福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 立体几何一轮复习建议 新人教版.doc

福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座 立体几何一轮复习建议1考纲要求1.1立体几何初步 1.1.1空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图 了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）1.1.2点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定理解以下判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.2空间向量与立体几何(理科)1.2.1空间向量及其运算 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1.2.2空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用2.考试说明要求“重视数学基本能力和综合能力的考查”“数学基本能力主要包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、计算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识这几方面的能力”“空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合”“立体几何是考查空间想象能力的主要载体,同时，又考查逻缉思维能力、推理论证能力、运算求解能力”“由于空间向量的双重身份,能把空间元素间的位置关系转化为数量关系,形式逻辑证明转化为代数运算.降低了思维难度.因此空间向量成为处理空间几何问题的重要工具”（理科）3.考点分析立体几何历年都是高考重点内容之一 ，属中档题.3.1福建近四年高考中的立体几何题见下表：理科年份选择题填空题解答题考点及简要分析20097.平行命题的真假辩析17.条件:长方体一部分 线面垂直 中点结论:(1)异面角(2)探究 线面垂直 线段长20106. 直线与平面平行、垂直的判定与性质12. 三视图表面积18.条件:组合体(圆柱 三棱柱)结论:(1)面面垂直(2)体积 面面角201112.三棱锥线面垂直体积20. 条件:四棱锥 线面垂直 线线垂直结论:(1) 面面垂直(2) 线面角 线段长度探究 距离相等的点20124. 三视图18. 条件:长方体结论:(1) 线面垂直(2)探究 线面平行(3)二面角文科年份选择题填空题解答题考点及简要分析20095.三视图 体积10.平行命题的真假辩析20.条件:折叠 三棱锥 面面垂直结论:(1)线面垂直(2)侧面积20103.三视图 侧面积20.条件:长方体 线线平行结论:(1)线面平行(2)体积 几何概型 最值201115.正方体线面平行线段长度20. 条件:四棱锥 线面垂直 线线垂直 线线平行结论:(1) 线面垂直(2) 体积20124. 三视图19. 条件:长方体 线段和的最小值(展开)结论:(1)体积(2) 线面垂直从结构上看，立体几何题型一般是一个解答题，一至两个填空或选择题。解答题常以空间几何体为载体，设计几个小问题，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、线段长度、面积、体积等度量关系。开放性问题、探究性问题在立体几何试题之中也频频出现。如2009、2011、2012年高考福建理科卷。3.2存在问题分析比较突出的问题有：空间想象能力不够推理论证能力不强书写不规范运算求解能力偏弱等.也体现在以下几个方面:有的学生不能将文字语言、符号语言和图形语言进行转化，对基本图形的认识不够，对图形的解读能力不高，不能根据目标对图形进行分解组合，不能从空间图形中准确抽取有用的某一个平面图形来研究，不能作出有用的辅助线和面.有的学生对定理的理解不准确，记忆有偏差，考试时不能正确地提取和应用有的学生缺少证明平行与垂直的常用方法，思路不清晰，简单套题型. 遇到象2012年文科18(2)对条件“线段和的最小值”这样的立体几何题，就只能怪题目出的不好了有的学生(理科)对点的坐标,法向量的运算出错率很高.有的学生不知道哪些结论可以作为推理的依据，哪些要经过证明才能用证明题按逻辑段给分，每个逻辑段分条件和结论，结论必须写，某些条件容许缺省，但不能所有条件都不写，必须写出的为“关键词”，各个逻辑段的推理是否完成就看条件“关键词”与结论“关键词”有没有写出.若缺少某个关键词，且没有“等价替代词”，则该逻辑段不给分若某个逻辑段尽管不缺关键词，但推理错误，也不给分.评卷过程中按完成的逻辑段给分，各个逻辑段中的分值不再拆分. 例1: 如图，在直三棱柱中，e，f分别是的中点，点d在上，.求证：（1）ef平面abc；（2）平面平面分析:4.精典试题剖析下面从识图与画图的结合、概念与推理的结合、对图形的处理等三方面进行讨论.41 识图与画图的结合例2.(2012高考湖南卷文4 )某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是本题以空间几何体的三视图为载体，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为中间带虚线的矩形.例3.