 5 D 2 5 5 设随机变量 X Y满足方差 D XYD XY 则必有 A X与Y独立 B X与Y不相关 C X与Y不独立 D 0D X 或 0D Y 6 12 n XXX 是来自正态总体X 2 N 的样本 其中 已知 未知 则下列不是统计量的是 A 4 1 1 4 i i XX B 14 2XX C 4 2 2 1 1 i i KXX D 4 2 1 1 3 i i SXX 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 C 一 单项一 单项选择题 每小题选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 下面 成立时 A 与 B 互为对立事件 A AB B A 与 B 相 互 独 立 C AB 且AB D AB 2 设随机变量X与Y相互独立 且都服从B 1 0 3 那么 A XY B P 1XY C P 0 21XY D P 0 58XY 3 设总体 2 N X 其中 2 未知 容量为n的样本均值和方差分别为 2 x s 则参数 的置信度为1 01 置信区间长度为 A 2 2 1 s tn n B 2 2 s u n C 2 2 1 1 s tn n D 2 2 1 xtn 4 设离散型随机变量 X 的分布函数为 F x 且 11kkk xxx 则 k P Xx A 1 kk P xXx B 11 kk F xF x C 1 kk P xXx D 1 kk F xF x 5 总体 2 N X 1 2 XX是总体X的样本 那么下列 4 个 的无偏估 计中 最有效的是 A 12 11 22 XX B 12 12 33 XX C 12 37 1010 XX D 12 19 1010 XX 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 用 A B C 三个事件可将事件 A B C 至少有一个发生 表示为 2 设有 10 件产品 其中有 1 件次品 今从中任取出 1 件为次品的概 率是 3 设随机变量X与Y相互独立 1 2 0 1 XNYN则随机变量 23ZXY 的概率密度函数 4 设 12 XX是来自X的样本 12 3 AXX 是EX的无偏估计 则A 5 设 4XN 容量9n 均值4 2X 则未知参数 的置信度 0 95 的置信区间为 1 ABC 2 0 1 3 2 15 23 1 3 2 z f ze 4 2 5 2 89 5 51 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 设总体服从 2 N 分布 观察 9 次 算得样本均值为 1 样本均方 差为 3 则 的置信度为 95 的置信区间为 2 设 离 散 型 随 机 变 量X分 布 律 为 5 2k A P Xk 1 2 k 则 A 3 假设总体X服从参数为 的泊松分布 X是样本均值 S是样本均 方差 则对于任意实数 1 2 SXE 4 设 12 XX是来自X的样本 12 32 XXN 是EX的无偏估计 则N 5 2 检验是利用理论与实际的差别大小来检验的 1 1 2 306 2 1 5 3 4 5 5 频数 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 A B为随机事件 0 5P A 0 6P B 0 7P AB 则 P A B 2 设 12 n XXX 相互独立 当n较大时 1 n i i iX 近似服从分布 3 设随机变量X与Y相互独立 0 2 4 4 XNYN则随机变量 21ZYX 服从N 4 取伪 是假设检验中的第类错误 5 设随机变量X的数学期望 7E X 方差 5D X 用切比雪夫不等式估 计得 212PX 1 2 3 2 正态 3 9 18 4 二 5 4 5 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 设 A B是两个随机事件 0 7P A 0 3P AB 则事件 A B同时发生 的对立事件的概率为 2 设有 40 件产品 其中有 4 件次品 从中不放回的任取 10 次 每次 取一件 则最后一件取得为次品的概率是 3 设随机变量X与Y相互独立 4 4 4 0 NYNX 则随机变量 4 Y X 服 从t 4 设随机变量X的数学期望 75E X 方差 5D X 用切比雪夫不等式 