（应用数学专业论文）线性脉冲微分系统的渐近解.pdf

中文摘要 本文主要研究线性脉冲微分对角系统 ix 7 a r t x t t z a x t k i k t k x t 七 t t k 解的渐近性 其中k 1 2 h t 为仃 n 阶对角函数矩阵 a t d g a 1 t a 2 t k t 月 t n i k t k x 坟 l l c k x t k l 并且 i c k i o o k l 在a t n t 满足l e v i n s o n 定理的条件下 当t 一 时 该系统存在趋近于 e ke x p a s d s 的解 在a t r t 满足h a r t m a n w i n t n e r 定理的条件下 当 j 口 t o c 时 该系统存在趋近于e k e x pl h k s r k 南 s d s 的解 j o 关键词 对角矩阵 脉冲微分系统 l e v i n s o n 定理 h a r t m a n w i n t n e r 定理 渐近性 a b s tr a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fs o m es o l u t i o n st ot h e l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ix 7 t a r t x t t 知 x x t k 厶 t k x t t k w h e r ea t i sa 礼 竹d i a g o n a lm a t r i x n t t n i h t k x i d g a l t a 2 t h t r t c k x t k 4a n d 蚓 南 1 i fa t n t s a t i s f i e st h ec o n d i t i o n so fl e v i n s o nt h e o r e m t h es y s t e mh a ss o l u t i o n s w h i c ha p p r 喇m a t et oe ke x p r a k s 如 a st o i fa t r t s a t i s f i e st h ec o i l d i t i o n so fh a r t m a n w i n t n e rt h e o r e m t h es y s t e mh a ss o l u t i o n sw h i c ha p p r o x i m a t et o e 知e x p z 札 s r 础 s d s a u s t 一 k e yw o r d s d i a g o n a lm a t r i x i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h el e v i n s o nt h e o r e m t h e h a r t m a n w i n t n e rt h e o r e m a s y m p t o t i cp r o p e r t i e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果 也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 白颦霞签字日期 明年歹月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留 使用学位论文的规定 特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 并采 用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文作者签名 囱颦霞 导师签名 签字f 1 期 w 叩年 月2 n 淑 骅嗍 冲阳动 第一章前言 第一章前言 考虑线性微分系统 x 他 a o x t 1 1 其中a t 为 t o o o 上的礼 佗阶对角函数矩阵 在 t o o 上局部可积 a t d g a l t a 2 t k t 对系统 1 1 加入扰动n t 后 系统 1 1 变为 x 他 a t r t x t 1 2 t 关于系统 1 2 的解的渐近性结论已经存在很多 例如 当 r e a i 丁 r t j s c o r t s t 或者 r e a i r 一 7 c o n s t t o s t o r l p t o o o 1 0 的有界线性映射 x 9 x t p 一r 口 0 对于 1 3 的解的渐近性 也有很多结论 当l t l t o 0 0 时 l k c o o k e 和j k h a l e 在文章 5 1 6 中给出了渐近自治微分方程的一般的结 果 当l t 工2 t o o o 时 j r h a d d o c k r j s a c k e r o a r i n o 和i g y s r i 在 文章 7 8 中讨论了 1 3 的解的渐近性 当l t l p t o o p 1 时 j s c a s s e l l 和z h o u 在 9 中给出了 1 3 的解的渐近形式 虽然我们研究的大部分动力系统要么是连续的 要么是离散的 但是在 物理 化学 生物 工程和信息科学领域 许多系统都包含脉冲动力行为 关于脉冲系统或脉冲控制系统的分析在理论和应用中都有很重要的实用价 