（2012高考北京卷理7）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）a. 28+6 b. 30+6 c. 56+ 12 d. 60+12 本题以空间几何体的三视图为载体，考查空间想象能力.从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选b。 能根据给出的三视图，通过画图、分析，想象出空间几何体，并找出两者的联系，是解题的关键。42 概念与推理的结合例4（2012高考浙江卷文5）设是直线，a，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）a. 若a，则a b. 若a，则ac. 若a，a，则 d. 若a, a，则本题主要考察空间平行与垂直关系的定理，从每一个平行与垂直关系出发，理解和把握是否合乎定理的内容是关键，考查了空间想象能力和推理论证能力。利用排除法可得选项b是正确的，a，则a如选项a：a，时，a或a；选项c：若a，a，或；选项d：若若a, a，或故选b例5（2012高考四川卷理6）下列命题正确的是（ ）a、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 本题以空间几何体线面位置关系为载体，通过对线面角、点面距、线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力推理论证能力。a.两直线可能平行，相交，异面故a不正确；b.两平面平行或相交；c.正确；d.这两个平面平行或相交。选c。 若把此题改为多项选择，比如正确的命题有几个？或有哪些？难度会加大很多的。43 对图形的处理对图形常见的处理有：分割、补形、展开、平移和对称；添加辅助线辅助面；将立体几何问题转化为平面几何问题等。通过处理，使得复杂图形简单化、非标准图形标准化。对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层次上考查空间想象能力的主要方面。例6（2012高考上海卷理14）如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 。本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 过点a做aebc，垂足为e，连接de，由adbc可知，bc平面ade，所以=，当ab=bd=ac=dc=a时，四面体abcd的体积最大。过e做efda，垂足为点f，ef=，=，得体积的最大值=例7（2012高考辽宁卷理16 ）已知正三棱锥abc，点p，a，b，c都在半径为的球面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为_本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面abc的距离为球的半径减去正三棱锥abc在面abc上的高。已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥abc在面abc上的高为，所以球心到截面abc的距离为。例8（2102高考福建卷文19）如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=1，aa1=2，m为棱dd1上的一点。求三棱锥a-mcc1的体积；当a1m+mc取得最小值时，求证：b1m平面mac。 本题以长方体为载体，主要考查了直线和直线直线和平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、计算求解能力，考查了数形结合思想和化归转化思想。（2）中将侧面绕转展开，与侧面共面，当共线时a1m+mc取得最小值，也即为中点时.个人感觉对文科生来说“当a1m+mc取得最小值时”这个条件有点难,若把条件直接改为“当为的中点时”,平均得分会高2-3分.例9（2012高考湖北卷理19 ）如图1，过动点a作，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得,并求与平面所成角的大小dabcacdb图2图1me. 本题以三角形折叠后的三棱锥为载体，主要考查直线和平面的位置关系、几何体的体积、空间向量的运算、函数的最值等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力、计算求解能力，考查了数形结合思想、函数与方程思想和化归转化思想。 以向量为工具解空间几何题，仍需对图形进行观察、思考、推理、判断，做到“眼里有图，脑中有图”，把图形和概念、图形和条件联系起来。解题过程中，空间想象是前提，代数运算是保证。例10（2012高考江西理19）在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=aa1=，bc=4，在a1在底面abc的投影是线段bc的中点o。（1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；（2）求平面与平面bb1c1c夹角的余弦值。本题以三棱柱为载体，考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法。5几种常见题型复习基本策略的分享51基本题型一：空间几何体的认识及表面积与体积的计算（选填题）基本策略：涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用52基本题型二：空间中点线面位置关系的判断（选填题） 基本