估计得 750 05P X 则 5 设 12 XX是来自总体X 2 N 的样本 若 12 2CXX 是 的一个无偏估 计 则常数C 1 0 6 2 0 1 3 1 4 10 5 3 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 设 111 432 P AP B AP A B 则 BAP 2 设 2 0 3XN 容量9n 均值5X 则未知参数 的置信度为 0 95 的置信区间是 查表 0 025 1 96Z 3 设 2D X 25YX 则 XY 4 设随机变量X服从参数为 2 的泊松分布 则应用切比雪夫不等式估 计得 22PX 5 设 1234 XXXX是来自正态总体X 0 4N的样本 则当a 时 22 1234 22Ya XXa XX 2 2 1 1 3 2 4 804 5 196 3 1 4 1 2 5 1 20 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1818 分 分 1 设 A B为随机事件 0 8P A B 0 4P B 则 P A B 2 10 个球队平均分成两组进行比赛 则最强的两个队分到同一组的概 率为 3 设随机变量X在区间 0 1 上服从均匀分布 则 X Ye 的数学期望 为 4 设X pnB为二项分布 且 1 6E X 1 28D X 则n 5 设随机变量X在区间 0 2 上服从均匀分布 用切比雪夫不等式估计 得 12P X 6 设 123 XXX是 来 自 正 态 总 体X 1 N的 样 本 则 当a 时 123 11 32 XXaX 是总体均值 的无偏估计 1 2 32 4 93 1e 4 8 n5 1 126 1 6 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 设 P A 1 3 P B 1 4 且A与B相互独立 则 ABP 2 设随机变量 101 111 236 X 则 2 X 3 1234 XXXX是来自正态总体N 0 4 的样本 22 1234 YXXXX 那么 当c 时 2 2 cY 4 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 其它 0 10 1 x xf则 2 0XP 5 设 D X 4 D Y 9 0 4 XY 则 D X Y 1 11 12 2 01 12 33 3 1 8 4 0 8 5 8 2 三 计算题三 计算题 10 10 分分 设考生的报名表来自三个地区 各有 10 份 15 份 25 份 其中女生的分别为 3 份 7 份 5 份 随机的从一地区 任取一份报名表 求取到一份报名表是女生的概率 解设B为 取得的报名表为女生的 i A为 考生的报名表是第 i 个地区的 i 1 2 3 由全概率公式 2 分 3 i 1 ii P BP A P B A 3 分 131711 31031535 3 分 29 90 1 分 即取到一份报名表为女生的概率为 29 90 1 分 三 计算题三 计算题 10 10 分分 轰炸机轰炸目标 它能飞到距离目标 400 200 100 米 的概率分别为 0 5 0 3 0 2 又设他在距离目标 400 200 100 米 的命中率分别为 0 01 0 02 0 1 求目标被命 中的概率 解 设 123 A A A分别表示 能飞到距离目标 400 200 100 米 的事 件 1 分 B表示事件 目标被命中 1 分 由全概率公式 2 分 3 1 ii i P BP A P B A 2 分 0 5 0 01 0 3 0 02 0 2 0 1 0 031 3 分 目标被命中的概率为0 031 1 分 三 计算题三 计算题 10 10 分分 两个箱子中都有 10 个球 其中第一箱中有 4 个 白球和 6 个红球 第二箱中有 6 个白球和 4 个红球 现从第一箱中 任取 2 个球放入第二箱中 再从第二箱中任取 1 个球 若从第二箱 中取得白球 求从第一箱中取的 2 个球都为白球的概率 解 设A表示 从第二箱中取的 1 个球为白球 1 B表示 从第一箱 中取的 2 个球都为白球 2 B表示 从第一箱中取的 1 白 1 红 3 B 表示 从第一箱中取的 2 个球都为红球 1 分 则 1 P B 2 4 2 10 C C 2 15 2 P B 11 46 2 10 C C C 8 15 