（江苏专用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性 文.doc

课时1导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例1求函数f(x)的单调区间解函数f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x).当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_答案和解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.题型二含参数的函数的单调性例2 已知函数f(x)ln xax1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，讨论f(x)的单调性解(1)当a1时，f(x)ln xx1，此时f(x)1，f(2)11.又因为f(2)ln 221ln 22，所以切线方程为y(ln 22)x2，整理得xyln 20.(2)f(x)a.当a0时，f(x).此时，在(0,1)上，f(x)0，f(x)单调递增当a0时，f(x).当1，即a时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递减当a1，此时在(0,1)或上，f(x)0，f(x)单调递增综上，当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增题型三利用函数单调性求参数例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a0时恒成立即aln x0，在x0时恒成立所以aln x，在x0时恒成立令g(x)ln x(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x0时恒成立，即aln x0，在x0时恒成立，所以aln x，在x0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，15分类讨论思想研究函数的单调性典例(14分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性思维点拨依据g(x)的切线条件可得g(1)0得a，b关系，代g(x)后消去b，对a进行分类讨论确定g(x)的符号规范解答解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.2分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0，b2a1.4分(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)1，6分当a0时，令g(x)0，得x1或x，7分若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，11分若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.12分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增14分温馨提醒(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题求解先分a0或a0两种情况，再比较和1的大小方法与技巧1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.2若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_答案(，解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.3设函数f(x)x2sin x是区间上的减函数，则实数t的取值范围是_答案，kz解析由题意得f(x)12cos x0，即cos x，解得2kx2k (kz)，f(x)x2sin x是区间上的减函数，2kt2k (kz)4定义在r上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以5函数f(x)在定义域r内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf()，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_答案cab解析依题意得，当x0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f()，即有f(3)f(0)f()，cab.6函数f(x)xln x的单调递减区间为_答案(0,1)解析函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x0，解得x3.当x2时，g(x)0，g(x)x2x6在(，2)上为减函数函数ylog2的单调递减区间为(，2)9已知函数f(x)ln x，其中ar，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)10已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2b组专项能力提升(时间：20分钟)11设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是_答案10)，当x0时，有00且a13，解得1a2.12 f(x)，g(x) (g(x)0)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，则0的解集为_答案(3,0)(3，)解析是奇函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，0，则在(，0)上为减函数，在(0，)上也为减函数又f(3)0，则有0，可知0，解得a.所以a的取值范围是(，)14已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.15函数f(x)ax33x23x (a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)3ax26x3，f(x)3ax26x30的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0，当且仅当a1，x1，故此时f(x)在r上是增函数由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根，x1，x2.若0a0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，