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轻松学数学，越学越轻松 第五章平行线与相交线【知识要点】1.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。2.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。性质：对顶角相等。3垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90那么这两条线互相垂直。4.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。5三线八角的识别【典型例题】考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离等例1：判断下列说法的正误。（1） 对顶角相等；（2） 相等的角是对顶角；（3） 邻补角互补；（4） 互补的角是邻补角；（5） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（6） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（7） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。考点二：对顶角、邻补角的判断、相关计算例题1：如图51，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_对，它们分别是_，AOD的邻补角是_。例题2：如图52，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知1=5，那么，5是_的对顶角，与5相等的角有1、_，与5互补的角有_。例题3：如图53，直线AB、CD相交于点O，射线OE为BOD的平分线，BOE=30，则AOE为_。图51 图52 图53考点三：同位角、内错角、同旁内角的识别例题1：如图2-44，1和4是AB、 被 所截得的 角，3和5是 、 被 所截得的 角，2和5是 、 被 所截得的 角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .例题2：如图2-45，AB、DC被BD所截得的内错角是 ，AB、CD被AC所截是的内错角是 ，AD、BC被BD所截得的内错角是 ，AD、BC被AC所截得的内错角是 。2134 考点四：相关推理（识记）（1）1=2，2=3（已知） _ =_（ ）（2）1+2=180，2=30（已知） 1=_（ ）（3）1+2=90，2=22（已知） 1=_（ ）（4）如图（1），AOC=55（已知） BOD=_（ ）（5）如图（1），AOC=55（已知） BOC=_（ ）（6）如图（1），AOC=AOD，AOC+AOD=180（已知） ab1BOC=_（ ）.ACB （1） （2） （3） （7）如图（2），ab（已知） 1=_（ ）（8）如图（2），1=_（已知） ab（ ）（9）如图（3），点C为线段AB的中点 AC=_（ ）(10) 如图（3），AC=BC点C为线段AB的中点（ ）及时反馈：1. 如图，与是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由2、如图，已知直线AB与CD交于点O，OEAB，垂足为O，若DOE3COE，求BOC的度数3.如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且1=60，2= 4，则3的_度， 5=_度. 4如图17，将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点A处，已知1+2=100，则A的大小等于_度5如图5所示，已知OAOC，ODOB，BOC=50，求AOD的度数6（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，PCD与ACF就是一组对顶角，已知1=30，ACF为多少？第五章平行线与相交线（2）【知识要点】1a（1）如图，1=2（已知） ab（ ）43（2）如图，1=3（已知）b2 ab（ ）（3）如图，1+4= （已知） ab（ ）（4）如图，ab（已知） 1=2（ ）（5）如图，ab（已知） 1=3（ ）（6）如图，ab（已知） 1+4= （ ）典型例题：1学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的一种方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图7中）：从图中可知，小敏画平行线的依据有【】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行（A） （B） （C） （D）2如图9，已知AD/BC，1=2，A=112，且BDCD，则ABC=_ _，C=_ _ 3已知，如图10，下列条件中不能判断直线l1l2的是（ ）。（A）13 （B）23 （C）45 （D）241804.如果与的两边分别平行，比的3倍少36，则的度数是（ ） A18 B126 C18或126 D18或54及时反馈：1.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（ ） A第一次向右拐38，第二次向左拐142 B第一次向左拐38，第二次向右拐38C第一次向左拐38，第二次向左拐142 D第一次向右拐38，第二次向右拐402如图12，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分AEF，1=40，求2。3如图13，ADBC于点D，EFBC于点F，EF交AB于点G，交CA的延长线于点E，且1=2AD平分BAC吗？说说你的理由。4如图14，已知ADBC，FGBC，垂足分别为D、G，且1=2，猜想BDE与C有怎样的大小关系？试说明理由。5将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起在图中标记的角中，写出所有与1与互余的角。6将一副三角板摆放成如图15所示，图中 度7如图，已知AF平分BAC，DE平分BDF，且1=2. （1）能判定DFAC吗？为什么？ （2）能判定DEAF吗？为什么？ 8.如图，已知ABCD，1=2，求证：BEF=EFC. 9已知：如图16，AB/CD，ABE=DCF。求证：E=F。证明：10已知两个角有一条边在同一直线上，另一条边互相平行，则这两个角 。