2014年高考真题文科数学(安徽卷)解析版.pdf

第 1 页 共 17 页 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 文 数学 文 安徽安徽 崔北祥崔北祥 名师简评 名师简评 总体而言 2014 年安徽高考文科数学在题型 题量和分值上保持相对稳定 按照 由易入难顺序排列 但难度相对 2013 年文科数学有小幅波动 在计算方面逐渐减少复杂数字的运算 更加注重数形结合估算 同时强化了对字母运算技巧性的考查 在试题表述方面越来越简练 图表 稳定在四图一表 试卷卷面的字符数量略减少 文科必考点基础点仍占较大比例 不乏创新点 点 轮换难点少 难点创新点继续放在必修内容上 而随着新课标高考不断推进 也逐渐向选修 4 系 列渗透 比如第 10 题 可以看出 试卷在平凡中见珍奇 越来越重视基础 同时兼顾对思维能力 和创新思想的考查 第 卷 选择题第 卷 选择题 共共 50 分 分 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的 四个选项中 只有一项是符合题目要求的 在每小题给出的 四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设i是虚数单位 复数 3 2 1 i i i A i B i C 1 D 1 答案 D 命题立意 本题是复数问题 考查向量代数形式运算 主要是乘法 解析 直接高次方化为低次方 分式分母实化即可 3 2 11 1 i iiii i 答案为 D 梳理总结 复数的除法运算的本质是分母实数化 即分子 分母提示乘以分母的共轭复数 2 命题 0 2 xxRx 的否定是 A 0 2 xxRx B 0 2 xxRx C 0 2 000 xxRx D 0 2 000 xxRx 答案 C 命题立意 本题是逻辑问题 考查含有一个量词的命题的否定形式 第 2 页 共 17 页 解析 否定结论同时把量词作对应改变 所以否定形式为0 2 000 xxRx 答案为 C 梳理总结 记住常见文字形式的结论的否定语言叙述 数学符号语言的否性形式的表达 是 这种送分问题不出错的关键 3 抛物线 2 1 4 yx 的准线方程是 A 1 y B 2y C 1 x D 2 x 答案 A 命题立意 本题是圆锥曲线问题 考查抛物线方程和简单几何性质 解析 化普通方程为标准方程 利用准线公式求解 抛物线 2 1 4 yx 的标准方程为 2 4xy 准线方程为1y 答案为 A 方法技巧 把方程变为标准形式是求解此类问题的第一步 4 执行如图所示的程序框图 算法流程图 的输出结果是 A 34 B 55 C 78 D 89 答案 B 命题立意 本题是算法框图问题 考查循环结构的流程图 注意循环的开始和结束 解析 列出每次循环过后变量的取值第一次循环 1 1 2xyz 第二次循环 1 2 3xyz 第三次循环 2 3 5xyz 第四次循环 3 5 8xyz 第五次循环 5 8 13xyz 第六次循环 8 13 21xyz 第七次循环 13 21 34xyz 第八次循环 21 34 55xyz 跳 出循环 答案 B 技巧总结 解决循环结构的流程图问题关键是列出每次循环过后每个变量的取值一一列出 如果循环次数较多注意总结规律 等差 等比 数列求通项 周期 如果循环次数较少就全部列出 第 3 页 共 17 页 5 设 1 13 1 3 log 7 2 0 8abc 则 A cab B cab C abc D bca 答案 B 命题立意 本题是指数 对数与运算问题 主要考查指对数运算公式以及估算 解析 利用指对数函数的单调性 先比较每个数与 1 的大小关系 再比较这三个数字之间的 大小关系 因为 1 13 1 3 2log 71 22 0 81abc 所以cab 答案 B 梳理总结 指数式 对数式的大小比较一般利用指数函数 对数函数的图象 同时利用 0 或 1 作为中间量比较大小也是常用方法 6 过点 3 1P 的直线l与圆 22 1xy 有公共点 则直线l的倾斜角的取值范围是 A 0 6 B 0 3 C 0 6 D 0 3 答案 D 命题意图 本题是直线与圆位置关系问题 考查点到直线的距离公式 圆的方程 直线方程 以及数形结合思想和转化划归思想 解析 画出图形 数形结合解三角形求斜率或利用直线和圆有交点 先求出斜率k的取值范 围 再求出倾斜角的取值范围 法一 数形结合 可知 min 0 max 2 63 法二 因为直线l与 22 1xy 有公共点 所以设 13l yk x 即 310l kxyk 且圆心到直线l的距离 2 31 1 1 k k 得 2 30kk 即03k 故 0 3 答案为 D 规律总结 直线和圆的位置关系问题都是转化成圆心到直线的距离问题来求解 7 若将函数 sin2cos2f xxx 的图像向右平移 个单位 