值 1 0 卜 1 5 第一章前言 对于脉冲微分系统的研究已经取得了很多成果 例如 j l f e n n e r 和m p i n t o 在文章 1 6 中讨论了具有脉冲作用的一类常微分方程的h a r t m a n 线性 化定理 g s h g u s e i n o v 和a z a f e r 在论文 17 中 通过建立l y a p u n o v 型不等式 得到了线性周期脉冲h a m i l t o n i a n 系统的稳定性准则 k l i u 和x f u 在 1 8 中 通过建立一些比较原理 讨论了具有有限延迟的脉冲微分方程的一致稳定性 和一致渐近稳定性 q w a n g 和x l i u 在 1 9 中 得到了具有有限延迟的一般 脉冲微分方程的指数稳定性准则 y z h a n g 和j s u n 在 2 0 中 研究了具有无 限延迟的脉冲微分方程的一致稳定性 x l i 在 2 1 中 利用r a z u m i k h i n 方法 和l y a p u n o v 函数 对于具有无限延迟的脉冲微分方程的一致渐近稳定性和全 局稳定性得到了新的判断准则 本论文主要研究线性脉冲微分系统 j x 似 a t r t x t t t k la x t k 厶 t k 义 t t k k 1 2 在a t r t a x t k i 请g 定条件下存在具有某种渐近性的 解 在a t r t 满足l e v i n s o n 定理的条件并且i a x t k l i c t k x t k i 的条件 下 当t 一 时 1 4 存在趋近于e 凫e x p z 札 s d s 的解 在a 味r t 满足 h a r t m a n w i n t n e r 定理的条件并且a x t k c k x t k 的条件下 当t o 时 1 4 存在趋近于e 知唧 z s r 七 s d s 的解 2 第二章线性微分系统的基础知识 第二章线性微分系统的基础知识 考虑线性微分系统 x a t x t 2 1 其中a t 为区间 上扎x 礼阶连续函数矩阵 i 若a t 为常系数矩阵c 则 2 1 变为 x 他 c x t 2 2 设a 为c 的一个特征值 相应的特征向量为u 那么 2 2 的一个解为 x t u e 她 2 3 因为 x 协 让e a u e a c u e c x t 如果c 有礼个线性无关的特征向量u k 对应于特征值k 1 k 礼 那么 2 3 式给出了 2 2 的礼个线性无关的解 x k t t k 舭 2 4 i i 若a t 为对角矩阵a t 则 2 1 变为 x 他 a t 义 t 记 a t d g l t a 2 a x t x l t z 2 z n t t 则 2 5 可写为一阶微分方程组 x j t 入1 t z l t z t 巧 t z t a n z 3 2 5 第二章线性微分系统的基础知识 那么x j t c j e x p u s d s 1 j n 其中c j 为任意常数 若对任一整数 南 1 k 佗 选择c k 1 其余勺 0 可得到 2 5 的第k 个解 瓤 t e 知e x pi k s d s 2 6 n 其中e 知为坐标向量 第老个元素为1 其余元素为零 随着 从1 变到珏 可得 到 2 5 的n 个线性无关解的表达式 2 6 设n 礼矩阵圣 t 为系统 2 1 的基解矩阵 即垂 t 的每一列均为 2 1 的 解 那么 2 1 的任一解可表示为x t 圣 t rc 其中c 为常数列向量 考虑如下线性微分系统 x a t b t x 2 7 由常数变易公式 可得到 2 7 式的解 义 壬 c 圣 t 圣一1 s b s x s d s 2 8 其中a 为区间 上给定的点 c 为适当的常数列向量 若记垂 雪l t 雪2 t 其中圣 t 妒1 忱 一 妒 垂l z 妒1 忱 0 o 0 2 x 0 0 妒m 1 则 2 8 式可写为 x t 西 t c 圣1 z 雪 s b s x s d s 垂2 6 西 s b s x s d s 2 9 其中a b 为j 中给定的点 在 2 7 式中 若a t 为对角矩阵 当a t b t 满足不同的条件时 2 7 存 在不同渐近形式的解 最主要的就是下面的l e v i n s o n 定理和h a r t m a n w i n t n e r 定理 定理2 1 1 定理1 3 1 设a t 为 a o 上n n 阶对角矩阵 a t d g a 1 a 2 t k t 并满足条件l l 对于每对整数i j 瓦j 1 h i 以及对于所有z 和t 当a 8 t o 时 或者有 a r e a i r 一 丁 d r 一一 o t 2 1 0 第二章线性微分系统的基础知识 厂 r e 九 丁 7 打 后1 2 1 1 或者有 b f s t r e 凡 f 下 打 七z 2 1 2 其中k 1 k 2 为常数 设n t 阶矩阵r t 满足 俐旧 0 对vi j i j 1 礼 满足 l r e 入i r 一 1 i 6 2 1 6 设n n 阶矩阵r t 满足 z i 酬p 班 o 2 1 7 其中1 p 2 那么系统 2 1 4 存在如下渐近形式的解x k t 1 k 礼 孔 t e kq o 1 唧 z 2 九 s r 触 s d s t 一 2 1 8 本论文主要讨论的就是对系统 2 1 4 加入脉冲作用后 在脉冲满足一定 的条件下 相应的l e v