11如图18，直线ACBD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成PAC，APB，PBD三个角（规定：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0）（1）当动点P落在第部分时，试说明：APB=PAC+PBD。（2）当动点P落在第部分时，APB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P落在第部分时，请全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明图18平面直角坐标系知识梳理：1、有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做有序数对。2、平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向 竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向 两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点 3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限 第一象限：x0，y0 第二象限：x0 第三象限：x0，y0，y0 横坐标轴上的点：（x，0） 纵坐标轴上的点：（0，y）4、距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值 距y轴的距离为x的绝对值5、绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出a=b或者 a= -b6、角平分线问题若点（x，y）在一、三象限角平分线上，则x=y若点（x，y）在二、四象限角平分线上，则x=-y7、对称问题： 一点关于x轴对称，则x同y反 关于y轴对称，则y同x反 （关于原点对称，则x反y反）8、平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y） 向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y） 向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b） 向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y-b）精讲精练：例1.画出平面直角坐标系，并标出下列各点：A（5，3），B（-1.5,3.5），C（-4，-1），D（2，-3），E（3，0），F（0，-2）例2、X轴上的点P到Y轴的距离为3.5,则点的坐标为（） （3.5,0) B (-3.5,0) C(0,3.5) D(3.5,0)或(-3.5,0)例3、已知A(3，4)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_；关于y轴对的点的坐标为_；关于原点对称的点的坐标为_；例4、三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(4，1)、B(1，3)、C(3，3.5)把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；在平面直角坐标系中，将点M（1，0）向右平移3个单位，得到点，则点的坐标为_例5 若点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值.及时反馈：一、选择题1.下列各点中，在第二象限的点是（ ） （A）（2，3） （B）（2，3） （C）（2，3） （D）（2，3）2.若轴上的点到轴的距离为3,则点的坐标为（ ） （A）（3,0） （B）（0,3） （C）（3,0）或（3,0） （D）（0,3）或（0,3）3.点（，）在轴上，则点坐标为（ ） （A）（0，4） （B）（4，0） （C）（2，0） （D）（0，2）4.点C在轴上方，轴左侧，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点C的坐标为（ ）（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）5.如果点（5,）在第四象限,则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）6.如图：正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为和，则点B和点D的坐标分别为（ ）.（A）和 （B）和（C）和 （D）和7.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1,1）,（1,2）,（3,1）,则第四个顶点的坐标为（ ） （A）（2,2） （B）（3,2） （C）（3,3） （D）（2,3）8.线段AB两端点坐标分别为A（），B（），现将它向左平移4个单位长度，得到线段A1B1，则A1、B1的坐标分别为（ ）（A）A1（），B1（） （B）A1（）， B1（0，5）（C）A1（） B1（8，1） （D）A1（） B1（）9.在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立直角坐标系，则A点坐标为（2，5），若以A点为原点建立直角坐标系，则B点坐标为（ ）. （A）（2，5） （B）（2，5） （C）（2，5） （D）（2，5）二、细心填一填:1.七年级（2）班教室里的座位共有7排8列，其中小明的座位在第3排第7列，简记为（3，7），小华坐在第5排第2列，则小华的座位可记作_.2. 若点P（,）在第二象限,则点Q（,）在第_象限.3. 若点P到轴的距离是12,到轴的距离是15,那么P点坐标可以是_（写出一个即可）.4.小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了3个单位长度,平移前猫眼的坐标为（4,3）,（2,3）,则移动后猫眼的坐标为_.5. 已知点（，）在第四象限，且|=3，|=5，则点的坐标是_.6. 如图，中国象棋中的“象”，在图中的坐标为（1，0），若“象”再走一步，试写出下一步它可能走到的位置的坐标_ 7.如下图,小强告诉小华图中A、B两点的坐标分别为（3,5）,（3,5）,小华一下就说出了C在同一坐标系下的坐标_.8.