所得图像关于y轴对称 则 的 x y 3 1P O 第 4 页 共 17 页 最小正值是 A 8 B 4 C 8 3 D 4 3 答案 C 命题意图 本题是三角函数图像与性质问题 考查函数图象平移 函数奇偶性以及三角运算 解析 先求出平移后的函数解析式 再利用诱导公式或正余弦曲线的对称轴经过函数图象的 最高点或最低点解三角方程求解 法一 2sin 2 4 f xx 的图像向右平移 个单位得 2sin 22 4 yx 由 函数为偶函数可知sin21 4 即sin 21 4 故2 42 k kZ 即 3 28 k kZ 所以0 min 3 8 法二 由 2cos 2 4 f xx 的图像向右平移 个单位所得函数为偶函数可知 2 4 k kZ 故0 min 3 8 答案为 C 解题关键 解决三角函数的性质问题 一般化为标准型后结合三角函数的图象求解 注意正 余弦的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题关键所在 8 一个多面体的三视图如图所示 则多面体的体积是 A 23 3 B 47 6 C 6 D 7 答案 A 命题立意 本题是三视图问题 主要考查正方体的切割 正方体 三棱锥的体积公式 考查空间想象能力和分析问题解决 问题的能力 解析 如图 由三视图可知该几何体是棱长 为 2 的正方体从右后和左下分别截去一个小三 棱锥 其表面积为 1123 821 323 S 答案为 A 第 5 页 共 17 页 规律总结 认识三视图时 注意 长对正 高平齐 宽相等 另外要能根据三视图准确提炼 出几何体中的线线关系 线面关系 面面关系 以及线的虚实和各种关键数据 找到几何体的直观 图 9 若函数 1 2 f xxxa 的最小值为 3 则实数a的值是 A 5 或 8 B 1 或 5 C 1 或 4 D 4 或 8 答案 D 命题立意 本题是分段函数图象性质问题 考查函数图象 单调性最值 考查数形结合思想 分类与整合数学思想以及转化化归的数学思想 解析 分段画出函数图像观察最低点的位置求解 法一 121 22 aa f xxxaxxx 根据结论 偶平奇尖取中间 得到最小 值可知 min 13 22 aa fxf 可得8a 或4a 法二 当2a 时 311 11 2 31 2 xax a f xxax a xax 如图可知 2 a x 时 min 13 22 aa fxf 可得8a 或4a 舍 当2a 时 31 2 11 2 311 a xax a f xxax xax 如图可知 2 a x 时 min 13 22 aa fxf 可得8a 舍 或4a 综上可知 答案为 D x y O 2 a 1 x y O 1 2 a 第 6 页 共 17 页 梳理总结 注意含绝对值的分段函数是折线图 利用零点分段讨论去除绝对值再求解或直接 记住结论 偶平奇尖取中间 也就是说看一下绝对值的个数 最值是在中间处取得 10 设 a b 为非零向量 2ba 两组向量 1234 x xx x 和 1234 y yyy 均由 2 个a 和 2 个b 排 列而成 若 11223344 xyxyxyxy 所有可能取值中的最小值为 2 4 a 则a 与b 的夹角为 A 2 3 B 3 C 6 D 0 答案 B 命题立意 本题是向量运算综合问题 考查向量数量积运算 夹角公式 不等式性质 考查 分类讨论的数学思想和函数方程思想 属于难题 解析 先分类求出 11223344 xyxyxyxy 的所有可能值 再比较大小即 利用最小 值求出夹角余弦值 解出夹角范围 若有 0 组对应乘积 则 22 1 22Sab 若有 2 组对应乘积 则 22 2 2Saba b 若有 4 组对应乘积 则 3 4Sa b 又因为2ba 所以 2 22 13 22420SSaba bab 2 22 12 220SSaba bab 2 23 20SSab 所以 321 SSS 故 min3 4SSa b 设 a b 的夹角为 则 min 4Sa b 22 8cos4aa 得 1 cos 2 又 0 所以 3 答案 B 点睛高考 安徽高考在向量这个地方一直想创新 本题为下一年的高空提供了一个范例 第 卷 非选择题第 卷 非选择题 共共 100 分 分 二二 选择题选择题 本大题共本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分分 11 3 4 33 1654 loglog 8145 答案 27 8 命题立意 立意本题是指对数运算问题 主要考查同底数指数幂运算 同底数对数运算公式 第 7 页 共 17 页 解析 直接利用公式求解 原式 3 43 4 3 254227 log 34538 梳理总结 注意记住指对数运算的公式和法则 把指对数化为同底形式 12 如图 在等腰直角三角形ABC中 斜边2 2BC 过点A作BC的垂线 垂足为 1 