第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (7).pdf

1 第七节 方向导数与梯度 习题 8 7 1 求下列函数在指定点 0 M处沿指定方向l的方向导数 1 cos zxy 0 0 2 M 3 4 l 2 uxyz 0 1 1 1 M 1 1 1 l 解 1 由方向 3 4 l可求出与l 同向的单位向量为 34 55 l e 因为函数可微分 且 0 0 22 sin 1 z xy x 0 0 22 sin 1 z xy y 故所求方向导数为 0 2 341 1 1 555 z l 2 函数uxyz 在平面上处处可微 则 coscoscos uuuu lxyz 因为 uuu yzxzxy xyz 所以在点 1 1 1 处有1 uuu xyz 由 1 1 1 l得3 l 于是 1 coscoscos 3 故所求方向导数为 1 1 1 1113 1113 3333 u l 2 求函数ln zxy 在抛物线 2 4yx 上点 1 2 处 沿着这抛物线在该点处 与x轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数 解 先求切线斜率 在 2 4yx 两边分别求导 得 d 24 d y y x 2 于是 d2 d y xy 斜率 1 2 d 1 d y k x 切线方向为 1 1 l 与l同向的单位向量为 22 22 l e 又因为 1 2 1 2 11 3 z xxy 1 2 1 2 11 3 z yxy 所以 1 2 12122 32323 z l 3 设 f x y具有一阶连续的偏导数 已给四点 1 3 A 3 3 B 1 7 C 6 15 D 若 f x y在点A处沿AB 方向的方向导数等于3 而沿AC 方向的方向导数等于26 求 f x y在点A处沿AD 方向的方向导数 解 根据题意可求得方向 2 0 AB 与AB 同向的单位向量为 1 0 AB e 则有 1 3 1 3 1 1 3 0 1 3 3 xyx f x y fff AB 又因为方向 0 4 AC 与AC 同向的单位向量为 0 1 AC e 则有 1 3 1 3 0 1 3 1 1 3 26 xyy f x y fff AC 而方向 5 12 AD 与AD 同向的单位向量为 2222 5125 12 13 13 512512 AD e 所以 1 3 512 1 3 1 3 1313 xy f x y ff AD 512327 326 131313 4 设 3 zf x yxy 证明函数f在原点 0 0 O连续 且 0 0 x f与 0 0 y f 都存在 但f在原点沿着向量 a b l方向的方向导数不存在 其中 a b为任意非零 常数 证 函数 3 zf x yxy 在点 0 0 的邻域有定义 且 3 3 00 00 limlim0 0 0 xx yy zxyf 故函数f在原点 0 0 O处连续 又 00 0 0 0 00 0 0 limlim0 x xx fxf f xx 同理 00 0 0 0 00 0 0 limlim0 y yy fyf f yy 所以 0 0 x f与 0 0 y f都存在 而函数f在原点 0 0 O沿方向l的方向导数为 3 0 0 2200 0 0 0 0 0 limlim x y x yffxyf l xy 让点 xy 沿直线yx 趋于点 0 0 即0yx 得 2 33 1 22000 03 1 limlimlim 2 2 xxx yx x yx x xy x 不存在 即f在点 0 0 沿方向l的方向导数不存在 注意 方向导数是沿任意指定方向的变化率 偏导数是沿坐标轴方向的变化率 故可将方向导数看作偏导数的推广 函数在某点处的偏导数都存在 并不意味着函 数在该点处沿任一方向l的方向导数也存在 但是如果函数在该点处是可微的 则 函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在 5 求函数 222 uxyz 在曲线xt 23 ytzt 上点 1 1 1 处 沿曲线在该 点的切线正方向 对应于t增大的方向 的方向导数 解 先求曲线在给定点的切线方向 因为 2 ddd 1 2 3 ddd xyz tt ttt 所以曲线在点 1 1 1 处的切线的方向向量为 1 2 3 T 与T同向的单位向量为 123 141414 T e 又因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 uuu xyz 所以 1 1 1 1236 22214 7141414 u T 4 6 求函数uxyz 在球面 222 1xyz 上点 000 xyz处 沿球面在该点 的外法线方向的方向导数 解 设 222 