（生物医学工程专业论文）透射及散射断层成像中若干反演算法的研究.pdf

浙江大学博士学位论文 对n o r t o n 提出的背散射成像解析重建公式作了重新推导，使探测器响应函数具 有了明确的物理意义，便于对问题的深入理解及进一步研究。 文中详细阐述了基于散射能量谱的行扫描c o m p t o n 背散射成像原理，将成像 方程归结为一个大型非线性方程组，然后用基于多目标优化的神经网络来求出重 建问题的解。在不同实验条件下所作的数字模拟，其结果表明：散射成像技术适 宜对轻物质进行重建；多准则神经网络算法是可行的，适于处理这类不适定重建 问题。 作为附带研究，本文用滤波反投影算法给出了l a p l a c e 方程一般边值问题解 的表达式，提供了势函数求解的一种快速算法。 关键词：计算机层析成像，滤波反投影算法，新滤波函数，局部重建， 对称块迭代算法，c o m p t o n 背散射成像，多目标优化重建， 神经网络，l a p l a c e 方程边值问题 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t t h et e c h n i q u eo fc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h yi sn o to n l yam i l e s t o n ei nt h eh i s t o r y o f r a d i o d i a g n o s i sb u ta l s oi m p o r t a n tm e a n sf o rp o n d e s t m c t i v et e s t i n gi ni n d u s t r y f i l t e rb a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h ma n da l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e sa r e c o m m o n l yu s e di nc t ：t h i st h e s i s1 u c u b r a t et h e s ea l g o r i t h m p r e s e n tp i v o t a la n d i n n o v a t i v ea m e l i o r a t i o n ，i m p r o v et h e i rs p e e da n da c c u r a c y f i l t e rf u n c t i o ni sak e yf o rt i l ef i l t e rb a c k p r o j e c t i o ni nc ti nt h i sp a p e ran e w f i l t e rf u n c t i o ni ss u g g e s t e d ，i t sp r i m a r yp a r ti sas m o o t ho p e r a t o ri nf u n c t i o n a l a n a l y s i s t h en e wf i l t e rh a sm a n ye x c e l l e n ts p e c i a l t y a n dt h ee r r o re s t i m a t i o no fc t d u et ou s ei ti sg i v e n 色n o t et h a tt h ef o u r i e rt r a n s f o r mo faf u n c t i o nw i t hc o m p a c t s u p p o r ti sn o tc o m p a c t b u ti t ss i d e p e a k sf a s td e c a yt h en e wf i l t e re v e nh a st h i s s p e c i a l t y ，s ol o c a lt o m o g r a p h yc a r lb ei m p l e m e n t e di nt h i st h e s i st h e r ei sap r i n c i p l e o fak i n d o fl o c a lt o m o g r a p h ya l g o r i t h mw i t ht h en e wf i l t e rt h es e c o n de r r o r e s t i m a t i o ni sg a i n e dt h eg l o b a la n dl o c a lr e c o n s t r u c t i o no fs i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t a lp r o j e c t i o nd a t as h o wt h a tb yt h el o c a lt o m o g r a p h ya l g o r i t h mr e s o l u t i o n a n dg i b