A 过 点 1 A作AC的垂线 垂足为 2 A 过点 2 A作 1 AC的垂线 垂足为 3 A 以此类推 设 1 BAa 12 AAa 123 AAa 567 A Aa 则 7 a 答案 1 4 命题立意 本题是数列问题 考查等腰直角三角形的性质 等比数列递推 通项 考查归纳 法 解析 直接归纳或先求出通项再求 7 a 法一 直接递推归纳 等腰直角三角形ABC中 斜边2 2BC 所以 1 2ABACa 122 1A Aa 6 6771 21 24 A Aaa 法二 求通项 等腰直角三角形ABC中 斜边2 2BC 所以 1 2ABACa 122 1A Aa 1 111 22 sin2 422 n nnnnn AAaaa 故 6 7 21 2 24 a 方法点拨 数列问题解决的基本思路是 递推 通项 求和 利用等腰直角三角形的边长与 斜边上的中线长的关系找出递推公式是求解本题的要点所在 A BC 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 第 8 页 共 17 页 13 不等式组 20 240 320 xy xy xy 表示的平面区域的面积为 答案 4 命题立意 本题是线性规划问题 考查一元二次不等式表示的平面区域 三角形求面积等知识 考查数形结合 思想 解析 把原三角形分成两部分分别求面积 再求和 如图 可知 1 2224 2 ABC S 技巧点拨 准确表示出可行域是解线性规划问题至关重要的一步 记住 B 符号法则 同上异 下 14 若函数 f xxR 是周期为 4 的奇函数 且在 0 2 上的解析式为 21 sin 10 1 xx xxx xf 则 2941 46 ff 答案 5 16 命题立意 本题是函数问题 主要考查函数周期性 奇偶性以及特殊角的三角求值 考查转 化化归的数学思想 解析 下利用周期性把自变量取值改编 再利用奇函数把自变量前面的符号处理掉 最后带 入相应的解析式求值 2941373735 sin 46464616616 ffffff 技巧点拨 本题是函数对称性与三要素的考查 注意利用周期性把比较大的自变量先变小 再利用奇偶性调整符号 最后带入到对应解析式求解 15 若直线l与曲线C满足下列两个条件 i 直线l在点 00 y xP处与曲线C相切 ii 曲线C在P附近位于直线l的两侧 则称直线l在点P处 切过 曲线C y x 0 2A 2 0B 8 2C O x 第 9 页 共 17 页 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 直线0 yl在点 0 0P处 切过 曲线 3 C yx 直线1 xl在点 0 1 P处 切过 曲线 2 1C yx 直线xyl 在点 0 0P处 切过 曲线 sinC yx 直线xyl 在点 0 0P处 切过 曲线 tanC yx 直线1 xyl在点 0 1P处 切过 曲线 lnC yx 答案 命题立意 本题是函数导数几何意义的新定义综合问题 主要考查导数几何意义 导数运算 函数图象 直线点斜式方程等知识 考查数形结合思想 函数方程思想以及运算求解能力 解析 每一命题中先求出切线 再数形结合判断 或作差构造函数求值比较大小 对于 因为 2 0 3 0 x yxy 所以 0l y 是曲线 3 C yx 在点 0 0P处的切线 画图 可知曲线C在P附近位于直线l的异侧 正确 对于 因为 1 21 0 x yxy 所以1 xl不是曲线 2 1C yx 在点 0 1 P处 的切线 错误 对于 cosyx 0 1 x yk 在 0 0P处的切线为xyl 画图可知曲线C在P附 近位于直线l的两侧 正确 对于 2 1 cos y x 0 2 1 1 cos 0 x y 在 0 0P处的切线为xyl 画图可知曲线C在 P附近位于直线l的两侧 正确 对于 1 y x 1 1 x y 在点 0 1P处切线为 1l yx 又由 1 ln0h xxx x 可得 11 1 x h x xx 所以 min 10hxh 故 1lnxx 可知曲线C在P附近位于直线l的下侧 错误 故答案为 技巧点拨 导数几何意义问题注意抓住切点的三重作用 切点在曲线上 切点在切线上 切点处导函数值等于切线斜率 多选问题一直是安徽高考数学学科的一个特色 这种题目知识面 广 知识挖掘有一定深度 求解时往往一 处 不慎 满盘皆输 第 10 页 共 17 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写文字说明 证明过程 或演算步骤 解答应写文字说明 证明过程 或演算步骤 解答写在答题卡上的指定区域内解答写在答题卡上的指定区域内 16 本小题满分 12 分 设ABC 的内角 A B C所对边的长分别是 a b c 且3 1bc ABC 的面积为2 求 cosA与a的值 命题立意 本题是三角形问题 