已知点的坐标（，），且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 .三、认真答一答:（本大题共4小题，每小题10分，共40分. 只要你认真思考, 仔细运算, 一定会解答正确的!）1. 如图,这是某市部分简图,请建立适当的平面直角坐标系,分别写出各地的坐标.2. 适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），并用线段顺次连接各点。看图案像什么？作如下变化：纵坐标不变，横坐标减2，并顺次连接各点，所得的图案与原来相比有什么变化？3.某学校校门在北侧,进校门向南走30米是旗杆,再向南走30米是教学楼, 从教学楼向东走60米,再向北走20米是图书馆,从教学楼向南走60米,再向北走10 米是实验楼,请你选择适当的比例尺,画出该校的校园平面图.4. 已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求ABO的面积5. 请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置： ，你发现这些点有什么位置关系？你能再找出类似的点吗？（再写出三点即可）平方根知识点：（1）算术平方根的概念及表示方法：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。（注：=0） （2）用计算器求一个正数的算术平方根：按键顺序为：（如求）ON a =（3）平方根的概念：平方根的定义：一般地，如果一个数的平分等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次根式，即x=a，那么x叫做a的平分根开平方的概念：求一个数a的平分根的运算，叫做开方，其中a叫做被开方数（4）平方根的性质：一个正数有两个平分根，它们互为相反数；0的平分根式0，负数没有平分根，正数的平分根表示重点：算术平方根的概念及表示方法、难点：平方根的概念及其性质考点：平方与开平方的运算、平方根的意义、平方根的性质、平方根值的估算巩固练习：1、49的平方根是_，49的算术平方根是_,2、平方根是它本身的有_，算术平方根是它本身的有_,3、求下列各数的平方根和算术平方根（1） （2）4、求下列各数的算术平方根：（1）256， （2）， （3）5、（1）= _ ， =_ ，=2，则x=_（2）=_，=_， 若，则a=_6、（1）、36的算术平方根是_； （2）、 的算术平方根是_；（3）、若=3，则x=_； （4）、，则a=_7、（1）、0的平方根是_,4的平方根是_；9的平方根是_的平方根是 ；（2）、 的平方根是 .（3）、一个数的平方根是2和-2 ，则这个数为_；一个数的平分根是a+1和a-3，则这个数为_巩固练习：1、(-3)2的平方根是( ) A.3 B.-3 C.3 D.92、下列计算中,正确的是（ ）A、 B、 C、 D、7、下列各式中，有意义的是（ ） A、 B、 C、 D、8、x为何值时下列各式有意义（1） （2） （3） 9、若式子有意义，则x的取值范围为（ ）A、 B、 C、 D、解决问题1：算术平方根与不等式、绝对值的应用1、已知y=+5，求x+y的值。2、已知a、b是实数，且，解关于x的方程（a+2）x+b=a-1巩固练习：1、 已知，求x与y的值2、 已知a、b满足，求b-5a的平方根解决问题2：估计算术平方根的大小1、估计20的算术平分根的大小在（ ）A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5和6之间巩固练习：估算的值() A在1到2之间 B在2到3之间 C在3到4之间D在4到5之间解决问题3：利用平方根的概念去解方程1、求下列各式中x的值。(1)169x2=100 (2)x2-3=0 巩固练习：（1） （2）25解决问题4：平方根的与面积问题的综合某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25m的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长度吗？巩固练习有一块正方形玻璃重6.75千克,已知此种玻璃板每平方厘米重1.2克,求这块玻璃板的边长.跟踪练习：一、填空题1、 若的平方根是，则的算术平方根是_2、 若数a的平方根只有一个，那么a=_3、 若一个数的平方根是1.2，那么a的另一个平方根是_二、选择题1.的平方根是 （ ） A2 B. 1.414 C. D.2.若式子有意义，则得取值范围是 （ ） A B. C. D.以上都不对3、已知一正方形的边长为a，面积为S，那么（ ）A、a是S的平方根 B、a是S的算术平方根C、S= D、a=4、一个自然数的算术平方根为x，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A、 B、 C、 D、5、.若数轴上表示数x的点在原点左边，则化简的结果是 （ ） A.-4x B.4x C.-2x D.2x三、解答题1、解下列各式中x的值（1）64 （2）2、x为何值时下列各式有意义 （2）过关检测：1、16的平方根是_ 的算术平方根是 ，的平方根是 2、2a-18=0，那么a的算术平方根是_ 若，则 ；若，则 ；若， ；3、4的算术平方根是 （ ）A、-4 B、4 C、-2 D、24、则m+n的值为 （ ）A、-1 B、-3 C、3 D、不确定5、若，| b |=3,则a+b= （ ）A、-8， B、 C、 D、三、简答题1、已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根. 2、已知，满足，求的平方根.立方根知识梳理1.立方根的概念:如果一个数的 等于,这个数就叫做的立方根,也叫做的三次方根.记做 .2.开立方的概念:求一个数的 的运算,叫做开立方.3.立方根的性质:一个正数有一个 的立方根;一个负数有一个 的立方根;零的立方根是 .典型例题【例1】求下列各数的立方根. .【绿色通道】一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根;零的立方根是0.【变式训练】1. 求下列各数的立方根：（1）0.008；（2）.【例2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）； .【黑色陷阱】注意根号内的“”号可以移到根号外面；应把带分数化成假分数再开立方.【变式训练】2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【例3】”魔方”是一种形状为立方体的玩具,它由三层完全相同的九个小立方体组成,九个小立方体体积为243cm2,求每个小立方体的棱长.