3 P B 2 6 2 10 C C 1 3 2 分 1 P A B 2 3 2 P A B 7 12 3 P A B 1 2 4 分 2 分 由贝叶斯公式得 11 1 P A BP B P BA P A 4 分 8 51 1 分 三三 计算题计算题 10 10 分分 某厂有三条流水线生产同一产品 每条流水线的 产品分别占总量的 30 25 45 又这三条流水线的次品率分 别为 0 05 0 04 0 02 现从出厂的产品中任取一件 问恰好取到 次品的概率是多少 解 设A表示 取到次品 i B表示 是第i条流水线生产的产品 1 2 3i 1 分 由全概率公式 2 分 3 1 305254452 6 100100100100100100 0 034 1 ii i P AP B P A B 分 分 三 计算题三 计算题 10 10 分分 有两个口袋 甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球 乙袋中盛有 1 个白球 2 个黑球 从甲袋中任取一球放入乙袋 再从乙袋中任取一球 求取得白球的概率 解 设A表示 从乙袋中取得白球 1 B表示 从甲袋中取出白球 2 B 表示 从甲袋中取出黑球 1 分 则由全概率公式 2 分 2 1 3 2211 3434 5 1 12 ii i P AP B P A B分 3分 分 三三 计算题计算题 10 10 分分 有三个盒子 第一个盒子中有 2 个黑球 4 个白球 第二个盒子中有 4 个黑球 2 个白球 第三个盒子中有 3 个黑球 3 个白球 今从 3 个盒子中任取一个盒子 再从中任取 1 球 若已知 取得的为白球 求此球是从第一个盒子中取出的概率 解 设A表示 取得的为白球 i B分别表示 取得的为第一 二 三盒的球 1 2 3i 1 分 则 123 1 3P BP BP B 1 2 3P A B 2 1 3P A B 3 1 2P A B 3 分 由贝叶斯公式得 11 1 P A BP B P BA P A 4 分 三 计算题三 计算题 9 9 分分 设有甲乙两袋 甲袋中装有 3 只白球 2 只红球 乙袋中装有 2 只白球 3 只红球 今从甲袋中任取一球放入乙袋 再从乙袋中任取两球 问取出的两球都为白球的概率是多少 用A表示 从甲袋中任取一球为红球 B表示 从乙袋中任取两球都为白球 1 分 则 5 2 AP 2 分 由全概率公式1 分 P BP A P B AP A P B A 3 分 22 32 22 66 2311 5575 CC CC 2 分 四 计算题四 计算题 12 12 分分 设随机变量X的概率密度为 f x Ax 1 0 x2 0 其他 求 1 A 值 2 X的分布函数 F x 3 1 52 5PX 解 1 由 2 0 1221f x dxAxdxA 1 2 A 4 分 2 x F xf t dt 1 分 0 0 0 0 1 01 02 2 1 2 x x dttdtx x 3 分 2 0 0 1 02 4 1 2 x xxx x 1 分 3 1 52 52 51 50 0625PXFF 3 分 四 计算题四 计算题 12 12 分分 设随机变量X与Y独立 且X服从 10 上的均匀 分布 Y服从参数为 1 的指数分布 试求 1 X的分布函数 F x 4 分 2 YXZ 的概率密度 8 分 解解 1 1 X的 分 布 函 数 x X F xft dt 3 分 0 0 01 1 1 x xx x 1 分 2 显然 X Y的联合概率密度为 其他 0 0 10 yxe yxf y 2分 先 求Z的 分 布 函 数dxdyyxfzYXPzF zyx 2 分 当0 z时 0 zF 当10 z时 xz zy z zyx ezdyedxdxdyyxfzF 00 1 当1 z时 1 1 0 1 0 eedyedxdxdyyxfzF zy xz zyx 2 分 所以 Z的分布密度函数 0 0 1 01 1 1 z z z fzFzez eez 2 分 四 计算题四 计算题 12 12 分分 已知随机变量X的密度为 01 0 axbx f x 其它 且 1 2 5 8P X 求 1 常数 a b的值 2 随机变量X的分布函数 F x 1 由1 2f x dxab 1 2 5 81 2 3 8 2P Xf x dxab 4 分 解得1 1 2ab 2 分 2 0 5 01 0 xx f x 其它 x F xP Xxf