浙江省杭州市五校高三数学上学期12月月考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省杭州市五校高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，共40分）1“=”是“函数y=sin（x+）为偶函数的”（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2若函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（）abcd3已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=，则不等式f（x1）的解集为（）a，b，c，d，4若正项数列an满足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+a2010=2014，则a2011+a2012+a2020的值为（）a20141010b20141011c20151010d201510115若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）abcd6已知向量，|=2，定义： =+（1 ），其中01若=，则|的最大值为（）abc1d7下列命题中错误的是（）a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面8已知抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c： =1（a0，b0）渐近线的距离为，点p是抛物线y2=8x上的一动点，p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）abcd二、填空题（9-12每题6分，13-15每题4分）9定义在r上的偶函数f（x），对任意实数x都有f（x+2）=f（x），当x0，1时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是10已知，b=x|log2（x2）1，则ab=11已知非零向量序列：满足如下条件：|=2， =，且=（n=2，3，4，nn*），sn=，当sn最大时，n=12若（，），sin2=，则cossin的值是13设向量，满足|+|=，|=，则=14已知x，y满足，则x+y的最大值为15已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为，表面积为三、解答题（共5小题，共74分）16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为（）求函数f（x）的表达式（）若sin+f（）=，求的值17如图，在三棱柱abca1b1c1中，b1b=b1a=ba=bc=2，b1bc=90，d为ac的中点，abb1d（）求证：平面abc平面abb1a1；（）求b到平面ab1d的距离18已知中心在原点o，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点o的直线l与该椭圆交于p，q两点，满足直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求opq面积的取值范围19已知ar，函数f（x）=x2a|x1|（）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（）讨论y=f（x）的图象与y=|xa|的图象的公共点个数20在等比数列an中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列（1）求数列an的通项公式（2）若数列bn满足b1+（nn+），bn的前n项和为sn，求证snnan（nn+）2015-2016学年浙江省杭州市五校高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，共40分）1“=”是“函数y=sin（x+）为偶函数的”（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】正弦函数的奇偶性；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】通过=函数y=sin（x+）为偶函数，以及函数y=sin（x+）为偶函数推不出=，判断充要条件即可【解答】解：因为=函数y=sin（x+）=cosx为偶函数，所以“=”是“函数y=sin（x+）为偶函数”充分条件，“函数y=sin（x+）为偶函数”所以“=k+，kz”，所以“=”是“函数y=sin（x+）为偶函数”的充分不必要条件故选a【点评】本题是基础题，考查正弦函数的奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确计算函数是偶函数的条件是解题的关键2若函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（）abcd【考点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质【专题】数形结合【分析】由函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a1，由此不难判断函数的图象【解答】解：函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函数则f（x）+f（x）=0即（k1）（axax）=0则k=1又函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是增函数则a1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选c【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（x）f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数=增函数也是解决本题的关键3已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=，则不等式f（x1）的解集为（）a，b，c，d，【考点】分段函数的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】先求出当x0时，不等式f（x）的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）的解，即可得到结论【解答】解：当x0，由f（x）=，即cosx=，则x=，即x=，当x时，由f（x）=，得2x1=，解得x=，则当x0时，不等式f（x）的解为x，（如图）则由f（x）为偶函数，当x0时，不等式f（x）的解为x，即不等式f（x）的解为x或x，则由x1或x1，解得x或x，即不等式f（x1）的解集为x|x或x，故选：a【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x0时，不等式f（x）的解是解决本题的关键4若正项数列an满足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+a2010=2014，则a2011+a2012+a2020的值为（）a20141010b20141011c20151010d20151011【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】lgan+1=1+lgan，可得=10，数列an是等比数列，可得a2011+a2012+a2020=1010（a2001+a2002+a2010）【解答】解：lgan+1=1+lgan，=1，=10，数列an是等比数列，a2001+a2002+a2010=2014，a2011+a2012+a2020=1010（a2001+a2002+a2010）=20141010故选：a【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的求值【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：c【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题6已知向量，|=2，定义： =+（1 ），其中01若=，则|的最大值为（）abc1d【考点】平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义【专题】平面向量及应用【分析】画出草图，通过、|=2可得|=1，利用=+（1 ）可得b、p、d、c四点共线，结合=|cos，可得当b、p两点重合时|最大，计算即可【解答】解：如图，记=， =， =， =，=，|=2，|=1，=+（1 ），b、p、d、c四点共线，=|cos=1|cos，在上的投影为，当b、p两点重合时，|最大，此时=，|=|=1，故选：c【点评】本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题7下列命题中错误的是（）a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【考点】平面与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答时：a注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；b反证法即可获得解答；c利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；d结合实物举反例即可【解答】解：由题意可知：a、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；b、假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故此命题成立；c、结合面面垂直的性质可以分别在、内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；d、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的故此命题错误故选d【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用值得同学们体会和反思8已知抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c： =1（a0，b0）渐近线的距离为，点p是抛物线y2=8x上的一动点，p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）abcd【考点】双曲线