i n s o n 定理和h a x t m t m w i n t n e r 定理依然成立 下面本论 文先介绍一下脉冲微分系统的基本理论 第三章线性脉冲微分系统的基本理论 第三章线性脉冲微分系统的基本理论 考虑线性脉冲微分系统 x m 掷 b 眦 t t k 3 1 ia x t k 厶 t k x t k t t k 其中k 1 2 a b t 为 0 上的n 扎阶连续函数矩阵 a x t x t 一x t 一 x 2 兰n x x t 一 2 拦悬x 一 不连续点 t l t 2 t k 1 i mt k o 托 并且x t x t k 即系统 3 1 的解在 七点左连续 下面本文给出系统 3 1 的通解公式 引理3 1 1 5 对vt t k t k 1 k l 2 系统 3 1 的通解为 k f 义 圣 c 西 t 圣一 t i i i t i x 可 西 t 雪 1 s b s x s d s 3 2 其中圣 t 为系统 2 1 的基解矩阵 c 为常数列向量 a t 1 注3 1 如果a x t k x 去 一x 石 0 后 1 2 那么系统 3 1 变为 x 缸 a t b x t 相应地 等式 3 2 变为x t 垂 c 西 t 垂 1 s b s x s d s 与 2 8 式相 j n 同 即引理 3 1 可看作连续线性微分系统通解公式的推广 引理3 2 1 5 在系统 3 1 中 假设五 qx t t c i 为常数 i 1 2 那么 刖 侧k 毗州t k 俪k i ie 1 州仁 西 1 栅州d t l x t 垂 c 圣 t 勺 s b s x s l l7 l 3 3 圣 圣一1 s b s x s d s 其中t t k t k l k 1 2 t o a c 为常数列向量 6 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 考虑线住脉冲微分方程 x 俅 r x t t t c 4 1 a x t k 奴 t k x t 南 t 奄 其中k 1 2 a t d g a l t a 2 h t a r t 为 a 上 的n n 阶连续函数矩阵 下面本论文给出线性脉冲微分对角系统相应的l e v i n s o n 定理 定理4 1 设系统 4 1 的系数矩阵a t 满足定理2 1 中的条件l 珏 r t 阶 矩阵r t 满足 z 0 愀 1 d t o 4 2 并且 i t x f i c x l t n f a9 t c i 出 o 4 3 其中c t 为 o 上的连续函数 x t x l x 2 t z r l x l 兢 那么系统 4 1 存在如下渐近形式的解x k t 1 k 亿 凰 e k o 1 e x p fa k s d s z o 4 4 证明 在 4 4 式中 选定一个忌 作变量代换x f z t e x p f a ta k s d s 4 1 式变形为 z a 世 r z t t t k 4 5 ia z t k 厶 t k z 如 t t k 其中k 1 2 a l t a 一沁 t j j t z t 蠡 e x p 一z 久奄 s 矗s j t t 七 z t 膏 z 入缸 s 蠢s 要证明定理4 1 成立 即证 4 5 的解z 满足 z t e 知 o 1 t 0 0 7 4 6 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 在 4 5 式中 记 a l t d g u 1 t u 2 t 忭 t 其中 m t 九 t t 特别地 l t k t 0 4 7 考虑二分条件 2 1 0 一 2 1 2 不妨设j 是 如有必要 对k 进行重排 使得 鼢 x k 并且1 i n 一1 时 l 条件中 a 成立 n i 钆时 l 条件中 b 成立 相应于 4 7 式 m t 0 4 8 f i xv i t e x p f a tt t i s d s 则条件l 变为 t 一0 t 一 2 0 1 i n 1 4 9 i 他0 t j l s l 是7 a s t 0 0 1 i n 一1 4 1 0 耽 s 仇0 i 忌 a s t 0 0 n i 礼 4 1 1 其中 7 为常数 作变量代换后条件 4 3 变为 i x t z t l l c t z t l t n o o l c 蚓d t o i o 进而有 i f k t k z t k l i c t k z t k l i c t 七 l 0 对v 0 jn o 0 p 0 当7 0 n k l 时 使得 f c t o 1 i l c t 札o 2 1 l c t n o p j g o 令 u m a n 亡加 2 一t n o 1 t o 3 t n o 2 t n o p l 一亡n o p 8 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 则 c t n o 1 n o 2 一t r i o 1 i l c t n o p t n o p 1 t 彻十p i c t o 1 l i c 伽 2 l i c t o p 1 u e o 口 与 c t i l t i l t i 矛盾 从而与 i c t ld t o 矛盾 i 1 0 8 设圣 为对角系统 z 化 a l t z t 的基解矩阵 圣 d g v l t 沈 t 令 垂 o l t 圣2 t 其中 那么 由 4 1 0 