b se r i e c t so ft h er e c o n s t r u c t e di m a g e sc a nb ei m p r o v e dt h i sm e t h o do fl o c a l t o m o g r a p h yi sv e r ys i m p l ea n df a s t t h e i rr e c o n s t r u c t i o nt i m ei sa p p r o x i m a t e l yt h e s a m ea sp r o p o r t i o no ft h e i rr e c o n s t r u c t i o nr e g i o n w h e nt h ei o c a lr e c o n s t r u c t i o n r e g i o ni sat e n t hp a r to ft h eg l o b a lt h ee f f e c to ft h el o c a lr e c o n s t r u c t e di m a g ei s n t m o r eb a dt h e ng i o b a l o na l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e sf o ri m a g er e c o n s t r u c t i o n 、t h e r ea r eg r e a t d i f f i c u l t i e si nb e i n gf a s tr e c o n s t r u c t e dd u et oh e a v yd a t aa n dg r e a tm e m o r yt ob ed e a l t w i t h i nw h i c ho n eo fi m p o r t a n ta s p e c t si sh o wt os e e kf o rt h en o i _ 】z e r oc o e f f i c i e n t so f p r o j e c t i o nm a t r i x i nt h i st h e s i sap r i n c i p l eo fg e o m e t r i c a ls y m m e t r yf o ri m a g e r e c o n s t r u c t i o ni sd i s c o v e r e d t h ec a l c u l a t i o no ft h en o n z e r oc o e f n c i e n t so fp r o j e c t i o n m a t r i xh a sb e e ns i m p l i f i e db yu s i n gt h i ss y m m e t r i c a lp r i n c i p l et h i sp r i n c i p l ed o e s n t c o n c e r nw i t hd i s t r i b u t i n go ft h eo b j e c tf u n c t i o n t h e r e f o r ei t c a nb eu s e di na n y r e c o n s t r u c t e d p r o b l e mb yu s i n g t h i s s y m m e t r i c a lp r i n c i p l e ，as y m m e t r i c b l o c k i t e r a t i v em e t h o di si n v e s t i g a t e df o rt h ei m a g er e c o n s t r u c t i o np r o b l e m0 n ea l s o d e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo fo u ri m p l e m e n t a t i o no fs y m m e t r i ca l g o r i t h mw i t h s i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t a lp r o i e c t i o nd a t aa n dc o m p a r e i t sp e r f o r m a n c ew i t hr e s p e c t t oo t h e rr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ，a n dt h e na n a l y s es e v e r a lc a l c u l a t e dm e a s u r e so f m e r i t t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h mp r e s e n t e dh e r ei sm o r ef a s ta n dh a sh i g h