t dt 2 分 当0 x 时 0F xP Xx 1 分 当01x 时 2 0 0 5 2 x F xP Xxxdxxx 1 分 当1x 时 1F x 1 分 所以 2 0 0 2 01 1 1 x F xxxx x 1 分 四 计算题四 计算题 12 12 分分 设连续型随机变量X的密度为 0 0 0 5 x xMe xf x 1 确定常数M 2 求 2 0 XP 3 求分布函数 F x 解 1 由 1 3 f x dx 分 得 1 1 5 1 5 MM 分 2 5 0 2 1 0 2 53 0 36791 x P Xedx e 分 分 3 当 x 0 时 F x 0 1 分 当0 x时 0 5 0 5 053 11 xx t x F xf t dtdtedt e 分 分 2 分 故 0 0 0 1 5 x xe xF x 四 计算题四 计算题 12 12 分分 已知连续型随机变量X的分布函数为 2 2 0 0 0 x x F x ABex 求 1 常数 A B的值 2 随机变量X的密度函数 f x 3 22PX 解解 1 由 F x右连续性得 00FF 即0AB 又由 1F 得 1A 解得1 1AB 4 分 2 2 2 0 0 x xex f xFx 其它 4 分 3 22PX 22FF 12 ee 4 分 四 计算题四 计算题 9 9 分分 已知连续型随机变量X的分布函数为 0 arcsin 0 1 xa x F xABaxaa a xa 其 中为 常 数 求 1 常数 A B的值 2 随机变量X的密度函数 f x 3 2 a PXa 1 由 F x右连续性 FaFa F aF a 得0 2 AB 1 2 AB 解得1 2 1 AB 4 分 2 22 1 0 axa f xFx ax 其它 3 分 3 2 a PXa 2F aF a 1 3 2 分 四 计算题四 计算题 10 10 分分 已知随机变量 X 的分布密度为 01 212 0 xx p xAxx 其它 1 求 A 2 求 X 的分布函数 xF 1 1 由 1p x dx 3 分 得 A 1 1 分 2 x F xp y dy 4 分 2 0 1 2 01 00 1 01 2 1 2 2112 2 12 x x x ydyxx ydyy dyxxx x 2 分 五 计算题五 计算题 16 16 分分 设二维随机变量 X Y有密度函数 3x 4y ke x0 y0 0 f x y 其它 求 1 常数A 2 求边际分布 3 求条件分布 xyf XY 4 X 与 Y 是否独立 为什么 解 1 由 34 34 0000 ked ded1 12 xyxy k x ykedxy 12k 3 分 2 X的概率密度为 34 0 12 xy X fxf x y dyedy 3 3 0 x ex 2 分 故 3 3 0 0 x X ex fx 其他 1 分 同理 Y的概率密度 4 4 0 0 0 y Y ey fyf x y dx y 3 分 3 Y X X f x y fy x fx 2 分 4 4 0 0 0 y ey y 1 分 4 X与Y独立 2 分 因 XY f x yfx fy 2 分 五 计算题五 计算题 16 16 分分 设二维随机向量 YX的联合密度函数为 1 sin 0 0 2 0 Cyxy f x y 其他 试求 1 常数C 3 分 2 边际密度函数 XY fxfy 6 分 3 讨论X和Y的独立性 4 分 4 求 Y X fy x 3 分 解 1 sin 0 0 2 0 Cyxy f x y 其他 1 由 2 1 2 00 1 sin R f x y dxdyC dxydyC 得1 C 3 分 2 0 1 sin2 0 2 X fxf x y dyydyx 2分 故 1 2 0 2 0 X x f x 其 它 1分 1 2 0 sin sin 0 2 Y y fyf x y dxydxy 2 分 故 sin 0 2 0 Y y y f y 其它 1 分 3 因为 XY f x yfx fy 故YX 独立 4 分 4 sin 0 2 0 Y X X y yf x y fy x fx 其它 3 分 五 计算题五 计算题 16 16 分分 设二维随机变量 X Y有密度函数 2 1 01 02 3 0 xxyxy f x y 其他 1 求边缘概率密度 XY fxfy 2 求条件密度 X Y fx y 3 求概率 P XY 4 X 与 Y 