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，可得ff1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论【解答】解：抛物线y2=8x的焦点f（2，0），双曲线c： =1（a0，b0）的一条渐近线的方程为axby=0，抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c： =1（a0，b0）渐近线的距离为，a=2b，p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，ff1=3c2+4=9c2=a2+b2，a=2b，a=2，b=1双曲线的方程为x2=1故选c【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题（9-12每题6分，13-15每题4分）9定义在r上的偶函数f（x），对任意实数x都有f（x+2）=f（x），当x0，1时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是（0，【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=k（x+1）在区间1，3内有4个交点，数形结合求得k的范围【解答】解：由题意可得，函数f（x）的周期为2，x0，1时，f（x）=x2，而f（x）是偶函数，x1，1时，f（x）=x2，令y=kx+k，在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点即函数f（x）的图象和直线y=k（x+1）在区间1，3内有4个交点，如图所示：故有 0k（3+1）1，求得0k，故答案为：（0，【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题10已知，b=x|log2（x2）1，则ab=x|1x4【考点】并集及其运算【专题】计算题【分析】首先求解指数不等式和对数不等式化简集合a和集合b，然后根据并集的概念取两个集合的并集【解答】解析：由，得：，所以1x3，所以，再由0x22，得2x4，所以b=x|log2（x2）1=x|2x4，所以ab=x|1x3x|2x4=x|1x4故答案为x|1x4【点评】本题考查了并集及其运算，解答此题的关键是指数不等式和对数不等式的求解，求并集问题属基础题11已知非零向量序列：满足如下条件：|=2， =，且=（n=2，3，4，nn*），sn=，当sn最大时，n=8或9【考点】数列的求和；平面向量的基本定理及其意义【专题】等差数列与等比数列；平面向量及应用【分析】由已知条件采用累加法求得=+（n1），求出的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可【解答】解： =，向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n1），则=+（n1）=2+（n1）=4（n1）=，由=0，解得n9，即当n=9时， =0，则当n=8或9时，sn最大，故答案为：8或9【点评】本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题12若（，），sin2=，则cossin的值是【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可【解答】解：（cossin）2=1sin2=，又，cossin所以cossin=，故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键13设向量，满足|+|=，|=，则=1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】将已知的两个等式分别平方相减即得【解答】解：由已知得到|+|2=15，|2=11，即=15，=11，两式相减得到4，所以=1；故答案为：1【点评】本题考查了平面向量的模的平方与向量的平方相等的运用属于基础题14已知x，y满足，则x+y的最大值为2【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求x+y的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点b时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即b（1，1），代入目标函数z=x+y得z=1+1=2即目标函数z=x+y的最大值为2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键15已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为288，表面积为336【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据三视图得出三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱，利用给出的数据的体积，面积求解【解答】解：根据三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱该几何体的体积为8612=288，该几何体的表面积为12（6+8）+2+12=1214+48+120=336故答案为；288，336【点评】本题考查了空间几何体的三视图运用，关键是确定几何体的直观图，根据几何体的性质判断直线的位置关系，属于中档题三、解答题（共5小题，共74分）16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为（）求函数f（x）的表达式（）若sin+f（）=，求的值【考点】三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用【专题】综合题【分析】（i）函数是偶函数，求出，利用图象上相邻两对称轴之间的距离为，求出，即可求得函数f（x）的表达式（ii）利用两角和的正弦以及弦切互化，化简为sincos，应用，求出所求结果即可【解答】解：（i）f（x）为偶函数sin（x+）=sin（x+）即2sinxcos=0恒成立cos=0，又0，又其图象上相邻对称轴之间的距离为t=2=1f（x）=cosx（ii）原式=又，即，故原式=【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题17如图，在三棱柱abca1b1c1中，b1b=b1a=ba=bc=2，b1bc=90，d为ac的中点，abb1d（）求证：平面abc平面abb1a1；（）求b到平面ab1d的距离【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）取ab中点为o，连接od，ob1，证明ab平面b1od，可得abod，又odbb1，因为abbb1=b，即可证明平面abb1a1平面abc；（）利用=，求b到平面ab1d的距离【解答】（）证明：取ab中点为o，连接od，ob1因为b1b=b1a，所以ob1ab又abb1d，ob1b1d=b1，所以ab平面b1od，因为od平面b1od，所以abod，由已知，bcb1b，又odbc，所以odb1b，因为abb1b=b，所以od平面abb1a1又od平面abc，所以平面平面abc平面abb1a1；（）解：由（）知，b1o=，sabc=2，b1a=2，ac=b1c=2， =，因为b1o平面abc，所以=，设b到平面ab1d的距离是d，则=d，得b到平面ab1d的距离d=【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用18已知中心在原点o，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点o的直线l与该椭圆交于p，q两点，满足直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求opq面积的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题【分析】（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线op，pq，oq的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将opq面积用m表示，求出面积的范围【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（ab0），则则故所以，椭圆方程为（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m0），p（x1，y1），q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，则=64k2b216（1+4k2b2）（b21）=16（4k2m2+1）0，且，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2因为直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m0，所以k2=，即k=由于直线op，oq的斜率存在，且0，得0m22且m21设d为点o到直线l的距离，则sopq=d|pq|=|x1x2|m|=，所以sopq的取值范围为（0，1）【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在19已知ar，函数f（x）=x2a|x1|（）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（）讨论y=f（x）的图象与y=|xa|的图象的公共点个数【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】（）把绝对值函数化为分段函数，继而求出函数的最小值；（）设h（x）=x2a|x1|xa|，分a1，a=1，a1三种情况讨论，其中a1，和a1时，还要继续分类讨论，根据二次函数的性质即可得到答案【解答】解（）当a=1时，故；（）设h（x）=x2a|x1|xa|，当a1时，1、xa时，h（a）=a0，对称轴，无零点1xa时，x1=0（舍去），x2=a1，所以（）a2时，一个零点；（）1a2时，x1时，=a2+10a+10，对称轴，h（1）=2a所以（）a2时，一个零点；（）1a2时，两个零点综上所述，a1时，h（x）有两个零点，即y=f（x）的图象与y=|xa|的图象的公共点有2个，2a=1时，即y=f（x）的图象与y=|xa|的图象的公共点有2个，3a1时，x1时，对称轴，h（1）=a所以（）a0时，一个零点；（）0a1时，无零点ax1时，x1=0（舍去），x2=1a，所以（）时，一个零点；（）时，无零点xa时，=a2+10a+1，对称轴，h（a）=a（