e r r e s o l u t i o nf a c t o rt h a no t h e r c o m p a r i n gw i t ht h et r a n s m i s s i nt o m o g r a p h y , t h ec o m p t o ns c a t t e r i n gi m a g i n g t e c h n i q u eh a ss o m es u p e r i o r i t i e ss u c ha sh i g hs e n s i t i v i t y , m o r ef r e e d o mi nt h e a r r a n g e m e n to fe x p e r i m e n t a ls e t u pa n dc a nb eu s e dd i r e c t l y f o f3 - di m a g i n g h o w e v e r i,thist e c h n i q u e ss t i f l e db yd i f f i c u l t i e ss u c ha st h en o n l i n e a ra n d i l l - p o s e d n e s sp r o b l e md u et ot h ea t t e n u a t i o no fi n c i d e n ta n ds c a t t e r i n gr a y sa n dt h e m u l t i p l es c a t t e r i n gp r o b l e mh e r e ，w ew i l lf o c u so nt h ef i r s tp r o b l e m c o m m o n l yt h et r a n s m i s s i nt o m o g r a p h ya n dt h es c a t t e r i n gi m a g i n gt e c h n i q u ea r e r e s e a r c h e dr e s p e c t i v e l y , b u ty e ta n a l y z e dr e l a t i v e l ya c c o r d i n ga st h ei m a g i n gs y s t e m i n 浙江大学博士学位论文 i no u rw o r k b ya n a l y z i n gt h ew h o l ep h y s i c a lp r o c e s so fc o m p t o ns c a t t e r i n g ，w eh a v e e d u c e dn e w l yt h ea n a l y t i cr e c o n s t r u c t i o ne x p r e s s i o no f t h eb a c k s c a t t e ri m a g i n gp u t t e d b yn o r t o n w h i c hh a sap h y s i c a lm e a n i n gi na c c o r d a n c ew i t hi t sd e f i n i t i o n a p r i n c i p l eo ft h el i n e s c a nc o m p t o nb a c k s c a t t e ri m a g i n gb a s e do ns c a t t e r e d p h o t o ne n e r g ys p e c t r a i sp r e s e n t e d t h i si m a g i n ge q u a t i o ni sc o n c l u d e da s a l a r g e s c a l es y s t e mo fn o n l 洒e a re q u a t i o n s i nv i e wo ft h en e u r a ln e t w o r kw i t h m u l t i c r i t e r i a o p t i m i z a t i o n ，a s o l u t i o no fi m a g er e c o n s t r u c t i o ni sw o r k e do u t a c c o r d i n g l yt h er e s u l t so fd a t as i m u l a t i o n si l l u s t r a t et h ef a c tt h a ti ti sf e a s i b l et o a d o p tt h em e t h o do fc o n s t r u c t e dn e u r a l n e t w o r kf o r t h es a k eo fm u l t i c r i t e r i a c o m p t o nb a c k s c a t t e ri m a g i n g ，w h i c hi sa p p l i c a b l et os o l v i n