式 由 4 1 1 式 o l t d g v t t 一t t 0 0 圣2 t d g o 0 v n t t 4 1 3 4 1 4 圣1 t 雪一1 s i d 1 o s t o 4 1 5 垂2 圣一1 s i d 2 a 8 t 4 1 6 其中d 1 d 2 为常数 下面是定理证明的主要部分 证明当t t t k 1 时 积分方程 z t n e l t 垂 t i i i t i z 一圣2 t 圣 1 t i i i t i z t 亚 z 2 雪一1 s r 8 z s d s 圣2 t z 圣一1 s r s z s d s 存在解z 并且z t 满足 4 6 式 庇 1 若 4 1 7 式有解 我们证明 4 1 7 的解z t 满足系统 4 1 9 4 1 7 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 对 4 1 7 式关于t 微分 可得到 ko z 7 t v i t 圣一1 t i i i t i z 一量 t 圣 1 t i i i t i z 可 t l i k l 州 z 2 一 s 踯 孙 d s 州舯以 砟 邵 p o o 一圣 o 圣一1 s r s z 8 d s 圣2 西一1 0 r t z t j t v i t 圣 t i f i t i z 巧 一圣 1 t t 五 如 z f 西i t 厂圣一1 s r s z s d s 西 t 厂0 西一1 s r s z s d s j al t r t z t 由雪 a l t o t 则西j t a l t o l t 圣2 a 2 t 0 2 t 代入上式有 z 7 a 1 t 西1 芝二 1 t i f i t t z f 一a i 圣2 西一1 如 五 如 z t f i 1t 1 a 1 t 西1 亡 厂 0 1 s r s z s d s a 1 圣2 0 0 圣一1 s r s z s d s j nj t r t z f o a l t ie l t 西以 纠五 屯z 巧 一e 2 t 圣 1 岛 五 kz 巧 l i 1 i k 1 雪 t z 西一1 s r s z s d s 圣2 圣一1 s r s z s d s r z 0 a 1 t z t 一e n r z 1 0 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 由 4 8 式 n t 0 a l t d g m t u 2 t p t 则a 1 e 0 从而 z 亿 a 1 z n t z t 又 a a t t r t z t z t 知 z t 毒 一z i e 椭 蚤k 毗脚栅川 也 t 誊一慨 地邵功椭 嘲 圩一 s 球 邵 dsi k 1 也簖 厅一 骅 叫 f k i e n 西1 巧 圣 1 如 讹 z t l i 1 也 霉一m 地孙功地 引 一 s 踯 邵 dsil k j 1 也k e 一 胖 d s 圣l 西一1 0 五 如 z t i 0 2 t k 4 一1 t k k t k z i i k t k z t i 即积分方程 4 1 7 的解满足系统 4 1 2 下证积分方程 4 1 7 存在解 构造序列 m 1 2 t t k t k 1 取z l t e n l t e 圣1 t 圣一1 如 五 i 彳 一圣2 圣一1 屯 五 如 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 圣l t 垂一1 s r s z m s d s 一雪2 亡 圣一1 s r s j s d 8 4 1 8 a t 1 证明每一个 t 在 n 上有界 这样由 4 2 式和 4 1 6 式 就保 证了 4 1 8 式中的无穷积分收敛 对m 利用数学归纳法 当m 1 时 i z l i e l 1 假设l z t l c m 其中 为常数 对vt a o o t t k t k l 由 4 1 2 式 4 1 5 式 4 1 6 式和 4 1 8 式 得到 k 1 i 1 i 西1 t 圣一1 t d l c t d z m t i 1 陬t 雪 t d i c t i z m t i k 1 z 2m 蚀一1 s l 愀s 11 z m 圳d s i 西2 圣一1 s ii r 8 ii s id s j t k 1 4 d l c m i c t d l d 2 i 1 辜i c t d l d 1 c mz 2i r s dsi s id s k 上1 u t o o q d 2 c m i r s id 8 j t c d t 如 c m 霎i c t d l z l r c s i 记 l 1 d l d 2 l i c t d l t r s id sl 则有i 磊 1 i 1 li 1 o j 即对于每一个m t 在 a o o 上有界 2 证明z m t 在 a 上一致收敛 1 2 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 对v x a o 不妨设t t k t k 1 那么有 七 l z m 1 t 一 t l l 垂1 t 蛋一1 屯 c 如 t 一z m l t i 一 i 1 o 圣2 圣 1 如 c i z m t 一z m 一1 玎 i k 1 椭 z 2 一 s 徘 一 1 s d s 喇 一 s 酬孙 铀 8 d s l o