是否独立 为什么 解1 X fxf x y dy 2 22 3 01 0 xxx 其他 2 分 Y fyf x y dx 1 3 6 02 0 yy 其他 2 分 2 当02y 时 X Y Y f x y fx y fy 3 分 2 62 01 2 0 xxy x y 其他 1 分 3 P XY x y f x y dxdy 3 分 1 2 00 1 7 24 3 x dxxxy dy 1 分 4 X与Y不独立 2 分 因 XY f x yfx fy 2 分 五 计算题五 计算题 16 16 分分 设二维随机变量Y与X的联合分布密度 其它 0 10 10 4 xyxy yxf 1 分别求关于 X 与关于 Y 的边缘密度函数 XY fxfy 2 求条件密度 X Y fx y 3 求EX 4 X 与 Y 是否独立 为什么 1 分 2 dyyxfxfx other xxxydy 0 10 24 1 0 1 分 分 2 dxyxfyfy 1 0 42 01 0 xydxyy other 1 分 2 01 X Y Y f x y fx yy fy 2 分 other xx 0 10 2 1 分 3 X EXx fx dx 2 分 1 2 0 2 2 3 x dx 1 分 4 X 与 Y 独立 2 分 因为 yfxfyxf YX 2 分 五 计算题五 计算题 16 16 分分 设二维随机变量 X Y的密度函数 02 0 Axyx f x y 其他 1 求常数A的值 2 求边缘概率密度 XY fxfy 3 X和Y是否独立 4 求条件密度 Y X fy x 解 1 由 1 f x y dxdy 2 分 得1 4A 1 分 2 X fxf x y dy 2 分 1 4 02 0 x x dyx 其他 2 02 0 xx 其他 1 分 Y fyf x y dx 2 分 2 2 1 4 20 1 4 02 0 y y dxy dxy 其他 2 4 20 2 4 02 0 yy yy 其他 1 分 3 X和Y不独立 2 分 因为 XY fx fyf x y 2 分 4 02 Y X X f x y fy xx fx 2 分 1 2 0 xyx x 其他 2 分 五 计算题五 计算题 10 10 分分 设随机变量X在区间 1 2 上服从均匀分布 求 2X Ye 概率密度 解 X的概率密度为 X fx 1 12 0 x 其他 2 分 Y的分布函数 ln 2 1 ln 2 1 2 yFyXPyePyF X X Y 5 分 Y的概率密度为 other eye y yf y yFyFyf XyXYY 0 2 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 42 3 分 五 计算题五 计算题 16 16 分分 设随机向量 YX具有下列概率密度 others xyxcx yxf 0 0 10 1 求c 2 求边际分布 3 X与Y是否独立 为什么 4 求 xyf XY 1 由 2 1 R f x y dxdy 3 分 即 3 1 1 0 2 1 00 c dxxccxdydx x 得3 c 1 分 2 X的概率密度10 33 2 0 xxdyxxf x X 否则0 xfX 2 分 Y的边缘概率密度10 1 2 3 3 2 1 yydxxyf y Y 否则0 yfY 2 分 3 由于 yfxfyxf YX 2 分 所以X与Y不独立 2 分 4 Y X X f x y fy x fx 3 分 1 0 01 0 0 yx xx ther 1 分 六六 计算题计算题 9 9 分分 一仪器同时受到 108 个噪声信号 Xi 设它们是相互 独立的且都服从 0 4 上的均匀分布 求噪声信号总量 108 1 i i XX 228 的概率 解 解 108 1 216 i i EXEX 108 1 144 i i DXDX 4 分 由中心极限定理2 分 228216 228 11 1 0 16 12 PX 3 分 六六 计算题计算题 9 9 分分 一仪器同时受到 108 个噪声信号 Xi 设它们是相互 独立的且都服从 0 4 上的均匀分布 求噪声信号总量 108 1 i i XX 228 的概率 解 解 108 1 216 i i EXEX 108 1 144 i i DXDX 4 分 由中心极限定理2 分 228216 228 11 1 0 16 12 PX 3 分 六六 计算题计算题 9 9 分分 