gt h ei l l - p o s e d r e c o n s t r u c t i o np r o b l e m s m o r e o v e l i nt h i st h e s i san e wa n a l y t i ce x p r e s s i o no ft h es o l u t i o nf o rl a p l a c i a n e q u a t i o nw i t hb o u n d a r yp r o b l e mi sg i v e nb yu s i n gf i l t e r e db a c k p r o j e c t i o n ( f b p ) i n c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ( c t ) t h i se x p r e s s i o np r o v i d e sa na l g o r i t h o mf a s tt os o l v e h a r m o n i cf u n c t i o n k e yw o r d s ：c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y , f i l t e rb a c k p r o j e c t i o n ，n e wf i l t e r , l o c o lt o m o g r a p h y , s y m m e t r i cb l o c k i t e r a t i v em e t h o d s ，c o m p t o n b a c k s c a t t e r i m a g i n g ， m u l t i c r i t e r i o n i m a g er e c o n s t r u c t i o n ， n e u r a ln e t w o r k , t h es o l u t i o nf o rl a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hb o u n d a r y p r o b l e m i v 浙江大学博士学位论文 1 1 序 第一章引言 二十世纪七十年代以来，由于c t 技术在医学领域中的成功应用，各种成像 技术在许多似乎无关的领域里迅速发展起来，应用范围之广令人譬陈。微观方面， 用电子显微镜得来的数据可重建出噬菌体的结构：在宏观方面，利用送往地球大 气层外的火箭所采集的数据重建出了超新残星( s u p e m o v ar e m n a n t ) 的x 射线结 构。它们极大地增强了人类观测物体内部结构的能力，使人们能够获得视觉系统 无法感受到的某些信息，拓宽了人类认知世界的能力。 目前，离子化辐射x 射线或y 射线在无损伤二维或三维成像问题中获得了极 为广泛的应用，主要包括：( 1 ) 使用透射x 射线对人体器官作形态学研究，对工 业构件作无损检测；( 2 ) 使用c o m p t o n 散射对人体器官或其他非致密性物质直接 进行电子密度成像；f 3 ) 使用单光子或正电子放射核素对人体器官的功能及生物 化学特性进行成像。下面的表l1 按放射源的性质将其成像的物理测量系统给以 分类。透射x 射线及c o m p t o n 散射成像，探测射线来自成像区域外部且是定向 发射的；单光子或正电子成像，探测射线由物体内部发出，是无定向的。 表1 1 辐射成像物理系统的分类 放射源成像物理量换能器应用举例 x 射线x 射线的衰减系数x 射线源：放射诊断学： 闪烁计数器无损检测 单光子：放射性示综物质浓度；闪烁计数器放射诊断学； 正电子传输时间核医学 c o m p t o n电子密度： y 射线源；放射诊断学： 散射原子数分布闪烁计数器无损检测； x 射线晶格结构学 以上几种成像技术尽管使用的物理系统各不相同，然而抽出其共同特征来看 却是一样的；即都是关于信息的收集、处理和传递的。成像系统大致可分成下述 三个部分：( 1 ) 数据采集，即获得携带有物体内部特征信息的数据。所采用的物 理测量系统包括放射源、检测器及配套的机械、电路设备。为进行计算机处理， 系统还需将测得的模拟量转化成数字量。( 2 ) 图象重建，即利用各种反演方法， 从所测的数据重建出物体内部某种物理量的分布图。这一步是成像技术的核心。 ( 3 ) 图象后处理，包括图象存储、压缩及传输；图象锐化，特征提取等。 透射及放射成像技术的理论根基是由投影重建图象。近三十年来，由投影重 建图象问题是许多科学和工程领域探讨的重要问题。这一问题广泛深入的研究， 及迅速的发展与普及，使图象重建理论已经成为生物医学工程的一门富有广阔前 景的学科，而且也是科学和工程中的综合性边缘学科之一。 浙江大学博士学位论文 发展较早的是x 射线成像技术，它也是最早用于医学诊断的工程手段之一。 自从1 8 9 5 年wr o e n t g e n 发现了x 射线，从此开创了用x 射线进行医学诊断的 放射学，即x 射线摄影术。这种摄影术是使x 射线穿过三维物体投射到二维胶片 上，来记录x 射线的衰减。因此深度方向的信息重叠在一起，引起混淆，造成影 像重叠。