1F x y zxyz 则 2 2 2 xyz Fx Fy Fz 于是球面在 000 xyz处的外法线方向向量可取为 000 000 2 2 2 xyzxy z F FFxyz l l的方向余弦为 00 222222 000000 cos cos xy xyzxyz 0 222 000 cos z xyz 又因为 1 uuu xyz 所以 000000 coscoscos xy zxy z uuuu lxyz 000 222222222 000000000 111 xyz xyzxyzxyz 000 222 000 xyz xyz 注意到点 000 xyz在球面 222 1xyz 上 有 222 000 1xyz 故 000 xy z u l 000 xyz 7 求函数 333 3uxyzxyz 的梯度 并问在何点处其梯度 1 垂直于z轴 2 平行于z轴 3 等于零向量 解 因为 2 33 u xyz x 2 33 u yxz y 2 33 u zxy z 5 所以 222 33 33 33 uxyzyxzzxy grad 取z轴的方向向量为 0 0 1 l 1 由于梯度垂直于z轴 则 0u gradl 即 222 0 0 1 33 33 33 0 xyzyxzzxy 于是有 2 330zxy 即 2 zxy 所以曲面 2 zxy 上的点梯度垂直于z轴 2 由于梯度平行于z轴 则 ugradl 可得 222 333333 001 xyzyxzzxy 于是有 2 2 330 330 xyz yxz 即 2 2 xyz yxz 所以曲线 2 2 xyz yxz 上的点梯度平行于z轴 3 由 222 33 33 33 0uxyzyxzzxy grad 有 222 3333330 xyzyxzzxy 即 xyz 所以直线xyz 上的点梯度等于零向量 8 已知 222 uxyzxyyz 点 0 1 1 1 P 求u在点 0 P处的方向导数 u l 的最大 最小值 并指出相应的方向l 再指出沿什么方向 其方向导数为零 解 2 2 2 uuu xyyxzzy xyz 于是 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 uuu xyz 所以 1 1 1 grad 1 2 3 u 因为函数 222 uxyzxyyz 在点 0 1 1 1 P处可微分 6 cos cos cos l e 是与方向l同向的单位向量 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 coscoscos uuuu lxyz 1 cos2 cos3 cos 1 1 1 1 1 1 cos l uu gradgrade 其中 1 1 1 l u grade 由此可知 当向量 l e与 1 1 1 ugrad的夹角0 即沿梯度方向 1 1 1 1 2 3 u gradl 方向导数最大 这个最大值为 222 1 1 1 12314u grad 当向量 l e与 1 1 1 ugrad的夹角 即沿方向 1 1 1 1 2 3 u gradl 方向导数最小 这个最小值为 1 1 1 14u grad 当向量 l e与 1 1 1 ugrad的夹角 2 即沿垂直于 1 2 3 l的方向 方向导数 为零 9 设一金属球体内各点处的温度与该点离球心的距离成反比 证明 球体内 任意 异于球心的 一点处沿着指向球心的方向温度上升得最快 证 设 p x y z为球体内任意一点 0000 pxyz为球心坐标 T为球体内该点 的温度 则 222 000 k T xxyyzz k为常数 0 3 222 2 000 k xxT x xxyyzz 0 3 222 2 000 k yyT y xxyyzz 7 0 3 222 2 000 k zzT z xxyyzz 温度T在p点处的梯度方向 就是温度上升得最快的方向 p Tgrad ppp TTT xyz 00 33 222222 22 000000 k xxk yy xxyyzzxxyyzz 0 3 222 2 000 k zz xxyyzz 000 3 222 2 000 k xxyyzz xxyyzz 即球体内任意 异于球心的 点 p x y z处沿着指向球心 0000 pxyz的方向温度上 升得最快 10 设 u x yv x y都具有一阶连续偏导数 证明 1 uvuv gradgradgrad 2 uvvuuv gradgradgrad 3 2 uvuuv vv gradgrad grad 4 f uf uu gradgrad 设 f u 连续 证 1 uvuvuv uv xxyyzz grad uuuvvv xyzxyz uv gradgrad 2 uvuvuvuv xyz grad uvuvuv v