设随机变量 1 9XN 0 16YN 相关系数 1 2 XY 设 32 XY Z 求 1 随机变量Z的期望 E Z与方差 D Z 2 随机 变量X与Z的相关系数 XZ 解 1 X 1 9N Y 0 16N 所以 1E X 0E Y 9D X 16D Y 6 XY Cov X YD XD Y 2 分 所以 111 323 E ZE XE Y 112 3 946 D ZD XD YCov X Y 3 分 2 由于 11 0 32 Cov X ZD XCov X Y 所以 0 XZ Cov X Z D XD Z 4 分 六六 计算题计算题 9 9 分分 已知X的概率密度为 其它0 20 8 3 2 xx xf 求1 2 XY分 布函数和概率密度 Y的分布函数 1 2 yXPyYPyF 3 分 当1 y时 0 yF 当15y 时 11 1 2 yXyPyXPyF 8 1 8 3 10 2 3 1 0 2 y dxxyXP y 当5 y时 1 yF 所以 3 2 0 1 1 1 15 8 1 5 y F yyy y 3 分 因此 Y的概率密度为 3 1 15 16 0 Y yy fyF y 其他 3 分 六 计算题六 计算题 9 9 分分 设随机变量X与Y相互独立 概率密度分别为 0 0 0 x X ex fx x 0 0 0 2 2 y ye yf y Y 求随机变量ZXY 的概率密度 解 其他 0 0 0 2 2 yxe yxf xy 1 分 Z的分布函数 x y z F zP ZzP XYzf x y dxdy 3 分 当当0 z时 0 zF 当当0 z时 z xz zxy z zyx eedyedxdxdyyxfzF 2 0 2 0 212 2 分 所以 Z的分布密度函数 Z fzF z 2 分 2 0 0 2 0 zz z eez 1 分 六 计算题六 计算题 10 10 分分 设二维随机变量 X Y的密度函数 2 0 01 0 Ayxyy f x y 其他 1 求常数A的值 2 求边缘概率密度 XY fxfy 3 X和Y是否独立 解 1 由 1f x y dxdy 2 分 得4A 1 分 2 X fxf x y dy 2 1 01 0 xx 其他 2 分 Y fyf x y dx 3 4 01 0 yy 其他 2 分 3 XY fx fyf x y 不独立 3 分 六六 计算题计算题 9 9 分分 某镇年满 18 岁的居民中 20 受过高等教育 今从中 有放回地抽取 1600 人的随机样本 求样本中受过高等教育的人 在 19 和 21 之间的概率 1 0 8413 设X表示抽取的 1600 人中受过高等教育的人数 1 分 则 1600 0 2 XB 2 320 DX 16EX 2 分 0 19 16000 21 1600 PX 1 分 304 320320336 320 161612 X P 320 11 1 1 16 X P 4 分 2 1 1 1 分 2 0 8413 10 6826 七 计算题七 计算题 8 8 分分 设 12n X X X 为总体 X 的一个样本 X 的密度函数 1 x 0 x1 f x 0 其他 0 求参数 的矩估计量 解 解 1 1 0 1 E Xx xdx 3 分 由 1 XE X 知矩估计量为 1 X X 5 分 七 计算题七 计算题 8 8 分分 设 12n X X X 为总体 X 的一个样本 X 的密度函数 1 x 0 x1 f x 0 其他 0 求参数 的极大似然估计量 解 1 似然函数为 1 1 01 0 n n ii i xx L 其它 2 分 2 对数似然函数为 1 lnln1ln n i i Lnx 2 分 3 似然方程为 1 ln 0ln n i i dLn x d 2 分 4 解似然方程得 故极大似然估计量为 1 ln n i i n X 2 分 七七 计算题计算题 8 8 分分 设 12n X X X 为总体 X 的一个样本 总体X 100 bp为 二项分布 01p 未知 求参数p的矩估计量和极大似然估计量 解 1 由 100E XpX 得p的矩估计量 100 X p 4 分 2 似然函数为 100 100 1 1 iii n xxx i L pCpp 对数似然函数为 100 1 ln lnln100ln 1 i n x ii i L pCxpxp 由 ln 0 dL p dp 得极大似然估计量 100 X p 4 分 七七 计算题计算题 8 8 分分 