从x 射线摄影的图片，密度分辨率低，不能区别软组织的细节。 为克服影像重叠的缺点，有所谓x 射线经典断层成像术( t o m o g r a p h ) 。这种方 法的原理是使x 射线源与感光胶片作相反方向的运动，运动的轨迹可为直线。也 可为二次曲线等。这样，可使聚焦平面上的图象加强，而其他截面在胶片上形成 的图象模糊。这种断层照像术可部分地克服在深度方向上、聚焦平面以外各层图 象引起的重叠干扰，但图片密度分辨率低及对比度由散射引起的退化等问题依然 存在。 计算机断层成像术( c t ) 彻底解决了深度方向上影像重叠的问题，克服了密度 分辨率低的缺点。它的基本思想如下：c t 源发出极细的笔束x 射线通过样品， 经物体衰减后由对面放置的电子检测器检测，并在模数转换器中把模拟信号转换 成数字信号。再将x 射线源与检测器在观测平面内以一定步长作同步扫描，如此 取得某一角度下的一组投影数据。然后旋转一角度，再作同步扫描，又取得新角 度下的另一组投影数据。如此重复，直至旋转到1 8 0 。为止，这样就取得了不同 角度下透过样品的x 射线衰减系数的投影数据。把这些投影数据送给计算机，计 算机运用复杂的数学方法重建出扫描平面的物体断层图象。改变扫描平面可得到 另一层截面的图象。理想的断层为无限薄层，实际断层则具有一定厚度，通常限 制在l 厘米以下。 c t 技术在医学工程中的成功应用，使其倍受科学界的推崇。g nh o u n s f i e l d i i j 发明的计算机辅助断层扫描仪被认为是生物医学工程的主要突破。由于这一开创 性贡献，1 9 7 9 年诺贝尔生理和医学奖破例授予没有专门医学经历的c t 发明者 g n h o u n s f i e l d 和a mc o r m a k t ”。这一举动极大地促进了c t 及其他成像技术的 发展，c t 装置不断更新换代。目前，扫描时间可至1s ，乃至小于1 0 0 m s 。空间 分辨率达1 m m 以下。密度分辨率达到水的吸收系数的5 。另一方面，c t 技术 也被迅速应用于建筑裂缝分析、地震勘探和工业探伤等工程领域，发展成为一门 新的成像技术，即工业计算机层析成像技术( i c t ) 。 透射型计算机断层照相术( t c t ) 尤为重视解剖细节，因而空间的分辨率和纤 维组织密度方面的灵敏度是非常重要的。放射型计算机断层照相术( e c t ) ，是通 过注入人体的放射性同位素在器官内的分布，来判断生物化学和流体生理学方面 的正常和异常。放射型成像技术，一般认为是核医学的范畴。核医学成像始于上 世纪五十年代，早期扫描仪所获得的医学图象类似于投影x 射线图片，本质上并 没有获得人体内部结构的三维信息。在六十年代初期，dek u h l 和r q e d w a r d s i j l 首次获得了核医学中的三维图象。这一新的成像技术即是e c t 。e c t 由于采用 的放射性核素不同，又分为单光子放射c t ( s p e c t ) 和正电子放射c t ( p e t ) 。单 光子放射成像，检测器所接收的光子数便是投影测量数据。对正电子放射成像， 检测过程则有些不同。正电子从核中被激发射出，在发射源的几毫米内与任何靠 近的电子结合。正电子与电子湮没转换成纯能量，这个能量等于两个光子沿相反 方向分开时分裂的能量。这些湮没的光子沿相反方向运动并及时相应到达相对的 检测器。因而测量数据是在一个很小时间间隔内由两个性质相反的检测器检测到 的光子对的数目。 如上所述，e c t 与t c t 除目的有所差别外，数学方法与仪器方法也有所不 浙江大学博士学位论文 同。主要差别在于e c t 试图描述衰变媒质中放射光子源的位置和强渡，而t c t 试图决定衰变媒质的分布。从数学的角度看，t c t 是试图求解r a d o n 变换的逆 变换，而e c t 是试图求解衰减r a d o n 变换的逆变换。不过从广泛的意义上，它 们都属于由投影重建图象的范畴。 e c t 直到目前只应用于放射诊断学及核医学上。t c t 除应用于医学工程外， 在其它工程领域也得到了广泛应用。然而，t c t 由于透射数据的积分性质，具 有以下明显的不足：一是对局部的密度变化不敏感，很难对软组织进行精确成像， 二是，由于算法本身固有的微分性，使它不适合于处理组织间的突变。当然，上 述两个缺陷可以通过增加测量数量及数学校正的方法来解决。还有，t c t 是射 线透过物体，即要求光源和探测器必须在物体的两侧，这对于大型物体的检测往 往不便于进行或根本无法进行。为此，人们又提出了c o m p t o n 散射成像技术。 利用c o m p t o n 散射光子作为一种医学成像术早在1 9 5 9 年由e g l a l e 4 】引入。 在这种成像方式中，图像中的每一点都是利用样品中相应点获得的信息重建的， 试验数据与图像阍是直接相联系的。该成像技术是利用高能x 光子或y 光子与被 测物体中核外电子的康普顿散射相互作用，通过对散射信号的测量来对样品中的 电子密度进行测量的。由于在医学诊断，或工业无损检测中，组织的密度分布是 一个主要的考虑因素，因此，进行康普顿散射成像的研究具有十分重要的意义。 与传统透射c t 比较，康普顿散射成像具有以下特点：第一，康普顿散射成像可 以提供所测物体电子密度分布的图像。