主要考查三角形面积公式 余弦定理 思路分析 题干直接在ABC 背景下给出三个等量关系足够解出此三角形 整理ABC 的面 积公式先求出sin A 再转化为cosA 最后利用余弦定理求出a的值 解析 由三角形面积公式 得 1 3 1 sin2 2 A 故 2 2 sin 3 A 因为 22 sincos1 AA 所以 2 81 cos1 sin1 93 AA 当 1 cos 3 A时 由余弦定理得 22222 1 2cos312 1 38 3 abcbcA 2 2 a 当 1 cos 3 A时 由余弦定理得 22222 1 2cos312 1 312 3 abcbcA 2 3 a 试题点评 本题比较基础 改变了以往的做法 以往是题干中先给出三角形中的一个或两个 量 第一问中求出一个结果 第二问再补加一个条件解出三角形 这样显得题目更简洁清爽 17 本小题满分 12 分 某高校共有 15000 人 其中男生 10500 人 女生 4500 人 为调查该校学生每周平均体育运动时 间的情况 采用分层抽样的方法 收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据 单位 小时 应收集多少位女生样本数据 根据这 300 个样本数据 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 如图所示 其中样本数据分组区间为 估计该校学生 每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率 第 11 页 共 17 页 在样本数据中 有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时 请完成每周平均体 育运动时间与性别的列联表 并判断是否有的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时间与性 别有关 附 2 2 n adbc K ab cd ac bd 命题立意 本题是概率统计问题 主要考查直方图 分成抽样 古典概型求概率 独立检验 等知识 考查数据分析处理能力和实际应用数学知识的能力 思路分析 1 先算出比例 45003 1500010 在利用 3 30090 10 求出结果 2 先算出不超 过 4 小时的概率 在利用对立事件概率公式求解 注意计数 3 先算出 2 K 再查表求出概率 接 下来利用参考数值分析给出结论 解析 1 4500 30090 15000 所以应收集90位女生的样本数据 2 由频率分布直方图得 120 1000 0250 75 所以该校学生每周平均体育运动 时间超过4小时的概率估计值为0 75 3 由 2 知 300位同学中有300 0 75225 人每周平均体育运动时间超过4小时 75人 每周平均体育运动时间不超过4小时 又因为样本数据中有210份是关于男生的 90份是关于女生 的 所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45 30 75 2 0 P Kk 0 10 0 05 0 010 0 005 k 2 706 3 841 6 635 7 879 第 12 页 共 17 页 每周平均体育运动时间超过 4 小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得 2 2 3002250100 4 7523 841 75 225 210 9021 K 所以 有95 的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 点睛高考 概率统计问题是安徽卷中唯一的一个应用题 主要考查统计图表 统计特征数字 古典概型求概率 有时综合独立检验和线性回归 统计问题主要是数据的整理 运算略繁琐 概率 主要是列出试验的基本结果数 特别要注意 顺序 和 选出的多 这两类问题的结果数列举 18 本小题满分 12 分 数列 n a满足 11 1 1 1 nn ananan nnN 1 证明 数列 n a n 是等差数列 2 设3n nn ba 求数列 n b的前n项和 n S 命题立意 本题是数列问题 主要考查递推公式变形 等差数列定义 错位相减求和等知识 考查转化化归的数学思想和数据逻辑推理能力 思路分析 1 递推公式两边同时除以 1n n 变形为 1 1 1 nn aa nn 可知数列 n a n 是等 差数列 2 先求出33 nn nn ban 再利用错位相减求和 解析 1 由已知可得 1 1 1 nn aa nn 即 1 1 1 nn aa nn 所以 n a n 是以 1 1 1 a 为首项 1为 公差的等差数列 2 由 1 得 11 1 n a nn n 所以 2 n an 从而3 n n bn 123 1 