【变式训练】3. 小燕制作了一个无盖的立方体纸盒,它的体积比棱长为4cm的立方体的体积的一半还少5cm3,求这个纸盒的表面积是多少?基础自测1. 等于（ ）A. 9 B. 9 C. 3 D. 32. 下列说法中正确的是（ ）A.一个正数的平方根和立方根都只有一个B.零的平方根和立方根是零C.1的平方根与立方根都等于它本身 D.一个数的立方根与其自身相等的数只有13. 的相反数是（ ）A B C D4. = _5.一个立方体的体积是125立方米,则它的棱长为 .6. 若_.7. 的绝对值为，相反数为，倒数为.8. 8的立方根与9的算术平方根的积是 .9. 求下列各数的立方根：（1）； (2)9.10. 如果一个球的体积为原来的8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍？如果球的体积变为原来的1000倍呢？变为原来的几倍呢？（球的体积公式为）.能力提升11. 一个数的立方根是它本身，则这个数是（）A. 1 B. 0或1 C. 1或1 D. 1,0或112. 若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（）A. 4 B. C. 2 D. 13.我们知道: 利用以上规律,解下列问题：已知,求= .14. 计算：(1)； (2).15.求下列各式中的：(1)； (2).创新应用16. 已知是一个正整数,求满足条件的最小正整数的值.实数【要点讲解】知识点1 实数的有关概念 有关实数的基本概念，包括数轴、相反数、倒数、绝对值、平方根（算术平方根）、立方根等概念.对于相反数与绝对值，我们不但要从“数”的角度认识，还要从“形”的角度来理解，弄清各自的意义，明白相互之间的关系.练习1. 的倒数是_.2. 若,则下列成立的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3. 的相反数是 ( )(A) 4 (B) (C) (D) 4. 2的平方根是 ( )(A) 4 (B) (C) (D) 5. 如图,在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有 ( ) (A) 点 (B) 点 (C) 点和点 (D) 点和点知识点2 实数的分类及大小比较 实数的分类要从大类分到小类,做到不重不漏.比较实数的大小,常用的方法有:性质法、数轴法，倒数法、平方法、比差法和比商法等.练习1. 在下列实数中，是无理数的的是 ( )(A) 0.15 (B) (C) (D) 2. 写出一个比大的负有理数是_；比大的负无理数是_.3. 实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系正确的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 知识点3 近似数、有效数字和科学计数法 近似数、有效数字与科学计数法的概念是相关的. 有效数字常作为对近似数精确度的一种描述方式，近似数的取法要严格按精确度进行，科学计数法表示的数为的形式，其中的绝对值是大于或等于1且小于10的实数，是整数.练习1. 2007年中国义乌小商品城市场全年成交额约为348.4亿元，连续第17次蝉联全国批发市场榜首.近似数348.4亿元的有效数字的个数是 ( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 国家游泳中心“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑物之一，其工程占地面积约为62 828平方米，将62 828用科学计数法表示为（保留三个有效数字） ( ) (A) (B) (C) (D) 知识点4 实数的运算这是本单元的重点知识，也是进行其他数学运算（比如解方程）的基础，应结合题目特点，注重转化联系，灵活运用实数的运算法则和运算律解题.练习若实数满足，则的值为_. 训练题一选择题1. 零上13记作，零下2可记作 ( )(A) 2 (B) (C) 2 (D) 2. 若，则估计的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D) 3. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )(A) 2和 (B) 和 (C) 和 (D) 和4. 实数在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) 5. 下列说法不正确的是 ( ) (A) 8的立方根是2 (B)的立方根是 (C) 0的立方根是0 (D) 1的平方根是6. 若则的值为 ( )(A) (B) (C) 0 (D) 47. 计算的结果是 ( ) (A) (B) 2 (C) 4 (D) 128. 如图所示，数轴上两点所表示的两数的 ( )(A) 和为正数 (B) 和为负数 (C) 积为正数 (D) 积为负数9. 已知的三边满足，则应为 ( )(A) 一般等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形10. 有一个数值转换器，原理如下图所示，如果当输入的值为64时，那么输出的值为 ( )(A) 8 (B) (C) (D) 二、填空题：1. 已知某一天中的最高温度为10，最低温度为，则这一天最高温度与最低温度的温差为_.2. 在实数的原有法则中我们补充定义新运算“”如下：当时，=； 当时，=.则当时，（1）（3）的值为_.(“ ”和“”仍为实数运算中的乘号和减号)3. 已知，则4. 如图，两点在数轴上，点对应的数为2，若线段的长为3，则点对应的数为_.5. 根据如图所示的程序计算,若输入的的值为1,则输出的的值为_.6. 近似数0.020精确到_位,它有_个有效数字.7. 2008北京奥运会主会场”鸟巢”的座位数是91000个,这个数用科学计数法表示为_.8. 若与是同一个数的平方根,则这个数可能是_.9. 让我们轻松一下,做一个数字游戏：第一步，取一个自然数计算；第二步，算出的各位数字之和得计算；第三步，算出的各位数字之和得计算；依此类推，则10. 和分别可以按如下图方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数之和. 也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的是_. 三解答题1.把下列各数填入相应的打括号内： （1）整数集： .；（2）有理数集： .；（3）无理数集： .2.先