一般情况下，物质的电子密度与其质量密 度之间成比例关系，因此康普顿散射成像实际上可以获得所测物体的质量密度图 像，而质量密度是表征物质种类的一个基本物理量。其它成像技术，则不具备这 一点，t c t 图像是物质的线性衰减系数图，而e c t 图象是放射性同位素的浓度 分布图。第二，康普顿散射成像技术可自由地选择测量几何。可以将放射源与检 测器置于被测物体的同侧。这一特点，对检测物体的表面( 如桥梁，公路等) ， 或检测大型物体时不便于将放射源与检测器置于两端时，尤为方便。第三，康普 顿散射成像技术在对物体的表面进行测量时，或是被测物体具有较小的密度时， 具有比c t 较高的测量灵敏度。第四，由于康普顿散射是一个发生于三维空间的 散射相互作用，可以利用放射源和探测器准直器直接定义三维空间中测量小体积 元的大小，并由此决定测量空间的空间分辨率，通过移动放射源与检测器，可以 直接得到三维空间的电子密度分布图。 这种成像方式的主要问题是图象对比度低，多重散射及衰减伪像使成像质量 有所降低。特别是由于入射光子和散射光子的衰减作用，散射信号是物质电子密 度的非线性函数。非线性给重建工作带来很大的困难。尽管如此，由于康普顿散 射成像技术具有其它成像技术所不具备的某些特点，因此，克服这些困难，进一 步深入研究康普顿散射成像技术具有十分重要的实际意义。 除上述辐射成像技术外，还有超声成像及核磁共振成像术等。各类成像技术 的共同问题是由投影测量数据重建图象的理论及实现，这也是当今成像术关注的 焦点问题。 1 2 辐射断层成像问题的研究状况 本文主要研究的是x 线与y 线光子与物质相互作用过程所出现的透射、放 射及散射所形成的断层成像理论与算法。透射c t 与放射c t 的理论根基是由投 浙江大学博士学位论文 影重建图象。由投影重建图象问题主要有两类反演算法，一类是以r a d o n 变换 或衰减r a d o n 变换为基础的变换法，另一类是级数展开法。 早在1 9 1 7 年，奥地利数学家j r a d o n l 5 1 就论证了如何根据某些流形上的积分 ( 即投影) 来确定被积函数( 即要重建的图象) ，成功地解决了由投影重建i 訇象的数 学问题，为c t 技术的形成和发展奠定了理论基础。但在当时由于缺少有效的计 算工具，一直被束之高阁，没有得到具体应用。1 9 5 6 年，美国斯坦福大学的天 文学教授r n b r a c e w e l l l 6 】针对无线电天文学中确定产生微波辐射的太阳区域问 题，成功地重建出太阳的图象。他是利用某些给定方向的“窄条和”( 即太阳微 波辐射强度) 进行重建的。1 9 6 3 年，美国物理学家a m c o r r n a c k 【2 】提出了用线积 分表示一函数的方法及其在放射学上的应用。他是用循环谐波展开方法得到求逆 公式的，并完成了医学图象重建的仿真与实验研究。 b r a c e w e l l 与c o r m a c k 各自独立地获得了求逆公式，并未利用r a d o n 变换， 但他们的结果可以从r a d o n 变换导出。这些方法逐渐形成了图象重建的一大类 算法，称为变换法。变换法中两种代表性的算法是滤波反投影算法( f b p ) 及f o u r i e r 变换法。变换法是一种经典反演算法，自r a d o n 的论文发表至今，发表了如g h e r m a n 、f n a t t e r e r 及a r a m m 等人的许多有关重要论著1 6 。“。 级数展开法重建图象，经典方法是r g o r d e n 等【l ，】提出的代数重建法( a r t ) ， 及r g i l b e r t 【“1 提出的联合迭代重建法( s i p , t ) 。其后发展的多种算法大致可从两 个方面分类。一是对两种经典迭代格式的修正，如r r be g g e r m e n t 【l “等将a r t 中的k a c m a r z 迭代改进为固定块迭代，y c e n s o r t l 8 - 2 1j 及g t h e r m a n 瞄副进一步改进 为可变块迭代，使经典迭代法形成一个统一的框架。二是以优化理论为基础的各 种迭代算法，而优化迭代算法又可进一步分为如下两类算法。 从投影测量过程的随机性观点出发，把图象重建问题看成是一个估计问题。 1 9 7 5 年，h h u r i t z 2 3 】运用最小均方误差估计进行了图象重建。g h e r m a n 【2 ， ajr o c k m o r e 【2 扪、sl w o o d 【2 6 】，j mf o r t e s l 2 7 1 及e rn u n e s 2 8 】分别利用b a y e s 估计 、最大似然估计、最小方差估计、最大后验估计及组合估计方法进行了图象重 建。这一类工作形成了随机估计方法。 g h e r m a n 和al e n t 等【2 9 1 1 】研究了图象重建的二次优化统一方法，并运用一 般的下降算法来求解各类重建问题，得到了许多结果。他们论证了s i r t 算法可 通过适当调节参量由r i c h a r d s o n 方法得到，并收敛到一个最d , - 乘最小范数解。 