第二章矩阵(1).doc

第二章 矩 阵I 重要知识点一、矩阵 1、定义 由个数排成行列的数表称为矩阵，简记为，当时，也称为阶方阵。2、几类特殊矩阵（1） 单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为。（2） 对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.叫数量矩阵。（3） 三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。（4） 矩阵的转置：将矩阵的行与列的元素位置交换而形成的矩阵叫作的转置，记为或。（5） 对称矩阵与反对称矩阵：设，若，则称为对称矩阵，若，则称为反对称矩阵。（6） 正交矩阵：设，若，则称正交矩阵。（7） 可交换矩阵：设、是同阶方阵，且。（8） 分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵中的元素分割成若干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。3、矩阵的运算（1） 矩阵的相等：设，若（，则称与相等，记为。（2） 矩阵的和与差：设，定义（，。（3） 数乘矩阵：设，定义。矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： 交换律 。 结合律 。 分配律 ，。（4） 矩阵的乘法：设，定义，其中。矩阵乘法运算满足下列运算规律： 结合律 。 分配律 ，。 数与乘积的结合律 。 （5）方阵的幂：设，定义。方阵的幂满足下列运算规律：，。（6） 分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个行的分法相同。二、逆矩阵 1、逆矩阵的定义：设，若存在阶方阵，使得，则称为可逆矩阵，并称为的逆矩阵，记。 2、可逆矩阵的性质：（1）若可逆，则唯一。（2）矩阵可逆的充要条件是。（3）若可逆,则均可逆,且有,。（4）若，为同阶可逆矩阵，则也为可逆矩阵，且有。（5）若可逆,且，则，。 3、伴随矩阵设，为元素的代数余子式，定义即：，为的伴随矩阵。 4、矩阵的初等变换与初等矩阵（1） 矩阵的初等变换：交换矩阵的某两行（列）；以一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；把矩阵的某一行（列）倍加到另一行（列）； （2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第种初等变换后而得到的矩阵叫第种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。即： ，。 （3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵左（右）乘第种初等矩阵，就相当于对的行（列）进行了一次同种的初等变换。 （4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵总可以经过有限次的初等变换化为，这也称为的等价标准形。 矩阵可逆可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。 5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论（1） 矩阵的秩：矩阵的非零子式最高阶数叫矩阵的秩，记为。由于初等变换不改变矩阵的秩，故等于的等价标准形中的。（2） 有关矩阵秩的重要公式与结论 。 若，则，只有零矩阵的秩为零。 。 。 若可逆，则。 设，若，则。三、本章的的重要性质及公式 1、转置矩阵的性质（1）； （2）；（3）； （4）。2、逆矩阵的性质（1）； （2）；（3）； （4）。3、伴随矩阵的性质（1）； （2）；（3）（最常用）；（4）； （5）； （6）。4、分块矩阵的性质（均为可逆矩阵）（1）； （2）；（2）； （4）；II 题型归纳及思路提示题型1 有关矩阵运算的命题（要熟悉矩阵运算的规律）例1设为阶对称矩阵，则下面结论不正确的是 。 （1）也是对称矩阵； （2）也是对称矩阵； （3）也是对称矩阵； （4）也是对称矩阵。例2设为阶方阵，是非零常数，则 。 （1）；（2）；（3）；（4）；例3 设均为阶方阵，且，则 。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；题型2 有关对称矩阵与反对称矩阵的证明题例4 证明：任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。题型3 求矩阵的高次幂三种类型：（1）的类型； （2）已知矩阵，且，求。 （3）根据矩阵的特点进行归纳或分解后再进行计算。例5设，求。例6 设，求。例7设，而为正整数，则 。题型4 求矩阵的行列式 要考核的不单纯是行列式的计算，而是通过给出与行列式相关联的方阵、逆矩阵、伴随矩阵及向量在指定运算下所构成的行列式的计算，以达到考核这些概念的运算性质及行列式的性质等目的。例8 设为三阶方阵，求。例9 设，为的代数余子式，且，求。例10设，求的所有元素代数余子式之和。例11设为阶正交矩阵，且，证明。例12设为阶方阵，试证明：。题型5 求逆矩阵与解矩阵方程求逆矩阵的主要方法：（1）；（2）利用初等变换求逆；（3） 对于零特别多的矩阵采用分块矩阵求逆；（4） 利用定义求逆，有：。解矩阵方程的主要方法：先化简为：或或，再求出或或（要求均可逆）。 例13设，其中，求。 例14已知矩阵满足关系式，求。 例15设矩阵的伴随矩阵，且，其中为4阶单位矩阵，求矩阵。 例16设为阶方阵，且有自然数，使，证明可逆。 题型5 求矩阵的秩及与秩有关的命题 例17设矩阵，且，则 。 例18设矩阵的元素均为整数，证明：的元素均为整数当且仅当。 例19设，证明：若，则。 例20设均为阶方阵且，证明：。 题型6 关于矩阵可逆的命题 例21设为实矩阵，且方程组有唯一解，证明：可逆。 例22设维向量为阶单位矩阵，矩阵 ，且，求。 例23设均为阶方阵，如果，求证：。 题型7与伴随矩阵有关的命题的证明（主要用） 例24设为阶可逆矩阵，且，证明：伴随矩阵。 例25设为阶方阵，证明：。 例26设均为阶可逆矩阵，证明：。 例27设均为阶方阵，分别为对应的伴随矩阵，分块矩阵，则的伴随矩阵 。 （1）； （2）；（3）； （4）；III本章小结 矩阵是线性代数的核心内容