d l 如 l m t ii z m t 一z m x t l i 1 a r s i l z m s 卜铀 s jd s l j lz m s 一 一l s j l n l z 一z 赢c t l d l d 2 霎i g c t t l z r s ld s c 4 9 其中a t 1 当a 较大时 不妨设t j 1 a t j 重复上述所有过程 当t n o 时 有 l z m l t c t c d d 骞l c c 如 i i r s ld s c 4 2 选择适当的a 使得 倒睁瓴卅z i r s id s 1 2 t 由点列的比较原理知 1 t 一 t 在 n o 上一致收敛 定义 猁 础 历 1 t 一磊 恕z m t 4 2 2 1 3 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 由 4 2 0 式和 4 2 1 式知z t 在 a 上有界 设 i z t i k 4 2 3 其中k 为某个常数 在 4 1 8 式中 令m 一 o 即可得到 4 2 2 式定义的z t 满足 4 1 7 式 即 4 1 7 式有解 3 证明 n 时 z t 满足 4 6 式 记 m r t z t e n 圣1 t 垂一1 t d i i t i z t 圣1 t 雪一1 s r s z s d s 皿 t t n t 1 4 2 4 其中t 7 a t l t m 0 由 4 1 式 我们可选择t 使得j 皿 t l t 时 l 田 t l l e l t i t 7 时 由 4 2 4 式知 i z t 一e n i 2 即z t 满足 4 6 式 定理证毕 考虑如下系统 j x 俅 a r t x 如 4 2 5 ia x t k c k x t k t t k 其中k l 2 a t d g a l t 入2 t k a t n t 为 a o o 上的 n 礼阶连续函数矩阵 c k 为常数 由定理4 1 可以得到下面的推论 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 推论4 1设系统 4 2 5 的系数矩阵a t 满足定理2 1 中的二分条件l 仙 礼阶矩阵r t 满足定理4 1 中的条件 4 2 式 并且 o o 蚓 4 2 6 i 1 那么系统 4 2 5 存在如下渐近形式的解x k t 1 k n e k o 1 唧 z m s d s t o o 4 2 7 定理4 2 设系统 4 2 5 中的a t 和r t 满足定理2 2 中的 2 1 6 和 2 1 7 式 并且 蚓 o o 4 2 8 那么系统 4 2 5 存在如下渐近形式解x k t 1 k 佗 x t t e k o 1 e x p z 2 沁 s r 触 s 办 f 一 4 2 9 证明 定义 a 1 t a t d g r t d g a i t r t 4 3 0 r t r t 一d g r t 4 3 1 令 x t j q t z q t q i j t n 4 3 2 其中q t 满足 q 7 a t q t 一q t a t r 即 以 0 而 t 队 一 t t i j 由 2 1 6 式 若i j 满足 r e a i t 一b 7 正 则选择 q i j t 一e p e p 如 r i j s d s o o j t 1 5 4 3 3 4 3 4 4 3 5 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 其中 p t r 九 r 7 i d 7 若i j 满足 r e 入 丁 一b r 一正 则选择 t e 础 厂 e 叫s s d s 易证 4 3 5 和 4 3 7 中定义的q f j t 满足 4 3 3 式 由 2 1 7 式和 4 3 4 式可知 4 3 5 式中无穷积分收敛 并且 i q i j t e a 8 i r i j s i d s t 则当t 一 时 q t i t 0 由 4 3 6 和 4 3 7 式 i q i j t l e 6 一8 b r i j s i d 8 e 一吾乳上5 r 巧c s i d s 石t t e 6 t s i r 巧c s d s 4 3 6 4 3 7 4 3 8 4 3 9 则当t 0 0 时 q t j t 一0 这样 q t 由 4 3 5 和 4 3 7 可定义 并且 q t 一0 t 一 o 4 4 0 从而 当t 充分大时 j q 可逆 当t t k 时 由 4 3 2 式 q t z 7 x t q t 7 z t a t r t q t 一q 7 功 z t q t a 0 一q t a t 十a t q t n t 一q 7 t r t q z t q t a l t a t q t 一q t a t r t q 似 r t q t 一q d g r t z t q t a 1 t r t q t q d g r t z t 4 4 1 l z l l r 十 6 0 1 l a l i z j u耐h 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 其中 r l t 口 q 一1 r t q t 一q t d g r t 4 4 2 当t t k 时 a z t 知 z 亡毒 一z t i q 去 一1x t d 一 j q t 一1x t 七 q t 南 