s j ，w e m e c k e 和l r d a d d a r i o 3 2 】用最大熵重建法获得了无线电天文学数据的成 像，g m i n e r b o t 3 3 1 提出一种连续模型下熵优化算法，并应用于二维和三维成像问 题。a l e n t 3 4 1 论证了在相当二_ 般的条件下，乘积性迭代重建算法o 以a r t ) 收敛到 一最大熵解。最大熵准则在图象重建中具有非常重要的作用，由该准则重建的图 象平滑性好，伪像成分少；而且适合数据不完全图象重建问题。这些算法本质上 都是一种单准则优化迭代算法。 近年来，汪元美掣 _ 38 】在医学成像领域成功地创造出多准则图象重建理论。 多准则图象重建运用了运筹学中多目标优化的数学方法，它克服了单准则优化偏 重单个指标的不足，使重建图象在多个性能指标上与原始图象一致。这一方法己 引起国际上诸多学者的关注。 c o m p t o n 散射成像技术，主要有以下一些代表性的工作。r l a l e 【j 州及 r c l a r k e 柏l 等早期提出的成像系统，试图使用高能量的射线来消除散射衰减对图 象重建的影响，而直接进行重建，但效果并不理想。j b a t t i s t a 等1 4 l j 按一定的顺序 进行点到点的直线探测，在重建后面的像素时用前面所重建的像素值来计算衰减 4 浙江大学博士学位论文 系数。但这种方法会导致误差的传播，并且与同样分辨率的c t 探测过程相比， 需要的放射剂量也非常大。以上成像技术用的都是机械对焦，逐点扫描的方式。 另外一类散射成像技术，是利用散射能量谱来进行的，扫描方式一般用逐线 扫描或逐面扫描。从数学方法上，他们又可分为迭代法和变换法两类重建算法。 eh u s s e i n 等【4 2 - 4 3 1 把散射成像问题归结为一个带有n 2 ( 对应于n x n 的图 像) 个未知数的非线性方程组，通过迭代法来确定衰减系数，并求得重建问题的 一个稳定解。 s n o r t o n l 4 4 1 用变换法给出了散射重建问题的一个解析表达式。在忽略物质对 入射光线及散射光线衰减作用的近似下，他用解析的方法从散射能量谱获得了被 测物质电子密度的重建图象。重建公式类似于c t 中的卷积反投影公式，但是， 测量数据与重建图象之间的积分关系式，不再像c y 那样是沿直线路径的积分， 而是沿等偏角线的积分。当只考虑均匀衰减时，他给出了解析重建的近似表达式。 而非均匀衰减时，只能通过迭代法来进行重建。 需要指出的是，n o r t o n 解析重建公式的推导物理意义不够明确；我们基于 c o m p t o n 散射成像原理，对此作了重新推导。 还有使用透射和散射相结合的方法来进行散射成像的。t p r e t t y m a n t 4 5 1 提出利 用透射成像技术确定出相应于入射光子能量下的衰减系数，与散射成像一起重建 出电子密度图象。 对于c o m p t o n 散射成像技术，由于其成像原理及测量几何与t c t 、e c t 均 有很大不同，人们一般不把其纳入传统的由投影重建图象理论的范畴。但归纳起 来，主要还是变换法与优化迭代法两类重建算法。在此意义上，本文将透射、放 射及散射三种辐射成像技术在数学的框架内作了统一的处理，以便于研究与比 较。 1 3 投影法重建图象中存在的问题 下面讨论的是c t 图象重建中存在的各种问题，对于c o m p t o n 散射成像问题， 在第六章中将予以专门的讨论。 在图象重建中，影响重建质量的因素概括地说，主要是：数据采集中的各种 误差、数据的采集方式和采集量以及所用的重建算法等。以下从这几个方面分别 予以阐述。 1 3 1 数据采集中的各种误差 可靠有效的数据是任何重建算法的基础。在c t 中，由于各种物理条件的限 制，在进行实际测量获得投影数据的过程中，会产生各种不同的误差。主要有以 下几个方面【1 2 1 。 ( 1 ) 由于x 射线光子的产生、光子和物质相互作用以及光子检测等过程的 统计特性，使测量数据不可避免地存在误差。检测器的光子计数可认为服从 p o i s s o n 分布，当均值较大时，近似为g a u s s 分布。因而测量误差也是一随机变 量，可近似地认为服从零均值的g a u s s 分布。某些重建算法就利用了这些性质。 ( 2 ) 在t c t 中，一般所用的x 射线是由不同能量的光子组成的，称为多色x 射线。对于低能量的光子来说，在确定点的衰减量一般是比较大的，因此当x 射 浙江大学博士学位论文 线通过物体时，它的能量分布谱就发生了改变。这一现象称为射束的硬化。而在 t c t 中，衰减系数的重建要求射束在确定点上以相同的方式衰减，这只有使用 单色x 射线才能满足要求。通常，单色投影数据是通过对实验获得的多色投影数 据进行校正而得到的。对射束硬化的校正，也使数据产生了误差。 ( 3 ) 光源焦点和检测器的大小所产生的所谓偏体积效应，检测器阵列的使用 所导致的对散射光子的计数，还有检测器的教率以及设备的稳定性，都是数据采 集时的误差来源。 有些误差可通过硬件作适当校正，有些则还需在算法上进行校正。由于测量 数据这些不可避免的误差，因此在讨论r a d o n 变换的反演问题时，就必然要涉 及稳定性问题以及重建误差的估计问题。可以证明【l ”，r a d o n 变换的反演问题， 只有在s o b l e v 空间中才能满足稳定性的要求，即满足条件：州l c l l r i 。