32 33 33 n n Sn 2341 31 32 33 33 n n Sn 得 2341 233333 nn n Sn 1 1 3 1 3 1 233 3 1 32 n n n n n 第 13 页 共 17 页 所以 1 21 33 4 n n n S 点睛高考 数列是安徽高试卷的一个难点 但不管怎样 要让考生和一线教师重视教材和基 础知识 基本方法基本技能 重视两纲的导向作用 对数列的考查主要涉及数列的基本公式 基本性质 递推数列 数列求和 简单的数列不等式证明等 19 本题满分 13 分 如图 四棱锥ABCDP 的底面边长为 8 的正方形 四条侧棱长均为172 点HFEG 分别是棱 PCCDABPB 上共面的四点 平面 GEFH平面ABCD BC平面GEFH 1 证明 EFGH 2 若2 EB 求四边形GEFH的面积 命题立意 本题是立体几何问题 主要考查空间平行关系的转化 垂直关系转化以及面积求 解 考查空间想象能力和分析问题解决问题的能力 解析 1 由 BC平面GEFH利用线面平行的性质 可得出 BCGH BCEF故得出 GHEF 2 由 1 可知四边形GEFH是梯形 算出EH长以及高即可 解析 1 因为 BC平面GEFH BC平面PBC 且平面 PBC平面 GEFHGH 所以 GHBC 同理可证 EFBC 故 GHEF 2 连接 AC BD交于点O BD交EF于K点 连接 OP GK 因为 PAPC O是AC中点 所以 PO底面ABCD 又因为平面 GEFH平面ABCD 且 PO平面GEFH 所以 PO平面GEFH 因为平面 PBD平面 GEFHGK 所以GK是梯形GEFH的高 由8 2 ABEB得 1 4 EB ABKB DB AB C D P E F G H 2 17 AB C D P E F G H O8 2 17 K 4 2 6 第 14 页 共 17 页 从而 11 42 KBDBOB 即K是OB的中点 再由 POGK得 1 2 GKPO 即G是PB的中点 且 1 4 2 GHBC 由已知可得 22 4 2 68 326 OBPOPBOB 所以3 GK 故四边形GEFH的面积 48 318 22 GHEF SGK 技巧点拨 立体几何历来是高考必考的内容 是对学生的逻辑推理能力 空间想象能力考查 的有力工具 本题主要考查直线 平面的位置关系中的线面平行 面面垂直以及三棱锥的体积计算 等知识 一般来讲 高考设计的立体几何试题 多以长方体 三棱柱 三棱锥 四棱锥为问题背景 这些背景学生都比较熟悉 可谓是朴素无华 既没有高深的知识 也不必用冷僻的技巧 体现了 稳 中求进 稳中求新 的原则 证明线面平行问题可以应用线面平行的判定定理或先证面面平行 再利 用面面平行的定义 面面垂直问题 可以结合正三棱柱的性质和面面垂直的判定定理 求立体几何 中体积问题的关键是找出合适的底以及相应的底面上的高 便于求解 体现了通题通解 淡化技巧 的原则 20 本小题满分 13 分 设函数 23 1 1 f xa xxx 其中实数0a 讨论 f x在其定义域上的单调性 当 0 1 x 时 求 f x取得最大值和最小值时的x的值 命题立意 本题是函数导数综合问题 主要考查三次函数图像与性质 导数运算及应用 函 数单调性和最值的求解 考查函数方程思想和转化划归思想 解析 1 求出导函数 2 1 23fxaxx 令 0f x 发现 4 340 a 只要求出 0f x 的两根即可写出单调区间 2 利用 1 中的结果对0 a分两类 找出函数 f x 在 0 1 的单调性 再分别求出最大值和最小值时的x的值 解析 1 函数 f x的定义域为R 2 1 23fxaxx 令 0 f x 得 12 143143 33 aa xx 12 xx 第 15 页 共 17 页 所以 12 3 fxxxxx 当 1 xx或 2 xx时 0 f x 当 12 xxx时 0 f x 故 f x在 143 3 a 和 143 3 a 内单调递增 在 143143 33 aa 内单调递减 2 因为0 a 所以 2 0 x 1 0 x 当4 a时 2 1 x 由 1 知 f x在 0 1上单调递增 所以 f x在0 1分别取得最小值和最大值 当04 a时 2 1 x 由 1 知 f x在 2 0 x上单调递增 在 2 1 x上单调递减 所以 f x在 2 143 3 a xx处取得最大值 又 0 1 1 ffa 所以01 a时 f x在1 x处取得最小值 1 a时 f x在0 1 xx处同时取得最小值 14 a时 f x在0 x处取得最小值 综上可知 当01 a时 f x在1 x处取得最小值 在 143 3 a x处取得最大值 当1 a时 f x在0 1 xx处同时取得最小值 在 143 3 a x处取得最大值 当14 a时 f x在0 x处同时取得最小值 在 143 3 a x处取得最大值 当4 a时 f x