一1 x t d x t k q k 一1 c k x t k c 南z t k 系统 4 2 5 变形为 z 7 t a 1 r i z t 七 4 4 3 a z t k c z t k t 如 其中k 1 2 1 证明 z i r l 陋 s 时 由 2 1 7 式及h s l d e r 不等式 有 r e a i r n l r 一 丁 一 7 d r r e a i r 一 7 一i n i 7 一i 乃j 7 i d r 占 一8 一c t s i 其中c 为常数 同理 若r e 队 7 一 r 一6 当t 8 时 则有 t 1 r e 九 7 n t 7 一 7 一勺j 7 d r 一6 t s c t s 从而 a 1 t 满足定理2 1 的二分条件l 由1 2 4 2 8 式及推论4 1 可知系统 4 4 3 存在如下渐近形式的解 磊 1 k n 磊 e k o 1 e x p f a k s r 七 s d 0 t o 由 4 4 0 式及 4 3 2 式可得系统 4 2 5 存在如下渐近形式解x k t 1 k 佗 x 七 t e k o 1 e x p z k s r 知t s 幽 t 定理证毕 考虑如下系统 j x c r x t t k 4 4 7 a x t k c k x t k t t k 其中k 1 2 c 为n 礼阶常数矩阵 n t 为 a o o 上的佗 n 阶连续函 数矩阵 记丸为c 的特征值 t 知为相应特征向量 定理4 3设c 有礼个线性无关的特征向量u 七 r t 满足 i r ld t 3 0 4 4 8 第四章线性脉冲微分系统解的渐近性 并且 o o 吲 0 0 t l 那么系统 4 4 7 存在如下渐近形式的解x k t 1 k 觋 4 4 9 瓤 t 阻知 o n e x p k t t o 4 5 0 证明 由于c 有n 个线性无关的特征向量t 知 令t t 1 2 u 则 z 可逆 并且 t 一1 c t d g a 1 入2 入 a 作变量替换 x t t z t 4 5 1 则当t t 七时 有 z a t r l z 其中 r l t r t t 4 5 2 当t t k 时 a z t k z t 吉 一z i t 一1 x c i 一t 1 x t i t 1 x j 一x t i c k t 一1 x t k c k z t k 从而系统 4 4 7 变形为 z 7 a r a z t 2 惫 4 5 3 a z t k c k z t k t t k 其中七 1 2 1 9 第四章线性脉冲微分系统锛的渐近性 因为t 为常数矩阵 由 4 5 2 式 z 0 l r t l d t z i t 1 r t i 出 z l 一1 i i r i i r i 如 c z 俐忱 o 即r 1 t 满足定理4 1 中的条件 4 2 又a 为常数对角阵 显然满足定理2 1 中的二分条件l 再由 4 5 0 式及推论4 1 系统 4 5 3 存在如下渐近形式的解z k t 1 k z k t e 知 o 1 e x p a 七t t 0 0 通过 4 5 1 式 再将磊 变换回x k t 则有 定理证毕 x k t u 如 d 1 e x p a k t t o o 第五章结柬语 第五章结束语 本文主要证明了线性脉冲微分对角系统在不同条件下存在不同渐近形 式的解 本文受 1 中线性对角微分系统的l e v i n s o n 定理和h a r t m a n w i n t n e r 定理 的启发 在a t 和r t 满足l e v i n s o n 定理和h a r t m a n w i n t n e r 定理中的条件下 通过对脉冲加入适当的条件 研究了线性脉冲微分对角系统 裟亏缘篇豁 t t k k 1 2 的解的渐近公式 2 1 参考文献 参考文献 1 m s p e a s t h a m t h ea s y m p t o t i cs o l u t i o no fl i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s c l a r e n d o np r e s so x f o r d 1 9 8 9 2 w a h a r r i s d a l u t z au n i f i e dt h e o r yo fa s y m p t o t i ci n t e g r a t i o n j m a t h a n a l a p p l 5 7 1 9 9 7 5 7 1 5 8 6 3 m s p e a s t h a m t h ea s y m p t o t i cs o l u t i o no fl i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s m a t h e m a t i k a 3 2 1 9 8 5 1 3 1 1 3 8 4 s b o d i n e d a l u t z o na s y m p t o t i ce q u i v a l e n c eo fp e r t u r b e dl i n e a rs y s t e m s o fd i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 3 2 6 2 0 0 7 1 1 7 4 一 8 9 5 k l c