它 表明，在层析成像技术中要获得较清晰的图象，不仅要求测量数据本身比较精确， 而且其导数也要比较精确，或者更确切地说，要求不含有频率甚高的干扰噪声。 因此，在图象重建的滤波反投影算法中，设计滤波器的目标应是，在滤除噪声的 同时，又可保持较高的密度分辨率。 1 3 2 不完全数据问题 在许多工程领域中，由于受客观条件的限制，经常会遇到不完全数据重建问 题。或者要重建的只是某一局部感兴趣区域。对于这类重建问题的适定性的讨论， 不仅在理论上而且在实际应用中都有很重要的意义。这类问题可归结为以下几种 情况。 ( 1 ) 角度受限问题。这类不完全投影数据是由于在某些角度上无法采集到投 影数据，从而导致投影角度覆盖范围小于1 8 0 度；即图象f ( x ，y ) 的r a d o n 变换 r f ( s ，目) 仅在区域，= ( j ，曰) is 1 1 ，0 0 0 0 丌) 上已知。在工业无损检测中， 采集时间的限制或探测区域周围有障碍物都会导致这类不完全投影数据。 若f ( x ，y ) 是紧支集函数，数学上可以证明，f ( x ，y ) 的二维f o u r i e r 变换 ，( q ，c o ：) 是一解析函数。由中一t l , 切片定理( 见本文第二章) ： ) ( c o c o s o ，o ) s i n 0 ) = 廖( c o ，口) ，可求得， c o s 目，c o s i n 0 ) 在区域 0 o o 0 蔓7 ，一 上的值。于是利用解析延拓可以唯一地确定厂( x ，y ) 。 因此角度受限问题的解是存在唯一的。但这一问题可以证明【l o l 在任何s o b l e v 空 间中都是不稳定的，而且不稳定程度随着缺少角度的增大愈加严重。 求解这类不完全数据问题的方法主要有【4 “9 i ：压缩恢复法，a r t 法，以及 各种迭代外推法等。但是这类方法对于问题的严重不适定性带来的影响往往缺乏 理论的定量分析，因此当缺少数据的角度较大时，反演结果的可靠性是有疑问的。 ( 2 ) 外部问题。这类不完全投影数据是由于无法采集到穿过被探测区域某一 6 浙江大学博士学位论文 部分的所有投影数据；即仅知可( s ，日) 在a ，= ( s ，疗) 10 a 蚓s 喀l ，0 目石) 上的 值。这种情况多发生在被探测物体内有对探测射线“不透明”的物体存在时的情 形。由c o r m a c k 2 1 反演公式可以推出，外部问题的解是唯一确定的。但这也是一 个不适定的问题，必须采用适当的正则化方法，这样反演所得的图象往往在与缺 少数据的投影方向相切的边缘处出现模糊现象。 ( 3 ) 内部问题。这类不完全投影数据是由于射线的覆盖范围不能包含整个被 探测的物体，明确地说，即仅知，矿( s ，口) 在，= ( ( j ，目) 10 蚓s 峰a 1 ，0 0 7 z ) 上 的值。被探测物体过大时，或只想探测内部某一局部感兴趣区域时，就会发生这 类不完全投影数据。内部问题也称为图象局部重建问题，该问题的反演是不唯一 的，但却具有如下结果1 1 4 】。由拟微分算子理论可以证明，图象，( x ，y ) 的r i e s z 势( x ，y ) 与f ( x ，j ，) 具有相同的奇异点( 某阶导数不连续) ，而( x ，y ) 在。上的 值由r f ( s ，目) 在a ，上的值唯一地确定。这样可通过( x ，y ) 重建出d ( x ，y ) 的奇异 点的分布图象，它可反映f ( x ，y ) 的组织之问的差异。拟微分算子法图象局部重 建，即指此意。利用小波函数重建物体内部某一局部感兴趣区域，也是目前常用 的局部重建法之一。由于严格的内部问题是不唯一的，因此在进行图象局部重建 时，往往所用数据的区域要略大于局部重建的区域。 在实际应用中，还会遇到上述三种类型中的两种甚至三种同时存在的情形， 这时的重建问题更为复杂。如在地球物理探测中的跨井层折反演重建以及利用自 然地震信号的层析反演重建问题等。 对于不完全投影数据重建问题，基于各种重建判据的优化迭代重建算法是目 前比较有效的算法。这类算法的最大优点在于，通过在迭代过程中加入各种己知 的先验知识进行外推，从而得到对遗失投影数据的估计，使迭代结果逐步向原图 象逼近。 1 3 3 重建算法中的问题 在图象重建的两大类算法中，滤波反投影法c f b p ) ，f o u r i e r 变换法，代数重建 法( a r t ) 是最基本、常用的算法，也是其后其它多种算法的基础。 f b p 法在医学c t 领域应用较为广泛。对于大量精确的投影数据来说，这是 一种具有高效率的重建算法，但是在这种方法的任何计算中，从理论公式推导出 的离散近似公式，都会产生两个未规定的函数：一个卷积函数( 或滤波函数) 和一 个插值函数。因此，选择不同的滤波函数和插值函数，会产生不同的重建结果。 根据投影数据的特性、图象重建的目的以及重建图象空间和密度分辨率等的要 求，来合理选择滤波函数和插值函数，是滤波反投影算法的关键。 f o u r i e r 变换法是由中心切片定理推导而来的，需要对投影数据作一次一维 f o u r i e r 变换，然后再作一次二维f o u r i e r 逆变换。要使这一算法具有实用价值， 必须采用快速f o u r i e r 变换( f f t ) 进行计