设总体pmpmBX 为未知参数 12 XX n X为取自 总体X的样本 求参数pm 的矩估计量 解 令mpEX 1 pmpDX 2 分 令 2 1 1 mpX mppnSn 4 分 得 2 1 1 nSn p X 2 2 1 X m XnSn 2 分 七 计算题七 计算题 8 8 分分 设总体X概率密度为 1 01 0 xx f x 其他 1 未 知 12 n XXX 为来自总体的一个样本 求参数 的矩估计量和极大 似然估计量 解 1 由 1 2 E XX 得 的矩估计量 21 1 X X 4 分 2 似然函数为 1 1 n i i Lx 1 ln ln1ln n i i Lnx 由 ln 0 dL d 得极大似然估计量 1 1 ln n i i nX 4 分 七 计算题七 计算题 10 10 分分 设二维随机变量 X Y的概率密度函数 6 01 0 xxy f x y 其他 求 1 数学期望 E X与 E Y 2 X与Y的协方差 Cov X Y 解 1 2E Xxf x y dxdy 2 分 3 4E Yyf x y dxdy 2 分 5 2 dxdyyxxyfEXY 2 分 所以 Cov X Y E XYE X E Y 1 40 4 分 七七 计算题计算题 10 10 分分 若X Y相互独立 均服从 10 上均匀分布 试求 ZXY 的分布密度函数 显然 X Y的联合概率密度为 10 10 1 yxyxf 否则 0 yxf 1 分 先求Z的分布函数dxdyyxfzYXPzF zyx 3 分 当当0 z时 0 zF 当当10 z时 xzz zyx z dydxdxdyyxfzF 0 2 0 2 当当21 z时 1 2 2 1 0 2 0 1 1 1 0 z zdydxdydxdxdyyxfzF xz z z zyx 当当2 z时 1 1 0 1 0 dydxdxdyyxfzF zyx 2 分 所以 Z的分布密度函数 Z fzF z 3 分 其他 0 21 2 10 zz zz zFzfZ 1 分 八八 应用题应用题 10 10 分分 一台包装机包装面盐 包得的袋装面盐重是一个 随机变量 它服从正态分布 当机器正常时 其均值为 0 5 公斤 标准差为 0 015 公斤 某日开工后 为检验包装机是否正常 随机 抽取他所包装面盐 9 袋 经测量与计算得x 0 511 取0 05 问机 器是否正常 解 1 提出假设 01 0 5 0 5HH 1 分 2 选择统计量 0 015 9 0 5X Z 3 分 3 计算统计量的值 0 015 9 0 511 0 5 2 2Z 3 分 4 结论 0 025 1 96Zz 落入拒绝域 拒绝 0 H2 分 因此认为这天包装机工作不正常1 分 八 应用题 10 分 某种元件的寿命X 以小时计 服从正态分布 2 N 2 均未知 现测得 16 只元件的寿命的均值x 241 5 s 98 7259 问是否有理由认为元件的平均寿命与 225 小时 有 差异 0 05 解 1 01 225 225HH 1 分 2 检验统计量 225x tn s 3 分 计算统计量的值 98 7259 16 241 5225 0 6685t 0 025 15 2 1315t 3 分 3 结论 没有落入拒绝域 接受 0 H2 分 因此认为元件的平均寿命不大于 225 1 分 八 应用题八 应用题 10 10 分分 设正常人的身高服从正态分布 平均身高为 172 公分 现测得 9 例某种病患者的身高 算得平均数为 167 公分 标准差为 S 2 公分 问这种病患者身高与正常人有无显著差异 0 05 t0 025 9 2 262 t0 025 8 2 306 解 设这种病患者平均身高为 1 0 172 172H 1 分 2 检验统计量 172X Tn S 3 分 计算统计量的值 167 172 33 3 2 t 3 分 3 结论 0 025 8 2 306tt 拒绝原假设 0 H2 分 因 此 认 为 这 种 病 患 者 身 高 与 正 常 人 有 显 著 差 异 1 分 八八 应用题应用题 10 10 分分 设甲乙两人加工同一种零件 其零件的直径分别 为随机变量为 X Y且 22 12 XNYN 今从它们的产品中分 别抽取若干进行检测 测得数据如下 397 4 50 21 7 216 2 93 20 8 2 22 2 111 synsxn 求 21 的置信度为 90 的置信区间 7709 1 13 05 0 t