o o k e l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fa s y m p t o t i c a l l ya u 一 t o n o m o u st y p e j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 7 1 9 7 0 1 5 4 1 7 4 6 j k h a l e l i n e a ra s y m p t o t i c a l l ya u t o n o m o u sf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e n d c i r c m a t p a l e r m o 2 21 5 1 9 6 6 3 3 1 3 5 1 7 j r h a d d o c k r j s a c k e r s t a b i l i t ya n da s y m p t o t i ci n t e g r a t i o nf o rc e r t a i n l i n e a rs y s t e m so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 7 6 1 9 8 0 3 2 8 3 3 8 8 o a r i n o i g r s r i a s y m p t o t i ci n t e g r a t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s j m a t h a n a l a p p l 1 3 8 1 9 8 9 3 1 1 3 2 7 9 j s c a s s e l l z y h o u a s y m p t o t i c a l l yd i a g o n a ll i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hr e t a r d a t i o n j l o n d o nm a t h s o c 2 4 7 1 9 9 3 4 7 3 4 8 3 f 1 0 1s l e e l a f a m c r a e s s i v a s u n d a r a m c o n t r o l l a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n 以 a p p l 1 7 7 1 9 9 3 2 4 3 0 参考文献 1 1 y q l i u z h g u a n x c w e n t h ea p p l i c a t i o no fa u x i l i a r ys i m u l a n t e o u s e q u a t i o n st ot h ep r o b l e mi nt h es t a b i l i z a t i o no fs i n g u l a ra n di m p u s i v el a r g e s c a l es y s t e m s i e e et r a n s c i r c u i t ss y s t e m si 4 2 1 9 9 5 4 6 5 1 1 2 r k g e o r g e a k n a n d a k u m a r a n a a r a p o s t a t h i s an o t eo nc o n t r o l l a b i l i t yo fi m p u l s i v es y s t e m s j m a t h a n a l a p p l 2 4 1 2 0 0 0 2 7 6 2 8 3 1 3 t y a n g l o c h u a i m p u l s i v es t a b i l i z a t i o nf o rc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n o fc h a o t i cs y s t e m s t h e o r ya n da p p l i c a t i o nt os e c u r ec o m m u n i c a t i o n i e e e t r a n s c i r c u i t ss y s t e m si 4 4 1 9 9 7 9 7 6 9 8 8 f 1 4 x z l i u a r w i l l m s i m p u l s i v ec o n t r o l l a b i l i t yo fl i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s w i t ha p p l i c a t i o n st om a n e u v e r so fs p a c e c r a f t m a t h p r o b l e m se n g 2 1 9 9 6 2 7 7 2 9 9 1 5 z h g u a n t h q i a n x h y u o nc o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b l i t yf o ra